数学文卷·2018届福建省师大二附中高三上学期期中考试（2017

数学文卷·2018届福建省师大二附中高三上学期期中考试（2017

命题人 高三集备组 审核人 福建师大二附中2017～2018学年第一学期 高三年段期中考试 数 学 （文）试 卷 ‎ （考试时间120分钟，满分150分）2017．11‎ 班级　　 　姓名　　　　　座号　　 　准考证号　　　 　　　　．‎ 一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 复数为虚数单位）实部与虚部的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 函数f(x)＝(1－cos x)sin x在－π，π]的图象大致为(　　)．‎ ‎4. 已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（ ）‎ A． B. C. D.‎ ‎5.若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. “a＝－‎1”‎是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的(　　) ‎ A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 ‎7. 已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 ‎ ‎ B．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 ‎ ‎ C．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线 ‎ D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线 ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． B． C． D．‎ ‎9.设x，y满足约束条件 则的最大值是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知椭圆C：的右焦点为 ，圆:，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆C的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则值为（ ）‎ A．45 B．46 C．47 D．48 ‎ ‎12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分 ‎13.设单位向量，的夹角为，，则 .‎ ‎14.函数在点处的切线方程为 .‎ ‎15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．‎ ‎16. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为_________．‎ 三、解答题：‎ ‎17. （本小题满分10分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的递增区间； ‎ ‎（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，，求．‎ ‎18.（本小题满分12分）在等差数列中，，，‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.‎ ‎19.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是,已知. ‎ ‎(I)求角的大小；(II)若,求△ABC的面积.‎ ‎20.（本小题满分12分） 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面，点为的中点．‎ ‎ （1）求证：∥平面；‎ ‎ （2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎21. （本小题满分12分）已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M .‎ ‎（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M (x，y) 的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数, ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎2017-2018学年度第一学期高三半期考试 文科数学试题 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题 一、 选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，.‎ ‎2. 复数为虚数单位）实部与虚部的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，实部为1，虚部为1，和为2，故选A.‎ ‎3. 函数f(x)＝(1－cos x)sin x在－π，π]的图象大致为(　　)．C ‎4. 已知等边三角形△的边长为，其重心为，则（ ）‎ A． B. C. D.‎ C ‎5.若，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ D ‎6. “a＝－‎1”‎是“直线a2x－y＋6＝0与直线4x－(a－3)y＋9＝0互相垂直”的(　　) A A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 ‎7已知曲线，，则下列说法正确的是（ ）‎ A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线 C．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的 ‎，纵坐标不变，得到曲线 D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线 ‎【答案】B ‎【解析】对于A，,‎ 对于B,,‎ 对于C，,‎ 对于D，,‎ 显然选B.‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体如图所示，‎ ‎9.设x，y满足约束条件 则的最大值是（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可行域可知，‎ ‎10. 已知椭圆C：的右焦点为 ，圆:，双曲线以椭圆C的焦点为顶点,顶点为焦点，若双曲线的两条渐近线都与圆相切，则椭圆C的离心率为（ ）B A． B． C． D．‎ ‎11.对大于1的自然数的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：仿此，若的“分裂数”中有一个是2017，则的值为（ ）‎ A．45 B．46 C．47 D．48 ‎ ‎【答案】A ‎【解析】从到正好用去从3开始的连续奇数个，2017是从3开始的第1008个数，所以 ‎12.已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由得 令，则 在上递减，在上递增，所以 又当时，，，所以实数的取值范围是.‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卡相应位置.‎ ‎13.设单位向量，的夹角为，，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，.‎ ‎14.函数在点处的切线方程为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，所以，.‎ ‎15.已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如图，圆的圆心为(0,0)，半径，‎ 因为弦，所以直线经过圆心，所以.‎ 直线的方程为.所以直线的倾斜角.‎ 在中，.‎ ‎.‎ ‎16. 16. 已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，则球的表面积为 ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎ 17. （本小题满分10分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的递增区间； ‎ ‎（Ⅱ）的角所对边分别是，角的平分线交于，，，求．‎ ‎17解（Ⅰ）‎ ‎，‎ 递增得到，‎ 解得，‎ 所以递增区间是； 6分 ‎（Ⅱ） ，得到 ‎，‎ 由得到，所以角,‎ 由正弦定理得，‎ 所以，‎ ‎．12分 ‎18.（本小题满分12分）在等差数列中，，，‎ ‎（1）求数列的通项公式； ‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【解析】‎ ‎（1） ‎ ‎ .‎ ‎（2）…… ‎ ……‚ -‚得:‎ ‎,‎ ‎19.（本小题满分12分）在中，角对应的边分别是,已知. ‎ ‎(I)求角的大小；‎ ‎(II)若,,求△ABC的面积.‎ ‎【答案】(I)；(II)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(I)由两角和的余弦公式可得到关于的二次函数，从而求得，则。‎ ‎(II)由正弦定理及余弦定理可得到关于a,c的方程组，从而求得c的长，再由三角形的面积公式即可求解。‎ 试题解析： (I)由，得 ‎，即…………………………2分 解得……………………………………………………4分 因为，所以……………………………………………………………6分 ‎(II)由又由正弦定理，得…………8分 由余弦定理，得,又，所以…………10分 ‎20.（本小题满分12分）19．（本小题满分12分） ‎ 如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，‎ ‎，平面平面，平面，点为的中点．‎ ‎ （1）求证：∥平面；‎ ‎ （2）若，求三棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎20.（1）证明：∵△是等腰直角三角形，‎ ‎，点为的中点，∴． ‎ ‎ ∵ 平面平面，‎ 平面平面，‎ 平面，‎ ‎∴平面． …………4分 ‎ ∵ 平面,∴ ∥． …………5分 ‎ ∵ 平面,平面,‎ ‎ ∴ ∥平面． …………6分 ‎（2）法1：由（1）知∥平面, ‎ ‎ ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分 ‎∵ ，△是等边三角形,点为的中点 ‎ ∴ …………8分 ‎∴ …………10分 ‎ …………12分 法2：由（1）知∥平面, ‎ ‎ ∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离． …………7分 ‎ 过作，垂足为点，‎ ‎ ∵ 平面,平面, ∴ ．‎ ‎ ∵ 平面,平面,，‎ ‎ ∴平面． …………9分 ‎ ∵ ，△是等边三角形，‎ ‎ ∴ ，，． …………10分 ‎ ∴ ．‎ ‎∴ 三棱锥的体积为． …………12分 ‎21.已知定点Q（，0），P为圆N：上任意一点，线段QP的垂直平分线交NP于点M .‎ ‎（Ⅰ）当P点在圆周上运动时，求点M (x，y) 的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程.‎ ‎21.解：(Ⅰ)依题意可得：圆N的圆心坐标为N(, 0),半径为,|MP|=|MQ|, ………1分 则|MN|+|MQ|=|MN|+|MP|=|NP|=＞|NQ| ……………………………………………2分 根据椭圆的定义，点M的轨迹是以N、Q为焦点，长轴长为的椭圆，‎ 即‎2a=, ‎2c=，∴b=. …………………………………………3分 所以点M的轨迹C的方程为：. ……………………………………………4分 ‎(Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l为y=kx+m, A(x1,y1), B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程，‎ 得消去y并整理得. ……………………6分 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ‎△=，化简得： ① …………………7分 由韦达定理得：. ………………………………8分 ‎∴ .‎ ‎∵，∴ x1x2+y1y2=0，即 ， ………………………9分 整理得满足①式，∴，即原点到直线l为的距离是，‎ ‎∴直线l与圆相切. ……………………………………………………10分 当直线的斜率不存在时, 直线为x=m, 与椭圆C交点为A(m,),B(m,) ∵, ∴.‎ 此时直线为x=，显然也与圆相切. …………………………………11分 综上，直线l与定圆E：相切. …………………………………………12分 ‎22.（本小题满分12分）已知函数, ‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）依题意：的定义域为，， ‎ 当时，，在上单调递增，‎ 当时，令，得， ‎ 令，得；令，得，‎ 在上单调递增，在上单调递减。 ‎ ‎（2）由得：，‎ 当时，，满足题意；…………………………7分 当时，设， ‎ 在上单调递增，，不合题意；‎ 当时，令得，‎ 令得 ‎，则， ‎ 综上所述，的取值范围为. ‎ 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，离心率，焦距为 ‎（I）求该双曲线方程.‎ ‎（II）是否定存在过点，）的直线与该双曲线交于，两点，且点是线段 的中点？若存在，请求出直线的方程，若不存在，说明理由.‎