专题10 三角函数的图象与性质-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

专题10 三角函数的图象与性质-决胜2018年高考数学之破解高考命题陷阱

一．陷阱类型 ‎1.三角函数的图像变换 ‎2.单调性求法 ‎3.与三角函数有关的图像问题 ‎4.新定义下的三角函数 ‎5.三角函数的对称性 ‎6.利用三角函数的性质求值 ‎7.已知图像求解析式 ‎8.性质的综合应用 ‎9.五点作图法 ‎10.三角函数中的参数范围及最值问题 二．防陷阱举例 ‎1.三角函数的图像变换 例1若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【防陷阱措施】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.‎ 练习1已知函数的最小正周期为，且取图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 练习2把函数的图像向右平移个单位就得到了一个奇函数的图像，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】将函数 的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则，即，故 时， 的最小正值为，故选D.‎ ‎2.单调性求法 例2. 对于函数f(x)＝sin2x－sin2x有以下三种说法：①(－，0)是函数y＝f(x)的图象的一个对称中心；②函数y＝f(x)的最小正周期是π；③函数y＝f(x)在[， ]上单调递减．其中说法正确的个数是(　　)‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得,f(x)= sin2x－sin2x=sin2x− (1−cos2x)=sin(2x+)−‎ ‎①其对称中心横坐标满足2x+=kπ(k∈Z)即x=－+,所以对称中心为：(－+,)‎ 所以①中，纵坐标不对，①错；‎ ‎②最小正周期T=π，②正确；‎ ‎③当x∈[， ]时, 2x+∈[,]，为减区间，③正确。‎ 故选：C.‎ ‎3.与三角函数有关的图像问题 例3. 函数的图象大致为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【防陷阱措施】已知函数的解析式识别函数的图象时，往往从函数的定义域、单调性、对称性（周期性）、值域或最值、特殊点函数值等方面进行判定，如本题中先通过定义域排除选项A，再通过特殊函数值进行排除.‎ 练习1．已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得.‎ 由图象得，‎ ‎∴。‎ ‎∴，‎ 又，解得。‎ ‎ ∴。‎ ‎∴。‎ 令，解得。‎ 当时， 。故是函数图象的一个对称中心。选C。‎ 点睛：由图象确定函数解析式的方法 ‎（1）由图象上的最高（低）点的纵坐标确定。‎ ‎（2）ω由周期T确定，根据图象得到函数的周期T，由求出ω。‎ ‎（3）的求法通常有以下两种：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时已知)，或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间还是下降区间)．‎ ‎②五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的零点作为突破口，具体如下：‎ ‎“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为；“第二点”(即图象的“峰点”)为；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为；“第四点”(即图象的“谷点”)为；“第五点”为。‎ 练习2已知函数的部分图象如图所示，其中，将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则的解析式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意， ，得，则， ，‎ 又，得， ，‎ 所以，‎ 则，故选A。‎ 练习3.函数的部分图象如图所示,则的单调递减区间为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 练习4．函数的部分图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数为奇函数，排除C，又且当 时， 排除A,D；故选B.‎ 练习5．函数且的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循. 解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.‎ 练习6函数在的图象为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎4.新定义下的三角函数 例4．已知函数 ， ，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由行列式的定义可得： ，‎ 当时， ， ，‎ 即不合题意，据此可排除BC选项；‎ 当时， ，函数的零点满足： ，‎ 则： ，取可得函数两个连续的零点为： ，‎ 此时函数在区间内没有零点，排除A选项；‎ 本题选择D选项.‎ ‎【防陷阱方法】重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．‎ 练习1定义运算，将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎5.三角函数的对称性 例5. ．已知函数 与轴的交点为，且图象上两对称轴之间的最小距离为，则使成立的的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A 可得：函数图象关于x=t对称．求|t|的最小值即可是求对称轴的最小值，‎ ‎∵f（x）=2sin（2x+ ）的对称轴方程为：2x+ = （k∈Z），‎ 可得：x=时最小，‎ 故答案为:A .‎ 练习1．已知A，B，C，D，E是函数y＝sin(ωx＋φ) 一个周期内的图象上的五个点，如图，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称， 在x轴上的投影为，则ω，φ的值为(　　)‎ A. ω＝2，φ＝ B. ω＝2，φ＝‎ C. ω＝，φ＝ D. ω＝，φ＝‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意， ，所以，则，‎ 又，则，‎ 故选A。‎ 练习2．已知函数（， ），， ，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知的周期，则， 的图象关于点对称，则，因为，则，则，由，解得： ， ，函数的单调递增区间是， ,‎ 选B.‎ 练习3.将函数向左平移个单位长度，则所得函数的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，向左平移个单位长度后所得图象对应的解析式为，由绝对值函数图象的特点知，所得函数的图象与x轴的交点和最值点都是函数对称轴经过的点，所以平移后所得函数图象的对称轴为，当时，函数图象的一条对称轴为。选C。‎ 练习4．已知函数，且，又，则函数的图象的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎6.利用三角函数的性质求值 例6. 已知（， ， ）是定义域为的奇函数，且当时， 取得最大值2，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】是奇函数， ‎ 当时， 取最大值 则 故选 ‎【防陷阱措施】由条件利用正弦函数的奇偶性求得，再根据当时， 取得最大值，求出，可得的解析式，再根据它的周期性，即可求得所给式子的值。‎ 练习1. 已知,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 有： ‎ 所以.‎ 故选B.‎ 练习2. ．已知函数，若存在满足，且，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】8‎ 练习3. 已知，数列满足，则__________．‎ ‎【答案】2009‎ ‎7.已知图像求解析式 例7. 已知函数f (x)=Asin(ωx+φ)+b(A＞0，ω＞0)的图象如图所示，则f (x)的解析式为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 本题选择D选项.‎ ‎【防陷阱措施】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：‎ ‎(1)由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.‎ ‎(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.‎ ‎8.性质的综合应用 例8. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）‎ A. 函数的最小正周期为 B. 函数的对称轴为（）‎ C. ， ‎ D. 函数在上单调递增 ‎【答案】B ‎【解析】A：最小正周期为， ，错误；‎ B：正确；‎ 所以，此时，不单调，错误。‎ 故选B。‎ ‎【防陷阱措施】本题考察三角函数的绝对值函数，难度较大。一般来说，三角函数的绝对值会将周期变为原来的一半，A错误；通过辅助角公式计算，C错误；通过整体思想的分析，得到在时，函数不单调，D错误，故选C，利用排除法分析。‎ 练习1已知函数，若互不相等，若 则的取值范围是（ ）‎ A. （1，2018） B. （1，2019） C. （2，2018） D. （2，2019）‎ ‎【答案】D ‎【解析】作函数的图象如图，‎ 不妨设a＜b＜c，‎ 则结合图象可知，a+b=1，‎ ‎0＜log2018c＜1，‎ 故1＜c＜2018，‎ 故2＜a+b+c＜2019，‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，同时考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用；还有就是函数图象的对称性的应用，处理多个变量的方法；解决二元或三元问题，一是减元的思想，二是变量集中，再者就是转化为线规问题。‎ 练习2. 已知向量， ，记函数.‎ ‎(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；‎ ‎(2)求函数在区间内的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）最大值，且取得最大值时的集合为；（2）和 ‎【解析】 试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值.‎ ‎ (Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．‎ 试题解析：‎ ‎ ‎ ‎(2)由题意: ， 即， ．‎ 于是， 在的单调递减区间是和．‎ ‎9.五点作图法 例9. 已知函数f(x)＝sinωxcosωx－cos2ωx＋ (ω＞0)，经化简后利用“五点法”画其在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：‎ x ‎①‎ ‎ ‎ f(x)‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎(1)请直接写出①处应填的值，并求函数f(x)在区间上的值域；‎ ‎(2)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f(A＋)＝1，b＋c＝4，a＝，求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由及（1）可得，由余弦定理可得的方程，结合可解得的值，从而得三角形面积.‎ 试题解析：(1)①处应填入.‎ f(x)＝sin2ωx－‎ ‎＝sin2ωx－cos2ωx ‎＝.‎ 因为，‎ 所以，所以ω＝‎ 即f(x)＝.‎ 因为，‎ 所以－≤x－≤，‎ 所以－1≤sin≤，‎ 故f(x)的值域为.‎ ‎(2)f(A＋)＝sin＝1，‎ 因为0＜A＜π，‎ 所以＜A＋＜，‎ 所以A＋＝，所以A＝.‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA ‎＝(b＋c)2－2bc－2bccos ‎＝(b＋c)2－3bc，‎ 即()2＝42－3bc，所以bc＝3，‎ 所以△ABC的面积S＝bcsinA ‎＝.‎ ‎10.三角函数中的参数范围及最值问题 例10. 已知点， 是函数（， ）图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时， 的最小值为．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的单调递增区间；‎ ‎（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）．（2）（）．（3）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意先求，根据确定其值，再求出函数的周期，利用周期公式求出的值，从而可求函数解析式.（2）令，即可解得函数的单调减区间.（3）由题意可得， 恒成立，只需求时， 的最大值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）角的终边经过点， ，‎ ‎∵，∴．‎ 由时， 的最小值为，得，即，∴，‎ ‎∴．‎ 练习1．已知函数（），将的图象向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）在中，角， ， 所对的边分别为， ， ，若，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据两角和差公式化一得到，再由平移得到，由自变量的范围得到函数值的范围。（2）由第一问的表达式得到，再有余弦定理得到。‎ 解析：‎ ‎（1）由题设得，‎ ‎∴，‎ ‎∵当时， ，‎ ‎∴由已知得，即时， ，∴.‎ ‎（2）由已知， ‎ ‎∵在中， ，∴，∴，即，‎ 又∵，由余弦定理得：‎ ‎ ‎ 当且仅当时等号成立.‎ 又∵，∴‎ 练习2．已知的面积为，且, ．‎ ‎（Ⅰ）若 的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为，且，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ 解析:‎ ‎（Ⅰ）依题意的周期为2，∴，∴， ．‎ 又， ， ．∵，设的三边长分别为，∴， ， ，从而是直角三角形．‎ 由得，从而， ．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设的外接圆为，则，‎ ‎∴， ．∴‎ ‎ ‎ ‎，故当时，所求最大值为．‎ 点睛: 本题主要考查余弦函数的图象特征，正弦定理，两个向量的数量积的运算，属于中档题.一般出现关于边的齐次式或者角的齐次式,可以联想正弦定理.和正弦定理相关的还可以想到面积公式.再者就是球有关三角函数的值域时,多数是通过角的化一公式得到.‎ 练习3. 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求使成立的的集合.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 的集合是， ..‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）‎ 由，所以的最大值为。‎ 令，‎ 解得.‎ ‎（2）由，得，‎ 所以，‎ 所以， ‎ 所以， ‎ 所以使成立的的集合是， .‎ 练习4. 已知向量， ， .‎ ‎（1）若，且，求的值；‎ ‎（2）将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像，若函数在上有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由向量平行得正切值，再利用弦化切得的值；（2）先根据向量数量积化简函数，再根据二倍角公式以及配角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求值域 试题解析：（1）因为， ，‎ 所以.‎ 练习5. 已知两个不共线的向量满足， ， .‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知与垂直，所以以，变形得，由两向量的坐标可求得两向量的模分别为， ，代入上式可得，求得.求向量的模，应先求向量的平方。所以 ，故 . （2）由条件，得，整理 ‎，即，解一元二次不等式，又因为，所以.‎ 试题解析：解：（1）由条件知， ，又与垂直，‎ 所以，所以.‎ 所以 ，故 .‎ ‎（2）由，得，‎ 即，‎ 即， ，‎ 所以.‎ 由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，‎ ‎，即，又因为，所以.‎ 练习6. 己知函数，关于的为等式对所有都成立，则实数的范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴在上为奇函数，即，且在上为单调递增 ‎∵关于的等式对所有都成立 ‎∴对所有都成立，即对所有都成立 ‎∴对所有都成立，即对所有都成立 令， ，设 当即时， ‎ ‎∴（舍）‎ 当即时， ‎ ‎∴‎ 当即时， ，即 ‎∴‎ ‎∴‎ 综上所述， ‎ 故答案为 点睛：对于求值域范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的“”，转化为解不等式（组）的问题，若为偶函数，则 练习7.函数若 对恒成立，则的取值范围是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则， ‎ ‎ ，‎ 令，则，求其最大值可得，所以，‎ 故填.‎ 三．高考真题演练 ‎1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是 A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【考点】三角函数图像变换.‎ ‎【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.‎ ‎2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是 A．f(x)的一个周期为−2π B．y=f(x)的图像关于直线x=对称 C．f(x+π)的一个零点为x= D．f(x)在(,π)单调递减 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：函数的最小正周期为 ，则函数的周期为 ，取 ，可得函数 的一个周期为 ，选项A正确；‎ 函数的对称轴为 ，即： ，取 可得y=f(x)的图像关于直线x=对称，选项B正确；‎ 故选D.‎ ‎【考点】 函数 的性质 ‎【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ω x＋φ)的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asin ωx或y＝Acos ωx＋b的形式.‎ ‎(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.‎ ‎3.【2017天津，理7】设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则 ‎（A）， （B）， （C）， （D），‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，，由得，故选A．‎ ‎【考点】求三角函数的解析式 ‎【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.‎ ‎4.【2016高考新课标1卷】已知函数 为的零点,为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )‎ ‎（A）11        （B）9     （C）7        （D）5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点：三角函数的性质 ‎【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度是半个周期;②若的图像关于直线 对称,则 或.‎ ‎5.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )‎ ‎（A）向左平行移动个单位长度 （B）向右平行移动个单位长度 ‎（C）向左平行移动个单位长度 　（D）向右平行移动个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，为了得到函数，只需把函数的图像上所有点向右移个单位，故选D.‎ 考点：三角函数图像的平移.‎ ‎【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得的图象．‎ ‎6.【2015高考山东，理3】要得到函数的图象，只需要将函数的图象（ ）‎ ‎（A）向左平移个单位   （B）向右平移个单位 ‎（C）向左平移个单位    （D）向右平移个单位 ‎ ‎【答案】B ‎【考点定位】三角函数的图象变换.‎ ‎【名师点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.‎ ‎7.【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）‎ A．5 B．6 C．8 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图象知：，因为，所以，解得：，所以这段时间水深的最大值是，故选C．‎ ‎【考点定位】三角函数的图象与性质．‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是三角函数的图象与性质，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“最大值”，否则很容易出现错误．解三角函数求最值的试题时，我们经常使用的是整体法．本题从图象中可知时，取得最小值，进而求出的值，当时，取得最大值．‎ ‎8.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 考点： 三角函数的图象变换与对称性.‎ ‎【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．‎ ‎9.【2015高考新课标1，理8】函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【考点定位】三角函数图像与性质 ‎【名师点睛】本题考查函数的图像与性质，先利用五点作图法列出关于方程，求出，或利用利用图像先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，再利用复合函数单调性求其单调递减区间，是中档题，正确求使解题的关键.‎ ‎10.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（ ）‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．‎ 考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．‎ ‎【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．‎ ‎11.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（） 个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（ ）‎ A.，的最小值为B. ，的最小值为 C.，的最小值为D.，的最小值为 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移个单位，故选A.‎ 考点：三角函数图象平移 ‎【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换 ‎12.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（ ）‎ ‎（A） （B）π （C） （D）2π ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎13.【2015高考安徽，理10】已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】1.三角函数的图象与应用；2.函数值的大小比较.‎ ‎【名师点睛】对于三角函数中比较大小的问题，一般的步骤是：第一步，根据题中所给的条件写出三角函数解析式，如本题通过周期判断出，通过最值判断出，从而得出三角函数解析式；第二步，需要比较大小的函数值代入解析式或者通过函数图象进行判断，本题中代入函数值计算不太方便，故可以根据函数图象的特征进行判断即可.‎ ‎14.【2015湖南理2】将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，，有，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨 ‎，，∴，又∵，‎ ‎∴，故选D.‎ ‎【考点定位】三角函数的图象和性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三 角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等.‎ ‎15.【2016高考江苏卷】定义在区间上的函数的图象与的图象的交点个数是 .‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由，因为，所以共7个 考点：三角函数图像 ‎【名师点睛】求函数图像交点个数，可选用两个角度：一是直接求解，如本题，解一个简单的三角方程，此方法立足于易于求解，二是数形结合，分别画出函数图像，数交点个数，此法直观，但对画图要求较高，必须准确，尤其明确增长幅度.‎ ‎16.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图像至少向 右平移_____________个单位长度得到．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．‎ ‎【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．‎ ‎17.【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，‎ 函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，‎ 所以函数有2个零点.‎ ‎【考点定位】二倍角的正弦、余弦公式，诱导公式，函数的零点 ‎【名师点睛】数形结合思想方法是高考考查的重点. 已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个图象的交点个数，这时图形一定要准确。这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.由“数”想图，借“图”解题.‎ ‎18.【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到的图象. 若图象的一个对称中心为，求的最小值. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得. 数据补全如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎0‎ 且函数表达式为. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，得.‎ ‎ 因为的对称中心为，. ‎ ‎ 令，解得， . ‎ 由于函数的图象关于点成中心对称，令，‎ 解得，. 由可知，当时，取得最小值. ‎ ‎【考点定位】“五点法”画函数在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质.‎ ‎【名师点睛】“五点法”描图：‎ ‎(1)的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．‎ ‎(2)的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．‎ ‎ ‎