北京市西城区2020届高三诊断性考试（二模）数学试题(PDF版，含解析)

北京市西城区2020届高三诊断性考试（二模）数学试题(PDF版，含解析)

1 2020 西城区高三诊断性测试 数学 2020.5 一、选择题（每题 4 分） 1.设集合  | 3A x x  ，  | 2 ,B x x k k Z   ，则 A B  ( ) A. 0,2 B. 2,2 C. 2,0,2 D. 2, 1,0,1,2  2.若复数 z 满足 1z i i    ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列函数中，值域为 R 且在区间 (0, ) 上单调递增的是( ) A. 3y x  B. y x x  C. 1y x D. y x 4.抛物线 2 4x y 的准线方程为（ ） A. 1x  B. 1x   C. 1y  D. 1y   5.在 ABC 中，若 : : 4 :5: 6a b c  ，则其最大内角的余弦值为（ ） A. 1 8 B. 1 4 C. 3 10 D. 3 5 6.设 0.23a  ， 3log 2b  ， 0.2log 3c  ，则（ ） A. a c b  B. a b c  C. b c a  D. b a c  7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ） A.6 B.4 C.3 D.2 2 8.若圆 2 2 4 2 0x y x y a     与 x 轴、 y 轴均有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ( ,1] B. ( ,0] C.[0, ) D.[5, ) 9.若向量 a 与 b 不共线，则“ 0 a b ”是“ 2 | | | | | |  a b a b ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 10.设函数 ( ) ( 1)e xf x x  . 若关于 x 的不等式 ( ) 1f x ax  有且仅有一个整数解，则正数 a 的取值范围是 （A） (0,e] （B） 2(0,e ] （C） 2e(1, ]2 （D） 2e 1(1, ]2  二、填空题（每题 5 分） 11.设平面向量 (1, 2)a   , ( ,2)b k 满足 a b  ，则 b  _______. 12.若双曲线 2 2 2 1( 0)16 x y aa    经过点 (2,0) ，则该双曲线渐近线的方程为_______. 13.设函数 2( ) sin 2 2cosf x x x  .则函数 ( )f x 的最小正周期为_______；若对于任意 x R ，都 有 ( )f x m 成立，则实数 m 的最小值为_______ 14.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖.在比赛结果掲晓之前，四 人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“X”表示猜测某人未获奖，而“O”则表 示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的，那么两 名获奖者是______，_______. 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 √ X X √ 乙的猜测 X O O √ 丙的猜测 X √ X √ 丁的猜测 O O √ X 3 15.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面 ABCD ， 4PA AB  , , ,E F H 分别是棱 , ,PB BC PD 的中点，对于平面 EFH 截四棱锥 P ABCD 所得的截面多边 形，有以下三个结论： ① 截面的面积等于 4 6 ； ② 截面是一个五边形； ③ 直线 PC 与截面所在的平面 EFH 无公共点. 其中，所有正确结论的序号是_____. 三、解答题（6 题，共 85 分） 16.（本小题满分 14 分）如图，在几何体 ABCDEF ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， DE 丄平面 ABCD,DE//BF,旦 DE = 2BF = 2. （I）求证：平面 BCF//平面 ADEf （II）求顿二面角 D AE F  的余弦值. 17.（本小题满分 14 分）从①前 n 项和 2 ( )nS n p p R   ,② 1 3n na a   ,③ 6 11a  且 1 22 n n na a a   ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答. 在数列 na 中， 1 1a  , ,其中 n N  . （I）求 na 的通项公式； （H）若 1, ,n ma a a 成等比数列，其中 ,m n N  ,且 1m n  ，求 m 的最小值. 4 18.（本小题满分 14 分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育， 得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为 8 组：[0.486,0.536) ， [0.536,0.586) ，，[0.836,0.886) 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736 的种子定为“A 级”，发芽率低于 0.736 但不低于 0.636 的种子定为“B 级”，发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级”. （Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，求该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别 为 20 元、15 元、10 元. 某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费 X 元，以频率为概率，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍， 那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差 是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）. O 发芽率0.486 0.536 0.586 0.636 0.686 0.736 0.786 0.836 0.886 0.4 a 频率 组距 1.2 4.0 4.4 6.0 5 19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，右焦点为 F,点 ( ,0)A a . 且 1AF  . (I)求椭圆 C 的方程； (II)过点 F 的直线 l （不与 x 轴重合）交椭圆 C 于点 M, N，直线 MA, NA 分别与直线 x = 4 相交 于点 P, Q.求 PFQ 的大小. 20.（本小题满分 15 分）设函数 ( ) cosxf x ae x  ，其中 a R . （I）已知函数 ( )f x 为偶函数，求 a 得值; （II）若 1a  ，证明：当 0x  时， ( ) 2f x  ; （III）若 ( )f x 在区间[0, ] 内有两个不同的零点，求 a 的取值范围. 6 7 2020 西城区高三诊断性测试 数学 2020.5 一、选择题（每题 4 分） 1.设集合  | 3A x x  ，  | 2 ,B x x k k Z   ，则 A B  ( ) A. 0,2 B. 2,2 C. 2,0,2 D. 2, 1,0,1,2  解析：2 的倍数，选 C. 2.若复数 z 满足 1z i i    ，则在复平面内 z 对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 1 ( 1 ) ( ) 1( ) i i iz ii i i           ，选 A. 3.下列函数中，值域为 R 且在区间 (0, ) 上单调递增的是( ) A. 3y x  B. y x x  C. 1y x D. y x 解析：值域为 R，排除 C、D， (0, ) 上单调递增排除 A，选 B. 4.抛物线 2 4x y 的准线方程为（ ） A. 1x  B. 1x   C. 1y  D. 1y   解析：注意开口，选 D. 5.在 ABC 中，若 : : 4 :5: 6a b c  ，则其最大内角的余弦值为（ ） A. 1 8 B. 1 4 C. 3 10 D. 3 5 解析： 2 2 24 5 6 5 1cos 2 4 5 40 8C      ，选 A. 6.设 0.23a  ， 3log 2b  ， 0.2log 3c  ，则（ ） A. a c b  B. a b c  C. b c a  D. b a c  解析： 0.23 1a   ， 30 log 2 1b   ， 0.2log 3 0c   ，选 B. 8 7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ） A.6 B.4 C.3 D.2 解析：正方体，删点，顶点在左下角，正面为直角梯形，  1 2 21 2 23 2V      ，选 D. 8.若圆 2 2 4 2 0x y x y a     与 x 轴、 y 轴均有公共点，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ( ,1] B. ( ,0] C.[0, ) D.[5, ) 解析： 2 2( 2) ( 1) 5x y a     ，半径大于等于 2 即可， 5 4a  ， 1a  ，选 A. 9.若向量 a 与 b 不共线，则“ 0 a b ”是“ 2 | | | | | |  a b a b ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 解析：法一：看到模立马平方，整理得 3( ) 2 cos , 8 a b b a a b          ，即 1cos , 2a b   ，故选 A. 法二：数形结合. 前推后，夹角钝角，那么| | | | | |  a b a b ，那么 2 | | | | | |  a b a b 肯定成立，成立； 后推前，举反例直角三角形，错误，选 A. 9 10.设函数 ( ) ( 1)e xf x x  . 若关于 x 的不等式 ( ) 1f x ax  有且仅有一个整数解，则正数 a 的取值范围是 （A） (0,e] （B） 2(0,e ] （C） 2e(1, ]2 （D） 2e 1(1, ]2  解析：数形结合 函数 ( ) ( 1)e xf x x  ， 1y ax  均过点（0，-1），且函数 ( )f x 在 ( ,0) 上单调递减； 在 (0, ) 上单调递增，故 (1) 1, (2) 2 1, f a f a     ≥ 解得 2e 1(0, ]2a  .选 D. 二、填空题（每题 5 分） 11.设平面向量 (1, 2)a   , ( ,2)b k 满足 a b  ，则 b  _______. 解析: 4 0k   ， 4k  ， 2 24 2 2 5b    . 12.若双曲线 2 2 2 1( 0)16 x y aa    经过点 (2,0) ，则该双曲线渐近线的方程为_______. 解析: 2a  ， 4b  ， 2by x xa     .（写一个得 3 分） 13.设函数 2( ) sin 2 2cosf x x x  .则函数 ( )f x 的最小正周期为_______；若对于任意 x R ，都 有 ( )f x m 成立，则实数 m 的最小值为_______. 解析: ( ) sin 2 cos2 1 2 sin(2 ) 14f x x x x       ，故最小正周期为 2 2   ； max( ) 2 1f x   ，故 m 的最小值为 2 1 .（第一空 3 分，第二空 2 分） 10 14.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖.在比赛结果掲晓之前，四 人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“X”表示猜测某人未获奖，而“O”则表 示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确的，那么两 名获奖者是______，_______. 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 √ X X √ 乙的猜测 X O O √ 丙的猜测 X √ X √ 丁的猜测 O O √ X 解析:两个人猜测正确，看第一竖行，可知乙，丙完全对，获奖的为乙、丁. 15.在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面 ABCD ， 4PA AB  , , ,E F H 分别是棱 , ,PB BC PD 的中点，对于平面 EFH 截四棱锥 P ABCD 所得的截面多边 形，有以下三个结论： ① 截面的面积等于 4 6 ； ② 截面是一个五边形； ③ 直线 PC 与截面所在的平面 EFH 无公共点. 其中，所有正确结论的序号是_____. 解析：如图 在 PA 上取一点 Q ,使 1PQ  ，则五边形 QEFMH 为截面，且 2 3EF HM  ， 2 2FM  ， 5QE QH  ,截面面积 12 2 2 3+ 2 2 3=4 6 6 5 62      , / /PC 截面. 填②③. 11 三、解答题（6 题，共 85 分） 16.（本小题满分 14 分）如图，在几何体 ABCDEF ,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， DE 丄平面 ABCD,DE//BF,旦 DE = 2BF = 2. （I）求证：平面 BCF//平面 ADEf （II）求顿二面角 D AE F  的余弦值. 解：常规题 （Ⅰ）因为 //DE BF ， DE  平面 ADE ， BF  平面 ADE ， 所以 //BF 平面 ADE . …………… 3 分 同理，得 //BC 平面 ADE . 又因为 BC BF B ， BC  平面 BCF ， BF  平面 BCF ， 所以平面 //BCF 平面 ADE . ………… 6 分 （Ⅱ）由 DE  平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， 得 , ,DA DC DE 两两垂直，故分别以 , ,DA DC DE 为 x 轴， y 轴， z 轴，如图建 立空间直角坐标系， ………… 7 分 则 (0,0,0)D ， (0,0,2)E ， (2,2,1)F ， (2,0,0)A ， 所以 ( 2,0,2)AE   ， (0,2,1)AF  . ……… 8 分 设平面 AEF 的法向量 ( , , )x y zn ， 由 0AE   n ， 0AF   n ，得 2 2 0, 2 0, x z y z       令 1y  ，得 ( 2,1, 2)  n . ………11 分 平面 DAE 的法向量 (0,1,0)m . 设钝二面角 D AE F  的平面角为 ， 则 1| cos | | cos , | | || | | | 3       m nm n m n ， 所以 1cos 3    ，即钝二面角 D AE F  的余弦值为 1 3  . ………… 14 分 A B C F E D y x z 12 17.（本小题满分 14 分）从①前 n 项和 2 ( )nS n p p R   ,② 1 3n na a   ,③ 6 11a  且 1 22 n n na a a   ，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答. 在数列 na 中， 1 1a  , ,其中 n N  . （I）求 na 的通项公式； （H）若 1, ,n ma a a 成等比数列，其中 ,m n N  ,且 1m n  ，求 m 的最小值. 解：以数列为背景的劣构问题，随便选. 选择 ①： (Ⅰ) 当 1n  时，由 1 1 1S a  ，得 0p  . ……………… 2 分 当 2n≥ 时，由题意，得 2 1 ( 1)nS n   ， ……………… 3 分 所以 1 2 1n n na S S n    （ 2n≥ ）. ……………… 5 分 经检验， 1 1a  符合上式， 所以 2 1 ( )na n n  N* . …………… 6 分 (Ⅱ)由 1, ,n ma a a 成等比数列，得 2 1n ma a a ， ……………… 8 分 即 2(2 1) 1 (2 1)n m    . ……………… 9 分 化简，得 2 21 12 2 1 2( )2 2m n n n      ， ……………… 11 分 因为 m ， n 是大于 1 的正整数，且 m n ， 所以当 2n  时， m 有最小值5 ． ……………… 14 分 选择 ②: (Ⅰ)因为 1 3n na a   ，所以 1 3n na a   ． ……………… 2 分 所以数列{ }na 是公差 3d  的等差数列． ……………… 4 分 所以 1 ( 1) 3 2 ( )na a n d n n     N* . ……………… 6 分 (Ⅱ)由 1, ,n ma a a 成等比数列，得 2 1n ma a a ， ……………… 8 分 即 2(3 2) 1 (3 2)n m    . ……………… 9 分 化简，得 2 22 23 4 2 3( )3 3m n n n      ， ……………… 11 分 13 因为 m ， n 是大于 1 的正整数，且 m n ， 所以当 2n  时，m 取到最小值 6． ……………… 14 分 选择 ③： (Ⅰ) 由 1 22 n n na a a   ，得 1 2 1n n n na a a a     . 所以数列{ }na 是等差数列． ……………… 2 分 又因为 1 1a  ， 6 1 5 11a a d   ， 所以 2d  ． ……………… 4 分 所以 1 ( 1) 2 1( )na a n d n n     N* . ……………… 6 分 (Ⅱ) 因为 1, ,n ma a a 成等比数列，所以 2 1n ma a a ， ……………… 8 分 即 2(2 1) 1 (2 1)n m    . ……………… 9 分 化简，得 2 21 12 2 1 2( )2 2m n n n      ， ……………… 11 分 因为 m ， n 是大于 1 的正整数，且 m n ， 所以当 2n  时， m 有最小值5 ． ……………… 14 分 注：第 2 问，逐一列举，可以得分（需给出其他不成等比数列） 14 18.（本小题满分 14 分）某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育， 得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为 8 组：[0.486,0.536) ， [0.536,0.586) ，，[0.836,0.886) 加以统计，得到如图所示的频率分布直方图. 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于 0.736 的种子定为“A 级”，发芽率低于 0.736 但不低于 0.636 的种子定为“B 级”，发芽率低于 0.636 的种子定为“C 级”. （Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，求该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别 为 20 元、15 元、10 元. 某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费 X 元，以频率为概率，求 X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍， 那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差 是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）. 解：不要忘了设事件（1 分） （Ⅰ）设事件 M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1 分 由图表，得 (0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.2 0.4) 0.05 1a         ， 解得 2.4a  . ……………… 2 分 由图表，知“C 级”种子的频率为 (0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2    ， ………… 3 分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为 0.2 . 因为事件 M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种 子”为对立事件， 所以事件 M 的概率 ( ) 1 0.2 0.8P M    . ……………… 5 分 （Ⅱ）由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为 (4.4 1.2 0.4) 0.05 0.3    ， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为 (4.0 6.0) 0.05 0.5   ， 恰好是“C 级”的概率为 (0.4 1.2 2.4) 0.05 0.2    . ……………… 7 分 随机变量 X 的可能取值有 20 ， 25 ， 30， 35， 40 ， O 发芽率0.486 0.536 0.586 0.636 0.686 0.736 0.786 0.836 0.886 0.4 a 频率 组距 1.2 4.0 4.4 6.0 15 且 ( 20) 0.2 0.2 0.04P X     ， ( 25) 0.2 0.5 0.5 0.2 0.2P X       ， ( 30) 0.5 0.5 0.3 0.2 0.2 0.3 0.37P X         ， ( 35) 0.3 0.5 0.5 0.3 0.3P X       ， ( 40) 0.3 0.3 0.09P X     . ……………… 9 分 所以 X 的分布列为： X 20 25 30 35 40 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 ……………… 10 分 故 X 的数学期望 ( ) 20 0.04 25 0.2 30 0.37 35 0.3 40 0.09 31E X            . ……………… 11 分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14 分 公式： 2( ) ( )D aX b a D x  ，故此题变化后方差为原来的 21.1 1.21 倍. 16 19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，右焦点为 F,点 ( ,0)A a . 且 1AF  . (I)求椭圆 C 的方程； (II)过点 F 的直线 l （不与 x 轴重合）交椭圆 C 于点 M, N，直线 MA, NA 分别与直线 x = 4 相交 于点 P, Q.求 PFQ 的大小. 解：定角，还不知道多少度吗？ 4x  出现多少次了，再说为啥总出现 4x  这条直线呢？ （Ⅰ）由题意得 1 ,2 1, c a a c      解得 2a  ， 1c  ， …………… 3 分 从而 2 2 3b a c   ， 所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 3 x y  ． … 5 分 （Ⅱ）当直线 l 的斜率不存在时，有 3(1, )2M ， 3(1, )2N  ， (4, 3)P  ， (4,3)Q ， (1,0)F ， 则 (3, 3)FP   ， (3,3)FQ  ，故 0FP FQ   ，即 90PFQ   ． ………… 6 分 当直线l 的斜率存在时，设 : ( 1)l y k x  ，其中 0k  ． ……………… 7 分 联立 2 2 ( 1), 3 4 12, y k x x y      得 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k     ． ……………… 8 分 由题意，知 0  恒成立， 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，则 2 1 2 2 8 4 3 kx x k    ， 2 1 2 2 4 12 4 3 kx x k   ． ………… 9 分 直线 MA 的方程为 1 1 ( 2)2 yy xx   ． ……………… 10 分 令 4x  ，得 1 1 2 2P yy x   ，即 1 1 2(4, )2 yP x  ． ……………… 11 分 同理可得 2 2 2(4, )2 yQ x  ． ……………… 12 分 所以 1 1 2(3, )2 yFP x    ， 2 2 2(3, )2 yFQ x    ． M P AF N x y O Q 17 因为 1 2 1 2 49 ( 2)( 2) y yFP FQ x x        2 1 2 1 2 4 ( 1)( 1)9 ( 2)( 2) k x x x x      2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 [ ( ) 1]9 2( ) 4 k x x x x x x x x        2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 12 84 ( 1)4 3 4 39 4 12 16 44 3 4 3 k kk k k k k k k          2 2 2 2 2 2 2 4 [(4 12) 8 (4 3)]9 (4 12) 16 4(4 3) k k k k k k k          0 ， 所以 90PFQ   ． 综上， 90PFQ   . ……………… 14 分 20.（本小题满分 15 分）设函数 ( ) cosxf x ae x  ，其中 a R . （I）已知函数 ( )f x 为偶函数，求 a 得值; （II）若 1a  ，证明：当 0x  时， ( ) 2f x  ; （III）若 ( )f x 在区间[0, ] 内有两个不同的零点，求 a 的取值范围. 解：导数题里看到三角函数，立马浮现出三个字：隐零点.第二问注意数形结合. （Ⅰ）函数 ( )f x 为偶函数， 所以 ( π) (π)f f  ，即 π πe 1 e 1a a    ， ……………… 2 分 解得 0a  . 验证知 0a  符合题意.（不验证不扣分，当然求出两个值时，一定要验证） … 4 分 （Ⅱ） ( ) e sinxf x x   . ……………… 6 分 由 0x  ，得 e 1x  ， sin [ 1,1]x  ， ……………… 7 分 则 ( ) e sin 0xf x x    ，即 ( )f x 在 (0, ) 上为增函数. 故 ( ) (0) 2f x f  ，即 ( ) 2f x  . ………………9 分 （Ⅲ）由 ( ) e cos 0xf x a x   ，得 cos ex xa   . 设函数 cos( ) ex xh x   ， [0,π]x ， ……………… 10 分 则 sin cos( ) ex x xh x   . ……………… 11 分 令 ( ) 0h x  ，得 3π 4x  . 随着 x变化， ( )h x 与 ( )h x 的变化情况如下表所示： 18 x 3π(0, )4 3π 4 3π( ,π)4 ( )h x  0  ( )h x ↗ 极大值 ↘ 所以 ( )h x 在 3π(0, )4 上单调递增，在 3π( ,π)4 上单调递减. ……………… 13 分 又因为 (0) 1h   ， π(π) eh  ， 3π 43π 2( ) e4 2h   ， 所以当 3π π 42[e , e )2a  时，方程 cos ex xa   在区间[0,π]内有两个不同解，且在区间 3π[0, )4 与 3π( ,π]4 上各有一个解. 即所求实数 a 的取值范围为 3π π 42[e , e )2  . ……………… 15 分 19 解：读懂题意，21 题已经不是只做第一问的年代了. (Ⅰ) ka 可以等于 1k  ，但 ka 不能等于 12 k  .（对一个 2 分） ………… 3 分 (Ⅱ) 记 b a 为区间[ , ]a b 的长度， 则区间[0,100] 的长度为100 ， kI 的长度为1. 由①，得 100N≥ . ……………… 6 分 又因为 1 [0,1]I  ， 2 [1,2]I  ， ， 100 [99,100]I  显然满足条件①，②. 所以 N 的最小值为100 . ……………… 8 分 (Ⅲ) N 的最大值存在，且为 200 . ……………… 9 分 解答如下： （1）首先，证明 200N ≤ . 由②,得 1 2, , , NI I I 互不相同，且对于任意 k ， [0,100]kI   . 不妨设 1 2 na a a     . 如 果 2 0a ≤ ， 那 么 对 于 条 件 ② ， 当 1k  时 ， 不 存 在 [0,100]x ， 使 得 ix I ( 2,3, , )i N  . 这与题意不符，故 2 0a  . ……………… 10 分 如果 1 1 1k ka a  ≤ ，那么 1 1k k kI I I   ， 20 这与条件②中“存在 [0,100]x ，使得 ix I ( 1,2, , 1, 1, )i k k N    ”矛盾， 故 1 1 1k ka a   . 所以 4 2 1 1a a   ， 6 4 1 2a a   ， ， 200 198 1 99a a   ， 则 200 1 100a   . 故 1 2 200 [0,100]I I I   . 若存在 201I ，这与条件②中“存在 [0,100]x ，使得 ix I ( 1,2, ,200)i   ”矛盾， 所以 200N ≤ . ……………… 12 分 （2）给出 200N  存在的例子 . 令 1 100 ( 1)2 199ka k    ，其中 1,2, ,200k   ，即 1 2 200, , ,a a a 为等差数列，公 差 100 199d  . 由 1d  ，知 1k kI I    ，则易得 1 2 200 1 201[ , ]2 2I I I    ， 所以 1 2 200, , ,I I I 满足条件①. 又公差 100 1 199 2d   ， 所以 100 ( 1)199 kk I  ，100 ( 1)199 ik I  ( 1,2, , 1, 1, )i k k N    .（注：100 ( 1)199 k  为区间 kI 的中点对应的数） 所以 1 2 200, , ,I I I 满足条件②. 综合（1）（2）可知 N 的最大值存在，且为 200 . ……………… 14 分