高考数学考点47 两个基本计数原理

高考数学考点47 两个基本计数原理

1 （1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. （2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 1．两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条 件 完成一件事有两类方案，在第 1 类方案中有 m 种 不同的方法，在第 2 类方案中有 n 种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法 结 论 完成这件事共有 种不同的方法 完成这件事共有 种不同的方法 【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则 就分步处理． 2．两个计数原理的区别与联系 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 联系 两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言 区别一 每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、 一次的，且每次得到的是最后结果，只需一 种方法就可完成这件事 每一步得到的只是中间结果，任何一步都 不能独立完成这件事，缺少任何一步也不 可，只有各步骤都完成了才能完成这件事 区别二 各类办法之间是互斥的、并列的、独立的 各步之间是相互依存的，并且既不能重复 也不能遗漏 考向一 分类加法计数原理 （1）分类加法计数原理的特点： ①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准． ②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类． （2）使用分类加法计数原理遵循的原则： 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则． （3）应用分类加法计数原理要注意的问题： ①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事． N m n  N m n  2 ②完成这件事的 n 类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再 用到其他的方法． ③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任 意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． 典例 1 将编号 1，2，3，4 的小球放入编号为 1，2，3 的盒子中，要求不允许有空盒子，且球与盒子的号 不能相同，则不同的放球方法有 A．16 种 B．12 种 C．9 种 D．6 种 【答案】B 【解析】由题意可知，这四个小球有两个小球放在一个盒子中，当四个小球分组为如下情况时，放球方法 有： 当 1 与 2 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； 当 1 与 3 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； 当 1 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； 当 2 与 3 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； 当 2 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法； 当 3 与 4 号球放在同一盒子中时，有 2 种不同的放法. 因此，不同的放球方法有 2+2+2+2+2+2=12 种.故选 B. 【名师点睛】本题主要考查分类加法计数原理的应用，分六种情况讨论，求解每一种类型的放球方法数， 然后利用分类加法计数原理求解即可.解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题 过程中要首先分清“是分类还是分步”，在应用分类加法计数原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏， 这样才能提高准确率. 1．小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种 IC 电话卡．若他至少买一张，则不同的买法共有 A．7 种 B．8 种 C．6 种 D．9 种 3 考向二 分步乘法计数原理 应用分步乘法计数原理要注意的问题： ①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的， 也就是说必须要经过几步才能完成这件事． ②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都 不可能完成． ③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之 间既不能重复也不能遗漏． 典例 2 某商场共有 4 个门，购物者若从一个门进，则必须从另一个门出，则不同走法的种数是 A．8 B．7 C．11 D．12 【答案】D 【解析】从一个门进有 4 种选择，从另一个门出有 3 种选择，共有 4×3=12(种)走法． 【名师点睛】对于分步乘法计数原理： ①要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序． ②各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件． ③对完成各步的方法数要准确确定． 典例 3 现有小麦、大豆、玉米、高粱 4 种不同农作物供选择，在如图所示的四块土地上种植，要求有公共 边界的两块地不能种同一种农作物，则不同的种植方法共有 A．36 种 B．48 种 C．24 种 D．30 种 【答案】B 【解析】由题意可知，本题是一个分步计数的问题. 先给右边的一块地种植，有 种结果； 再给中间上面的一块地种植，有 种结果； 4 3 4 再给中间下面的一块地种植，有 种结果； 最后给左边的一块地种植，有 种结果. 根据分步计数原理可知共有 种结果. 故选 B. 【名师点睛】本题主要考查的知识点是分步计数原理，这种问题解题的关键是看清题目中出现的结果，几 个环节所包含的事件数在计算时要做到不重不漏.需要先给右边的一块地种植，有 种结果，再给中间上面 的一块地种植，有 种结果，再给中间下面的一块地种植，有 种结果，最后给左边的一块地种植，有 种 结果，相乘即可得到结果. 2．已知 ， ，则 可表示不同的值的个数为 A．2 B．4 C．8 D．15 考向三 两个计数原理的综合应用 （1）利用两个原理解决涂色问题 解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色 的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数． 解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类， 正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题 解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有 的子集有 个， 真子集有 个． 典例 4 一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如 735,414 等)，那么，这 样的三位数共有 A．240 个 B．249 个 C．285 个 D．330 个 【答案】C 【解析】因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字， 2 2 4 3 2 2 48    4 3 2 2  1,2,3,4x  5,6,7,8y xy 1 2 3, , , ,{ }na a a a 2n 2 1n  5 所以当十位数字是 0 时有 9×9=81 种结果， 当十位数字是 1 时有 8×8=64 种结果， 当十位数字是 2 时有 7×7=49 种结果， 当十位数字是 3 时有 6×6=36 种结果， 当十位数字是 4 时有 5×5=25 种结果， 当十位数字是 5 时有 4×4=16 种结果， 当十位数字是 6 时有 3×3=9 种结果， 当十位数字是 7 时有 2×2=4 种结果， 当十位数字是 8 时有 1 种结果， 所以共有 81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1=285 种结果． 【名师点睛】与两个计数原理有关问题的常见类型及解题策略： (1)与数字有关的问题．可分类解决，每类中又可分步完成，也可以直接分步解决． (2)与几何有关的问题．可先分类，再分步解决． (3)涂色问题．可按颜色的种数分类完成，也可以按不同的区域分步完成． 3．如图所示,从甲地到乙地有 3 条公路可走,从乙地到丙地有 2 条公路可走,从甲地不经过乙地到丙地有 2 条 水路可走.则从甲地经乙地到丙地和从甲地到丙地的走法种数分别为 A．6,8 B．6,6 C．5,2 D．6,2 1．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的 6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼 只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A．14 B．16 C．18 D．20 2．若 4 位同学报名参加 3 个不同的课外活动小组，每位同学限报且必须报其中的一个小组，则不同的报名 方法共有 6 A．34 种 B．9 种 C．43 种 D．12 种 3．从 这九个数字中，任意抽取两个相加所得的和为奇数的不同代数式的种数是 A．6 B．9 C．20 D．25 4．从正方体的 6 个面中选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法共有 A．8 种 B．12 种 C．16 种 D．20 种 5．某艺术小组有 9 人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中 7 人会钢琴，3 人会小号，从中选出会 钢琴和会小号的各 1 人，则不同的选法有 A．8 种 B．12 种 C．16 种 D．20 种 6．把 2 支相同的晨光签字笔,3 支相同英雄钢笔全部分给 4 名优秀学生,每名学生至少 1 支,则不同的分法有 A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 7．用 5 种不同颜色给图中的 A、B、C、D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不 同，则不同的涂色方案共有 A．420 种 B．180 种 C．64 种 D．25 种 8．某班上午有五节课,分别安排语文,数学,英语,物理,化学各一节课.要求语文与化学相邻,数学与物理不相邻, 且数学课不排第一节,则不同排课法的种数是 A．16 B．24 C．8 D．12 9．已知集合 ，从两个集合中各取一个元素作点的坐标，则在直角坐标系 中，第一、二象限不同点的个数为 A．18 B．16 1,2, ,9 { } { }1, 2,3 4,5,6, 7M N   , 7 C．14 D．10 10．几个孩子在一棵枯树上玩耍，他们均不慎失足下落．已知 （ ）甲在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ； （ ）乙在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ； （ ）丙在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ； （ ）丁在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ； （ ）戊在下落的过程中依次撞击到树枝 ， ， ． 李华在下落的过程中撞到了从 到 的所有树枝，根据以上信息，在李华下落的过程中，和这 根树 枝不同的撞击次序有 A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 11．已知 a∈{3,4,5}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则方程(x－a) 2＋(y－b) 2=r2 可表示不同圆的个数为______ 个． 12．我们把个位数比十位数小的两位数称为“和谐两位数”，则 1，2，3，4 四个数组成的两位数中，“和谐两 位数”有______个. 13．如图所示的几何体由一个正三棱锥 P－ABC 与正三棱柱 组合而成，现用 3 种不同颜色对 这个几何体的表面染色(底面 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________ 种． 14．将黑白 2 个小球随机放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，则黑白两球均不在 1 号盒子的概率为 ________． 15．为举办校园文化节，某班推荐 2 名男生、3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演唱 2 人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推 1 A B C 2 D E F 3 G A C 4 B D H 5 I C E A I 9 23 24 32 33 1 1 1ABC A B C 1 1 1A B C 8 荐方案的种数为________．(用数字作答) 1．(2016 年高考新课标Ⅱ卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老 年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9 2．(2016 年高考新课标Ⅲ卷)定义“规范 01 数列”{an}如下：{an}共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对 任意 ， 中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 A．18 个 B．16 个 C．14 个 D．12 个 3．(2013 年高考福建卷) 满足 a，b∈{−1,0,1,2}，且关于 x 的方程 有实数解的有序数对 的个数为 A．14 B．13 C．12 D．10 4．(2013 年高考山东卷) 用 0，1，…，9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 A．243 B．252 C．261 D．279 5．(2014 年高考安徽卷) 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60°的共有 A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对 2k m 1 2, , , ka a a 2 2 0ax x b   ( , )a b 9 1．【答案】A 2．【答案】D 【解析】完成 xy 这个事件分两个步骤： 第一步，从{1,2,3,4}中任选一个数 ，有 4 种选法； 第二步，从{5,6,7,8}中任选一个数 ，也有 4 种选法. 根据分步计数原理，完成这个事件有： 种取法. 其中 ， 种，故选 D． 【名师点睛】在解决计数问题时，首先要分析需要分类还是分步，分步要注意步骤完整，即完成所有步 骤，恰好能完成任务，且步与步之间要相互独立. 3．【答案】A 【解析】由题意，从甲地经乙地到丙地的走法，根据分步乘法计数原理可得，共有 种； 再由分类加法计数原理，可得从甲地到丙地，共有 种走法，故选 A. 【名师点睛】本题主要考查了分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用问题，根据题意，应用乘原 理，即可求解甲地经乙地到丙地的走法的种数，再由加法原理，即可得到甲地到丙地的所有走法的种数. 其中正确理解题意，合理选择计数原理是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力. 1．【答案】D 【名师点睛】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．分类讨论，利用加法原理， x y 4 4 16  3 8 4 6   16 1 15   2 3=6 6 2 8  10 可得结论． @#网 2．【答案】A 【解析】由分步计数原理人去选活动小组，每个人都选完，事情结束，所以方法数为 3×3×3×3=34 种.故 选 A. 【名师点睛】本题考查分步计数原理求完成事情的方法数，只需要区分理解分类计数原理与分步计数原 理即可求解. 3．【答案】C 【解析】有 5 个奇数，4 个偶数，所以要使和为奇数必取一奇一偶，即有 种，选 C. 4．【答案】B 【解析】在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，选取 3 个面有 2 个不相邻，则必选相对的 2 个面，所以分 3 类．若选 ABCD 和 A1B1C1D1 两个面，另一个面可以是 ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1 和 ADD1A1 中的一个， 有 4 种．同理选另外相对的 2 个面也有 4 种．所以共有 4×3=12(种)． 5．【答案】D 【解析】由题意知，在艺术小组 9 人中，有且仅有 1 人既会钢琴又会小号(称为“多面手”)，只会钢琴的有 6 人，只会小号的有 2 人．按“多面手”的选法分为两类： (1)“多面手”入选，则有 6＋2=8(种)选法； (2)“多面手”不入选，则有 6×2=12(种)选法． 因此选法共有 8＋12=20(种)． 6．【答案】B 5 4=20 11 【名师点睛】本题主要考查分步计数原理的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理 及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条 件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既 不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率. 7．【答案】B 【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域 A 有 5 种 涂法，B 有 4 种涂法，C 有 3 种，D 有 3 种涂法.∴共有 5×4×3×3=180 种不同的涂色方案． 故答案为 B. 【名师点睛】由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域 A 有 5 种涂法， B 有 4 种涂法，C 有 3 种，D 有 3 种涂法，根据乘法原理可得结论．解答排列、组合应用题要从“分析”、 “分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 8．【答案】A 【解析】根据题意，分 3 步进行分析： ①要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有 2 种情况； ②将这个整体与英语全排列，有 种顺序，排好后，有 3 个空位； ③数学课不排第一节，有 2 个空位可选，在剩下的 2 个空位中任选 1 个，安排物理，有 2 种情况，则数 学、物理的安排方法有 种，则不同排课法的种数是 种. %&网 2 2A 2 2 2 4  2 2 4 16   12 故选 A. 9．【答案】C 10．【答案】D 【解析】由题可判断出树枝部分顺序 ，还剩下 ， ， ， 先看树枝 在 之前，有 种可能，而树枝 在 之间， 在 之后， 若 在 之间， 有 种可能： ①若 在 之间， 有 种可能， ②若 在 之间， 有 种可能， ③若 在 之间， 有 种可能． 若 不在 之间，则 有 种可能，此时 有 种可能， 可能在 之间， 有 种可能， 可能在 之间， 有 种可能， 综上，共有 种． 故选 ． 【名师点睛】本题主要考查分类计数原理的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原 理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐 含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论 时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.由题可判断出树枝部分顺序 ， 还剩下 ， ， ，先看树枝 在 之前，有 种可能，而树枝 在 之间， 在 之后，若 在 之间，利用分类计数加法原理求解即可. 11．【答案】24 【解析】确定圆的方程可分三步：确定 a 有 3 种方法，确定 b 有 4 种方法，确定 r 有 2 种方法，由分步 计数原理知 N=3×4×2=24(个)． 12．【答案】6 GABCEF D H I I C 4 D BE H D I BC D 3 D BI H 5 D IC H 4 D CE H 3 I BC I 3 D 2 D BC H 4 D CE H 3  5 4 3 3 4 3 12 21 33       D GABCEF D H I I C 4 D BE H D I BC 13 13．【答案】12 【解析】先涂三棱锥 P－ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有 3×2×1×2=12 种． 14．【答案】 【解析】黑白两个球随机放入编号为 的三个盒子中，每个球都有三种放法，故共有 种放 法在，黑白两球均不在一号盒，都有两种放法，共有 ，所以黑白两球均不在一号盒的概率为 ，故答案为 . 【名师点睛】本题主要考查分步计数乘法原理与古典概型概率公式的应用，属于中档题.先求黑白两个 球随机放入编号为 的三个盒子的所有放法，再求出黑白两球均不在一号盒的放法，利用古典概型 概率公式可得到结果. 15．【答案】24 【解析】若参加乐器培训的是女生，则各有 1 名男生及 1 名女生分别参加舞蹈和演唱培训，共有 3×2×2=12(种)方案；若参加乐器培训的是男生，则各有 1 名男生、1 名女生及 2 名女生分别参加舞蹈和 演唱培训，共有 2×3×2=12(种)方案，所以共有 24 种推荐方案． 1．【答案】B 【解析】由题意可知 E→F 共有 6 种走法，F→G 共有 3 种走法，由乘法计数原理知，则共有 6×3=18 种 走法，故选 B. 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间 是独立的． 分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步 之间是相关联的． 2．【答案】C 【解析】由题意，得必有 ， ，则具体的排法列表如下： 4 9 1,2,3 3 3 9  2 2 4  4 9 4 9 1,2,3 1 0a  8 1a  14 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 10 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 由上表知，不同的“规范 01 数列”共有 14 个，故选 C. 【方法点拨】求解计数问题时，如果遇到情况较为复杂，即分类较多，标准也较多，同时所求计数的结 果不太大时，往往利用表格法、树状图将其所有可能一一列举出来，常常会达到岀奇制胜的效果． 3．【答案】B 【解析】当 时，关于 x 的方程为 ，此时有序数对 均满足要求； 当 时， ，所以 ，此时满足要求的有序数对为 ． 综上，共有 13 个满足要求的有序数对． 4．【答案】B 0a  2 0x b       0, 1 0,0 0,1 0 2) ,(  ， ， ， 0a  4 4 0ab    1ab  ( ) ( ) (1, 1 1,0 1,1 1,2) ( )    , , , ,      1 1 1,0 1,1 2 1 2,0( ) ( ) , , , ， , , 15 5．【答案】C 【解析】解法一（直接法）：如图，在上底面中选 ，四个侧面中的面对角线都与它成 60°，共 8 对， 同样 对应的也有 8 对，下底面也有 16 对，共有 32 对；左右侧面与前后侧面中共有 16 对．所以全 部共有 48 对． 学@ 解法二（间接法）：正方体的 12 条面对角线中，任意两条垂直、平行或成角为 60°，其中，互相垂直的 有 12 对，互相平行的有 6 对，所以成角为 60°的共有 对． 1 1B D 1 1AC 2 12C 12 6 48  