2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年福建省龙岩市非一级达标校高二上学期期末教学质量检查数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题，命题，则（ ）‎ A．命题是假命题 B．命题是真命题 C．命题是真命题 D．命题是假命题 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：先判断出命题p与q的真假，再由复合命题真假性的判断法则，即可得到正确结论．‎ 解：由于x=10时，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命题p为真命题，‎ 令x=0，则x2=0，故命题q为假命题，‎ 依据复合命题真假性的判断法则，‎ 得到命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题，￢q是真命题，‎ 进而得到命题p∧（￢q）是真命题，命题p∨（￢q）是真命题．‎ 故答案为C．‎ ‎【考点】全称命题；复合命题的真假．‎ ‎2．在中，，，，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB.‎ ‎【详解】‎ 由内角和定理知，‎ 所以，‎ 即，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，属于中档题.‎ ‎3．若实数x，y满足，则的最小值为　　‎ A．2 B．1 C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．‎ ‎【详解】‎ 画出实数x，y满足表示的平面区域，‎ 如图所示；‎ 平移目标函数，即，.‎ 当目标函数过点A时，z取得最小值，‎ 由，解得，‎ 的最小值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎4．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 设塔顶的a1盏灯，‎ 由题意{an}是公比为2的等比数列，‎ ‎∴S7==381，‎ 解得a1=3．‎ 故选B．‎ ‎5．已知实数a，，a，b的等差中项为，设，则的最小值为　　‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：由题意得，．最小值为5‎ ‎【考点】1．等差中项；2．均值不等式求最值 ‎6．已知四棱锥的底面是正方形，且底面，，则异面直线与所成的角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】可设,以为正交基底建系，求出的坐标，代入夹角公式，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 以点A为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，‎ 设，则,，，，‎ 则,，‎ 设夹角为.则，‎ 所以，即异面直线与所成的角为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角及空间向量的坐标运算，属中档题．‎ ‎7．若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意得出，由此求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：显然a=0，不等式不恒成立，所以不等式对一切实数都成立，‎ 则，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用判别式解决一元二次不等式恒成立问题，是基础题.‎ ‎8．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于、两点，若线段的长为，则（ ）‎ A． B．1 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】写出过焦点的倾斜角为直线方程，与抛物线方程联立，消去得关于的一元二次方程，由根与系数的关系和抛物线的定义写出的值，列方程求得的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知过焦点的倾斜角为直线方程为，‎ 由消去可得，所以，‎ 所以，‎ 解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的定义与性质的应用问题，是中档题．‎ ‎9．如图，已知顶角为的三角形ABC满足，点D，E分别在线段和上，且满足，当的面积取得最大值时，的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求的面积，然后利用基本不等式确定的值，设，则，，进而在中，利用余弦定理将表示为的函数，从而求出的最小值.‎ ‎【详解】‎ 的面积，‎ 当且仅当时取等号，此时为等边三角形，‎ 又，设，则，，显然，‎ 在中，由余弦定理，得 ‎，‎ 其对称轴为，又 当时，取得最小值，故DE的最小值为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用、基本不等式、函数最值的知识考查数形结合能力、运算求解能力，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎10．已知不等式的解集为，则______．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】由不等式的解集，得到方程的解为和，由根与系数关系即可求出的值，进而求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：因为不等式的解集为，‎ 所以和为的解，‎ 由根与系数的关系可得,,所以，，‎ 则．‎ 故答案为：3‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，关键是把握一元二次不等式的解集与相应一元二次方程根之间的关系．‎ ‎11．设等差数列的前项和为，若，，则等于______.‎ ‎【答案】 45 ‎ ‎【解析】根据等差数列的前项和转化为关于和的数量关系来求解 ‎【详解】‎ 等差数列的前项和为，，，‎ 则有，解得 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列前项和的公式运用，在解答此类题目时可以将其转换为关于和的数量关系来求解，也可以用等差数列和的性质来求解，较为基础。‎ ‎12．一艘轮船从港口A处出发，以15海里小时的速度沿着北偏西的方向直线航行，在港口A处测得灯塔M在北偏东方向，航行40分钟后，轮船与灯塔的距离是海里，则灯塔M与港口A的距离为______海里．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】在中，利用正弦定理计算得出是直角三角形，再计算即可．‎ ‎【详解】‎ 设轮船航行40分钟后到达B点，由题意可知海里，海里，，‎ 在中，由正弦定理可得， ‎ 即,解得，所以，‎ 在中，，所以海里．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎13．已知双曲线右支上有一点，它关于原点的对称点为，双曲线的右焦点为，满足，且，则双曲线的离心率的值是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】运用三角函数的定义可得，，取左焦点，连接，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式可得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎，可得，在中，，，‎ 在直角三角形中，，‎ 可得，，‎ 取左焦点，连接 ，可得四边形为矩形，‎ ‎，‎ ‎，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法以及双曲线的应用，属于中档题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ 三、解答题 ‎14．已知命题p：实数x满足，命题q：实数x满足．‎ ‎（1）当且为真命题时，求实数x的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】(1)；(2) ．‎ ‎【解析】(1)当时，求出为真命题的等价条件，结合为真命题时，则同时为真命题进行求解即可；‎ ‎(2)将 p是q的必要不充分条件转化为对应集合之间的关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)当时，由得,解得，所以，‎ 由得，所以命题，‎ 若为真命题时，则同时为真命题，‎ 即，得，‎ 所以实数x的取值范围是．‎ ‎(1)由，得，‎ 若是的必要不充分条件，则，‎ 则，即，‎ 所以实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用以及复合命题真假关系的应用，根据条件转化为集合关系是解决本题的关键．‎ ‎15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．‎ ‎（1）若的面积为，求a，b的值；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】(1)由余弦定理可得，利用三角形的面积公式可得，联立即可得解的值．‎ ‎(2)对利用正弦定理可得，再结合由余弦定理得，解方程组可得的值，再根据三角形的面积公式即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 在中，由余弦定理，得，即，①‎ 所以的面积，所以,②‎ 由①②解得,．‎ ‎(2)因为，所以 又在中，由余弦定理，得，‎ 即，解得，，‎ 所以的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理，三角形的面积公式及正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎16．设是公比为正数的等比数列，．‎ ‎(1)求的通项公式；‎ ‎(2)设，求证：数列的前项和．‎ ‎【答案】(1)；(2)见解析．‎ ‎【解析】(1)设是公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再利用等比数列通项公式，即可求出所求通项；‎ ‎(2)将代入可求得，再由数列的裂项相消法求和，结合不等式的性质即可证出．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设是公比为的等比数列，‎ 由,，可得，解得或(舍去)‎ 所以．‎ ‎(2)由(1)知，所以，‎ 所以，‎ 所以数列的前项和 ‎，‎ 因为，故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的裂项相消法求和，考查化简整理的运算能力，属于基础题．‎ ‎17．某商家计划投入10万元经销甲，乙两种商品，根据市场调查统计，当投资额为万元，经销甲，乙两种商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，当该商家把10万元全部投入经销乙商品时，所获收益为5万元．‎ ‎(1)求实数a的值；‎ ‎(2)若该商家把10万元投入经销甲，乙两种商品，请你帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大总收益，并求出最大总收益．‎ ‎【答案】(1)；(2)投入甲商品的资金为万元，投入乙商品的资金为万元，此时收益最大为万元．‎ ‎【解析】(1)将代入，即可求出的值；‎ ‎(2)根据分段函数求出在和内的收益函数，分别利用基本不等式和二次函数求出两段的最值，然后比较大小即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)依题意可得，解得．‎ ‎(2)设投入商品的资金为万元，则投入商品的资金为万元，‎ 设收入为万元，则 ‎①当时，，，‎ 则 ‎，当且仅当，即时，取等号．‎ ‎②当时，则，‎ 因为，所以此时，‎ 因为，所以最大收益为万元，‎ 答：投入甲商品的资金为8万元，投入乙商品的资金为2万元，此时收益最大，为17万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．‎ ‎18．如图，平面平面，其中四边形为矩形，四边形为梯形，，，，．‎ ‎（1）求证：平面ABF；‎ ‎（2）求二面角的正弦值．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)‎ ‎【解析】(1)因为平面平面，利用面面垂直的性质定理可得平面,进而得到，又，根据线面垂直的判定定理即可证出；‎ ‎(2)以为原点所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系,分别求出平面和平面的法向量，用向量法即可求出二面角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为平面平面，其中四边形为矩形，‎ 所以，平面,平面平面，‎ 所以平面,又平面，‎ 所以，又，，平面，‎ 所以平面，‎ ‎(2) 由(1)知，平面，平面，所以，‎ 以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系．‎ 在梯形中，作，垂足为，则，‎ ‎，所以,‎ 则，，，，‎ 所以，，设平面的一个法向量为，‎ 则由 ，即，取，得，‎ 所以，‎ 由(1)知，平面，所以可取平面的一个法向量，‎ 所以，‎ 设二面角的大小，则 ‎，‎ 即二面角的正弦值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，同时考查二面角的正弦值的求法，考查基本运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19．已知椭圆：的一个焦点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率为．‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）过点的动直线与椭圆相交于两点，为原点，求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2)．‎ ‎【解析】(1)抛物线：的焦点坐标为，则，再根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆的方程；‎ ‎(2)由题意知直线的斜率存在，设其方程为，设，将直线与椭圆联立成方程组，利用根与系数关系求出和，代入弦长公式即可求出，再利用点到直线距离公式求原点到直线的距离，从而可求，利用换元法根据基本不等式即可求出面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)抛物线的焦点坐标为，则，‎ 又椭圆的离心率，所以，‎ 所以，‎ 故所求椭圆的标准方程为．‎ ‎(2)由题意知直线的斜率存在，设其方程为,‎ 设，则 由消去得，‎ 由，得，‎ 由根与系数的关系可得，，‎ 又原点到直线的距离，‎ 所以，‎ 令，则，所以 ‎，当且仅当，即，此时，‎ 所以的面积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算能力及分析问题能力，考查化归思想，属于中档题．‎