贵州省贵阳市2019-2020学年高二上学期联合考试数学（文科）试题

贵州省贵阳市2019-2020学年高二上学期联合考试数学（文科）试题

贵州省贵阳市2019-2020学年度上学期高二年级联合考试试卷数学（文科）‎ 一、选择题 ‎1.若集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合B，根据交集的定义，即可求得.‎ 详解】，‎ ‎，.‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2.不等式的解集是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由一元二次不等式解法，即可求得解集.‎ ‎【详解】，化为，‎ ‎，‎ 原不等式的解集为.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，要注意二次项系数的正负，属于基础题.‎ ‎3.在上随机地取一个数，则事件“”的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型的概率求法，转化为事件的区间长度与随机数区间的长度比.‎ ‎【详解】设事件“”的概率为，‎ 则.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查几何概型的概率求法，属于基础题.‎ ‎4.已知直线的倾斜角为，若，则（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两角和的正切公式展开，得关于的方程，求出，结合倾斜角的范围，可求出角.‎ ‎【详解】，解得，‎ ‎，.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查两角和的正切公式，以及斜率和倾斜角的关系，属于基础题.‎ ‎5.经调查，在某商场扫码支付的老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中中年人人数为9，则（ ）‎ A. 30 B. 40 C. 60 D. 80‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据用分层抽样的方法特点，各层比例相等，即可求出答案.‎ ‎【详解】老年人、中年人、青年人的比例为，用分层抽样的方法 中年人人数为9，所以.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查分层抽样，解题关键是各层按比例分配，属于基础题.‎ ‎6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，，则下列命题中为真命题的是（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.‎ ‎【详解】选项A,C直线可能在平面内，故不正确；选项B, 若，，则，或在平面内，而，故与可能平行，相交或异面，故不正确；对于选项D：由 ， ，结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理，可得出直线，故为正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.‎ ‎7.将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的一条对称轴方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据,横坐标伸长为原来的2倍,即周期变为原来的2倍，故变为原来的一半，可得函数解析式，再结合正切函数的对称轴，即可得解．‎ ‎【详解】解：依题意得变换后的函数解析式为，令,解得,再结合选项，‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查函数的伸缩变换，及其对称轴的求法，属于基础题．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）‎ A. 14 B. 15 C. 21 D. 28‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所给数值，判断是否满足判断框中的条件，满足执行循环语句执行一次运算，不满足退出循环，执行最后语句，得出结果.‎ ‎【详解】因为；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，不成立，‎ ‎，则输出.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查了循环结构，解答的关键是明确判断框内的条件，满足进入循环体，不满足结束算法.‎ ‎9.已知圆，若过点可作圆的两条切线，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出方程是表示圆的范围，根据条件点在圆外，代入圆方程左式大于零，再求出可的取值范围，二者取交集，即为所求的结果.‎ ‎【详解】，化为，‎ 方程表示圆故或 ①‎ 过点可作圆的两条切线，故在圆外，‎ ‎ ②‎ 由①②可得，的取值范围是或.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查圆的方程一般式，以及圆外的点满足的条件，注意方程表示圆的隐含条件不要遗漏，属于中档题.‎ ‎10.在中，，，，为所在平面内一点，且 ‎，若，则当取得最大值时，（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 两边平方，结合向量的数量积公式，可求得关系式，再用基本不等式求出的最大值以及对应的，即可得出答案.‎ 详解】由，得 ‎；‎ 整理得 ‎ 由基本不等式得，‎ ‎，当且仅当等号成立；‎ 此时.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查向量数量积求模长应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎11.如图，在长方体中，，，异面直线与所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先做出与所成角的角下图中的，设用表示，然后用余弦定理求出，求出长方体的对角线，即长方体的外接球的直径，可求出答案.‎ ‎【详解】连与交于点,则为中点，‎ 取中点，连，则 为异面直线与所成角,‎ 设则，，，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，解得 ‎，‎ 所以长方体的对角线长为 所以长方体的外接球的半径为，‎ 所以长方体外接球的表面积为.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角，余弦定理，以及长方体外接球的表面积，做出空间角，解三角形是解题的关键，属于较难题.‎ ‎12.已知定义在上的函数满足,且在上单调递增,则（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得的图象关于直线对称.因为，又在上单调递增,即可得解.‎ ‎【详解】解：依题意可得,的图象关于直线对称.‎ 因为,‎ 则， ‎ 又在上单调递增,‎ 所以.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的对称性及单调性，重点考查了利用函数的性质判断函数值的大小关系，属中档题.‎ 二、填空题 ‎13.向量，，若与共线，则的取值集合为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与共线，求得出的方程，即可得出答案.‎ ‎【详解】与共线，，解得或 的取值集合为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查共线向量的坐标关系，属于基础题.‎ ‎14.一组数据由小到大依次为，且平均数为9，则的最小值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得，利用基本不等式，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】一组数据由小到大依次为，‎ 且平均数为9，故，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式在最值中的应用，关键要对“1”做代换，属于中档题.‎ ‎15.设满足约束条件，则的最小值为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，根据目标函数的几何意义，即可求出的最小值.‎ ‎【详解】作出可行域，由图像可得，过点时，‎ 取得最小值.‎ ‎，解得，‎ 代入目标函数得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查二元一次方程组表示平面区域，以及线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题.‎ ‎16.在中，角的对边分别是.若，，则___________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据正弦定理化边为角，得出，求出，进而求出.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 或，‎ 或.‎ 答案为:或 ‎【点睛】本题考查正弦定理边角互化、两角和正弦公式、特殊角的三角函数值，考查计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知角的终边上一点的坐标为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若圆经过点，直线与圆交于两点，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数定义，求出，利用两角和正弦公式，即可求出结果；‎ ‎（2）先求出圆的半径，再求出圆心到直线的距离，应用弦长公式，即可求出.‎ ‎【详解】（1）的坐标为，‎ ‎；‎ ‎（2）圆经过点，‎ 由（1）得，‎ 直线，圆心到直线的距离为，‎ ‎，，‎ ‎【点睛】本题考查利用三角函数定义求三角函数值，考查圆与直线间的关系，相交弦长公式，属于中档题.‎ ‎18.已知是递增的等差数列，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的性质有，与联立，求出，即可求出数列的通项公式；‎ ‎（2）用裂项相消法可求数列的前项和.‎ ‎【详解】（1），，‎ 是递增的等差数列，，‎ 解得，；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和求通项，考查用裂项相消法求数列的前项和，属于中档题.‎ ‎19.在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理，把条件等式化成角，再用诱导公式与两角和的正弦公式，即可求出，进而求出；‎ ‎（2）面积公式结合余弦定理，求出，就可得到的周长.‎ ‎【详解】（1）由，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2），‎ 由余弦定理得，，‎ 周长为.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，以及诱导公式和两角和的正弦公式，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎20.某中学在全校范围内举办了一场“中国诗词大会”的比赛，规定初赛测试成绩不小于160分的学生进入决赛阶段比赛.现有200名学生参加测试，并将所有测试成绩统计如下表：‎ 分数段 频数 频率 ‎6‎ ‎0.03‎ ‎0.38‎ ‎100‎ ‎0.5‎ ‎6‎ ‎0.03‎ 合计 ‎200‎ ‎1‎ ‎（1）计算的值；‎ ‎（2）现利用分层抽样的方法从进入决赛的学生中选择6人，再从选出的6人中选2人做进一步的研究，求选择的2人中至少有1人的分数在的概率.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由频率和为1，求出，从而求出，再由频数和为200，求出；‎ ‎（2）按比例求出两组抽取的人数，并把6人编号，所求事件的概率为古典概型的概率，列出6人中选2人的所有情况，找出至少有1人的分数在的选法， 即可求出概率 ‎【详解】（1），‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）利用分层抽样方法从进入决赛的学生中选择6人，‎ 则组中选4人，记为1,2,3,4；‎ 组选2人，记为A,B. 从选出的6人中选2人 所有情况有：{1,2},{1,3},{1,4},{1,A},{1,B},{2,3},{2,4}，‎ ‎{2,A},{2,B},{3,4},{3,A},{3,B},{4,A},{4,B},{A,B}.共有15‎ 种选法，选择的2人中至少有1人的分数在有9种选法.‎ 选择的2人中至少有1人的分数在的概率为.‎ ‎【点睛】， ‎ 本题考查统计数据简单处理，以及古典概型的概率问题，属于基础题.‎ ‎21.如图，在正方体中，点，分别在棱，上，且满足 ‎，.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，求平面截正方体所得截面的面积.‎ ‎【答案】（1）见详解；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在取，连，可证共面，然后证平面，即可证出结论；‎ ‎（2）在取，连，可证四点共面，即为平面截正方体所得截面，求四边形面积即可.‎ ‎【详解】（1）在取，连，‎ 正方体,，‎ ‎，四边形是平行四边形，‎ ‎，‎ 共面，平面即为平面,‎ 平面平面，‎ 在中，，‎ 在中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面平面，‎ 平面，平面平面，‎ 即平面平面；‎ ‎（2）在取，连，‎ 正方体，‎ 四点共面，平面截正方 体所得截面为梯形，‎ ‎，‎ ‎，‎ 过做于，‎ ‎，‎ ‎，‎ 平面截正方体所得截面的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，关键要找到线线垂直，考查截面的面积，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，，且函数是偶函数.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若函数恰好有三个零点，求的值及该函数的零点.‎ ‎【答案】（1）；（2），零点为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是偶函数,得出关于直线对称，求出，即可求出解析式；‎ ‎（2）为偶函数，恰好有三个零点，可得为其零点，代入求出的值，令进而求出该函数的零点.‎ ‎【详解】（1）函数是偶函数，所以 关于关于直线对称，‎ ‎，‎ ‎；‎ ‎（2）设 为偶函数，‎ 恰好有三个零点，‎ 故必有一个零点为0，，‎ ‎，令 整理得，‎ ‎，解得或，‎ 得，；‎ ‎，即，‎ 所求函数的零点为.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性、函数解析式，以及利用函数的性质求零点问题，考查计算能力，是一道较为综合的题.‎ ‎ ‎