数学文卷·2018届湖南省衡阳县第一中学高二12月学科竞赛（2016-12）
衡阳县一中2016年下学期高二学科竞赛
数学试题(文)
总分：150分 时量：120分钟 命题人：
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在等差数列an中,a1=2,a3+a5=10,则a7=( )
A.5 B.8 C.10 D.14
2．不等式(1＋x)(1－x)>0的解集为( )
A．{x|0≤x<1} B．{x|x<－1或x>1}
C．{x|－1
2 B. x<2 C.20,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
10.已知函数是定义在上的单调函数，且对任意的正数都有若数列的前项和为，且满足则为 （ ）
A． B． C． D．
11.已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线 的左、右焦点，顶点P在双曲线上，
则 的值等于( )
12.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为( )
A.2 B.3 C.6 D.8
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。
13．不等式组所表示的平面区域的面积等于________．
14．设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________．
15.设椭圆C: 的左右焦点为F1, F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 .
16.在△ABC中,C=60°,a,b,c分别为角A,B,C的对边,则 = .
三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
在△ABC中，三内角A，B，C对边分别为a，b，c，若向量m＝，向量n＝，且m·n＝.
(1)求角A的值；
(2)若a＝2，b＋c＝4，求△ABC的面积．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
19.（本小题满分12分）
某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．那么该企业可获得最大利润是多少？
20. （本小题满分12分）
已知数列{an}满足a1=2,an=2an-1+2(n≥2).
(1)证明:数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式an.
(2)若数列{bn}满足bn=log2(an+2),设Tn是数列 的前n项和.
求证:Tn< .
21. （本小题满分12分）
设椭圆C: =1(a>b>0)的离心率e=,点A是椭圆上的一点,且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.
(1)求椭圆C的方程.
(2)椭圆C上一动点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为P1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆C1的方程为+y2=1,双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点,而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.
(1)求双曲线C2的方程.
(2)若直线l:y=kx+与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B,且·>2(其中O为原点),求k的取值范围.
参考答案
1.B2.C 3.D 4.A 5.A 6.C 7.A 8. D 9.A 10. D 11.A 12.C
13． 14．15 15. 16．1
17.【解析】(1)由m·n＝，得－cos2＋sin2＝，即cos A＝－.
∵A为△ABC的内角，
∴A＝π.
(2)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
即a2＝(b＋c)2－bc，
亦即12＝42－bc，∴bc＝4，
∴S△ABC＝bcsin A＝.
18.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝7，a5＋a7＝26，得
解得
所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
Sn＝3n＋×2＝n2＋2n.
(2)由(1)可知 an＝2n＋1，
所以bn＝
＝
＝·
＝·(－)，
所以Tn＝·＝·＝，
即数列{bn}的前n项和Tn＝.
19.【解析】设生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，则据题意可得如下表：
A原料用量
B原料用量
甲产品x吨
3x
2x
乙产品y吨
y
3y
则有
目标函数z＝5x＋3y，
作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知
当x＝3，y＝4时，可获得最大利润为27万元．
20. 【解析】（1） 由an=2an-1+2,所以an+2=2(an-1+2),
所以 =2.
又a1=2,
所以{an+2}是以a1+2=4为首项,以2为公比的等比数列.
所以an+2=4·2n-1,所以an=2n+1-2.
21【解析】(1)依题意知,2a=4,所以a=2.
因为所以c=,b=
所以所求椭圆C的方程为=1.
(2)因为点P(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为
P1(x1,y1),所以
解得
所以3x1-4y1=-5x0.
因为点P(x0,y0)在椭圆C:=1上,
所以-2≤x0≤2,则-10≤-5x0≤10.
所以3x1-4y1的取值范围为[-10,10].
22.【解析】(1)设双曲线C2的方程为=1(a>0,b>0),
则a2=4-1=3,c2=4,再由a2+b2=c2,
得b2=1,
故C2的方程为-y2=1.
(2)将y=kx+代入-y2=1,
得(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由直线l与双曲线C2交于不同的两点,得
所以k2≠且k2<1. ①
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
所以·
=x1x2+y1y2
=x1x2+(kx1+)(kx2+)
=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+2
=
又由·>2,得
>2,解得
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