2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省鹤岗市第一中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知位学生得某次数学测试成绩得茎叶图如图，则下列说法正确的是( )‎ A．众数为7 B．极差为19‎ C．中位数为64.5 D．平均数为64‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图中的数据求得这组数据的众数、极差、中位数和平均数．‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图中的数据知，这组数据的众数为67，A错误；‎ 极差是75﹣57＝18，B错误；‎ 中位数是64.5，C正确；‎ 平均数为60（﹣3﹣1+1+2+7+7+12+15）＝65，D错误．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用茎叶图求众数、极差、中位数和平均数的应用问题，是基础题．‎ ‎2．为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了次试验，得到组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为．若已知，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，求出代入公式求值，从而得到，即可求解得值。‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，代入回归直线的方程，可得，‎ 所以，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性回归方程的求法及其应用，其中解答中熟记回归直线的方程的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。‎ ‎3．观察如图所示的等高条形图，其中最有把握认为两个分类变量x，y之间有关系的是(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接观察等高条形图，如果两个分类变量所占的比例差距越大，则说明两个分类变量有关系的把握越大.‎ ‎【详解】‎ 在等高条形图中，x1，x2所占比例相差越大，分类变量x，y有关系的把握越大，‎ 故答案为：D ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查考查通过等高条形图判断两个分类变量是否有关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2）在等高条形图中，如果两个分类变量所占的比例差距越大，则说明两个分类变量有关系的把握越大.‎ ‎4．图1和图2中所有的正方形都全等，图1中的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形能围成正方体的概率是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，可得基本事件的总数为，只有图1中的正方形放在图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，如图所示，图1和图2中所有的正方形都全等，将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，可得基本事件的总数为，‎ 又由图1中的正方形放在图2中的①处时，所以组成的图形不能围成正方体；‎ 图1中的正方形放在图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，‎ 所以将图1中的正方形放在图2中的①②③④的某一位置，‎ 所组成的图形能围成正方体的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中利用列举法得出只有将图1中的正方形放在图2中的②③④处的某一位置时，所组成的图形能围成正方体，再利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎5．已知某运动员每次投篮命中的概率是40％．现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定l，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为：（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有可以通过列举得到共3组随机数，根据概率公式，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了10组随机数，在10组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、932、271、共3组随机数，‎ 故所求概率为：.‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查模拟方法估计概率，是一个基础题，解这种题目的主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．‎ ‎6．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．‎ ‎【详解】‎ 观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，‎ 而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2‎ 故飞镖落在阴影区域的概率为1．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．‎ ‎7．已知函数在处的导数为，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原式化为，利用导数的定义可得结果.‎ ‎【详解】‎ 在处的导数为，‎ 所以 ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎8．一个盒中装有大小相同的2个黑球，2个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先分析出基本事件的所有情况，再求出相应基本事件个数，利用分类计数加法原理可得结果．‎ ‎【详解】‎ 要满足题意，共有三种取法：（白黑黑白），（黑白黑白）（黑黑白白），‎ 其中（白黑黑白）的取法种数为=，‎ ‎（黑黑白白）的取法种数为=，‎ ‎（黑白黑白）的取法种数为=，‎ 综上共有，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件概率的求法，考查了分类计数原理的应用，解题时要认真审题，注意相互独立概率计算公式的合理运用．‎ ‎9．书架上有三本数学书和两本语文书，某同学一共取了两次书，每次取一本，取后不放回，若第一次从书架取出一本语文书记为事件A，第二次从书架取出一本数学书记为事件B，那么第一次取得语文书的条件下第二次取得数学书的概率的值是（　 　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出P（A）及P（AB），利用条件概率公式求得P（B|A）．‎ ‎【详解】‎ 事件A发生的概率P（A），‎ 事件B发生的概率为P（B），‎ 事件AB同时发生的概率P（AB），‎ ‎∴P（B|A），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查条件概率公式，考查学生对公式的运用，属于基础题．‎ ‎10．设函数，有且仅有一个零点，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数有且只有一个零点，转化为方程，，有且只有一个实数根，构造函数g（x），求导求得极值与端点处的值，分析得到a的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，有且只有一个零点，‎ ‎∴方程，，有且只有一个实数根，‎ 令g（x）=，‎ 则g′（x）=，当时，g′（x）0，当时，g′（x）0，‎ ‎∴g（x）在上单调递增，在上单调递减，当x=时，g（x）取得极大值g（）=，‎ 又g（0）= g（）=0，∴若方程，，有且只有一个实数根，则a=‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用导数研究函数的零点问题，考查了函数与方程的转化，利用了构造法，属于中档题.‎ ‎11．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用超几何分布分别求随机变量X的概率，分布列及其数学期望即可得出．‎ ‎【详解】‎ 随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4)．‎ 所以，随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎ ‎ 随机变量X的数学期望E(X)＝.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了超几何分布的概率计算公式、分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式 的解集为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设，求出导数，分析可得，则函数在区间 上为减函数，结合函数的定义域分析得：原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设g（x）=x2f（x），x＜0，‎ 其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），‎ 又由2f（x）+xf′（x）＞x2≥0，且x＜0，‎ 则g′（x）≤0，则函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，‎ ‎（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0‎ ‎⇒（x+2018）2f（x+2018）＞（﹣2）2f（﹣2）⇒g（x+2018）＞g（﹣2），‎ 又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，‎ 则有，‎ 解可得：x＜﹣2020，‎ 即不等式（x+2018）2f（x+2018）﹣4f（﹣2）＞0的解集为（﹣∞，﹣2020）；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数单调性的应用，其中解答中由题意构造新函数，利用导数得到函数的单调性，利用函数的单调性，转化为不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知函数.若曲线在点处的切线方程为，则___________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导数，利用曲线在点处的切线方程为，建立方程，求得的值，进而得到所求和，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，得，‎ 曲线在点处的切线方程为，即，‎ 即，解得，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.‎ ‎14．某地区高二女生的体重(单位:)服从正态分布,若该地区共有高二女生人,则体重在区间内的女生人数约为_____________‎ ‎【答案】997‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，进而可求出体重在(50,65)的概率，然后再由女生总人数即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，所以体重在区间(50,65)内概率,所以体重在区间(50,65)内的女生人数为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布，由正态分布相关知识点即可作答，属于基础题型.‎ ‎15．如图是函数的导函数的图像，给出下列命题：‎ ‎①-2是函数的极值点；‎ ‎②函数在处取最小值；‎ ‎③函数在处切线的斜率小于零；‎ ‎④函数在区间上单调递增.‎ 则正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由条件利用导函数的图象的特征，利用导数研究函数的单调性和极值，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论.‎ ‎【详解】‎ 根据导函数的图象可得，‎ 当上，，在上，，‎ 故函数在上函数单调递减，‎ 在，函数单调递增，‎ 所以是函数的极小值点，所以①正确；‎ 其中两函数的单调性不变，则在处不是函数的最小值，所以②不正确；‎ 由图象可得，所以函数在处的切线的斜率大于零，所以③不正确；‎ 由图象可得，当时，，所以函数在上单调递增，所以④是正确的，‎ 综上可知，①④是正确的.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，其中解答中根据到函数的图象得到导函数的取值，正确理解函数的导数与原函数关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎16．设函数，则__________．‎ ‎【答案】2017‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先证明，由此求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ 依题意，所以，而，故所求式子的值为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数解析式的分析，考查分析问题与求解问题的能力，属于中档题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数在处的切线方程为.‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求的单调区间与极值.‎ ‎【答案】（1）（2）的单增区间为，的单减区间为，，无极大值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)首先求得导函数，得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定实数a,b的值；‎ ‎(2)结合(1)中求得的a,b的值利用导函数求解函数的单调区间和极值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ 根据题设得方程组，解得 .‎ ‎（2）由(1)可知，‎ 令，（舍去），‎ 当时，，当时，，‎ 的单增区间为，的单减区间为，，无极大值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ 参考公式： ,参考数据：‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）；（2）49.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；‎ ‎（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由表中数据知， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴所求回归直线方程为.‎ ‎（2）令，则人.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19．鹤岗市教育局为调查在校中学生每天放学后的自学时间情况，在本市的所有中学生中随机抽取了名学生进行调查，现将日均自学时间小于小时的学生称为“自学不足”者根据调查结果统计后，得到如下列联表，已知在调查对象中随机抽取人，为“自学不足”的概率为．‎ 非自学不足 自学不足 合计 配有智能手机 没有智能手机 合计 ‎（1）请完成上面的列联表；‎ ‎（2）根据列联表的数据，能否有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关？‎ 附表及公式: ，其中 ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，自学不足的认识为，非自学不足的人数80人，可得列联表；‎ 代入计算公式结合表格即可作出判断．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，自学不足的认识为，非自学不足的人数80人，结合已知可得下表，‎ 根据上表可得 有的把握认为“自学不足”与“配在智能手机”有关．‎ ‎【点睛】‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较 与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎20．某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：‎ 方案一：交纳延保金7000元，在延保的两年内可免费维修2次，超过2次每次收取维修费2000元；‎ 方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费1000元.‎ 某医院准备一次性购买2台这种机器.为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：‎ 维修次数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 台数 ‎5‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎15‎ 以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率.记表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.‎ ‎（Ⅰ）求的分布列；‎ ‎（Ⅱ）以方案一与方案二所需费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）选择延保方案二较合算 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出对应的概率，列出分布列即可；（Ⅱ）求出两种方案下所需费用的分布列，然后分别求出对应的期望值，比较二者的大小即可选出最合算的方案。‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎ ‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）选择延保一，所需费用元的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎7000‎ ‎9000‎ ‎11000‎ ‎13000‎ ‎15000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （元）.‎ 选择延保二，所需费用元的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎10000‎ ‎11000‎ ‎12000‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（元）.‎ ‎∵，∴该医院选择延保方案二较合算.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了离散型随机变量的分布列，考查了概率的计算，考查了期望的求法，属于中档题。‎ ‎21．如图，在四面体中，，分别是线段，的中点，，，，直线与平面所成的角等于．‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）先证得，再证得，于是可得平面，根据面面垂直的判定定理可得平面平面．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）在中，是斜边的中点，‎ 所以.‎ 因为是的中点，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ 所以. ‎ 又因为，‎ 所以，‎ 又，‎ 所以平面，‎ 因为平面，‎ 所以平面平面．‎ ‎（Ⅱ）方法一：取中点，连，则，‎ 因为，‎ 所以.‎ 又因为，，‎ 所以平面，‎ 所以平面．‎ 因此是直线与平面所成的角．‎ 故，‎ 所以.‎ 过点作于，则平面，‎ 且．‎ 过点作于，连接，‎ 则为二面角的平面角．‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ 方法二：‎ 如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 因为 (同方法一,过程略) ‎ 则，,．‎ 所以,,，‎ 设平面的法向量，‎ 则，即，取,得． ‎ 设平面的法向量 则，即，取,得．‎ 所以，‎ 由图形得二面角为锐角，‎ 因此二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】‎ 利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系．‎ ‎22．设函数.‎ ‎（1）讨论的单调区间；‎ ‎（2）若，求证：.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）,分和讨论正负，进而得到单调性；（2）法一：当证明当时，构造 证明即可；法二：设 ‎，证明 ‎【详解】‎ ‎（1）依题意定义域为，，‎ 令，则，‎ ‎①当时，当时，，在单调递减，当时，，在单调递增；‎ ‎②当时，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减；‎ 综上，当时，在单调递减，在单调递增；‎ 当时，在单调递增，在单调递减.‎ ‎（2）①当时，设，‎ ‎；‎ ‎②当时，设 则，当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以；‎ 设，则，‎ 所以单调递增，所以，所以即单调递增，‎ 故；‎ 因为，所以 即，所以，‎ 即.‎ 解法二：‎ ‎（1）同解法一；‎ ‎（2）设，则，‎ 设，则，‎ 设，则，所以在上单调递增，‎ 所以，，所以在上单调递增，‎ 又因为，，即，‎ 所以恰有一个零点；‎ 即，即，‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以，‎ 设，因为，‎ 所以，‎ 所以在上单调递增，所以，‎ 所以，即.‎ 解法三：‎ ‎（1）同解法一；‎ ‎（2）同解法二得，‎ 设，因为，所以 设则 所以当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 所以，即，‎ 所以在上单调递增，则，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，不等式证明，证明中构造函数求最值，构造双函数是基本处理方法，要熟练掌握，是中档题.‎