命题角度5-2 直线与椭圆位置关系（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

命题角度5-2 直线与椭圆位置关系（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列

‎2018届高考数学（理）大题狂练 命题角度2：直线与椭圆位置关系 ‎1.已知椭圆的两个焦点为，，且经过点.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于两点(点位于轴上方)，若，且，求直线的斜率的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得，，，则椭圆方程为.‎ ‎(2)联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数k的不等式，求解不等式可得直线的斜率的取值范围是k=.‎ ‎2.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若点为椭圆上一点，直线的方程为，求证：直线与椭圆有且只有一个交点．‎ ‎【来源】【全国市级联考】广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市2017届高三5月联合模拟理科数学试题 ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意求得， ，椭圆的方程为．‎ ‎(2)首先讨论当的情况，否则联立直线与椭圆的方程，结合直线的特点整理可得直线与椭圆有且只有一个交点．‎ ‎（Ⅱ）当时，由，可得，‎ 当， 时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当， 时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．‎ 当时，直线的方程为，联立方程组 消去，得．①‎ 由点为曲线上一点，得，可得．‎ 于是方程①可以化简为，解得，‎ 将代入方程可得，故直线与曲线有且有一个交点，‎ 综上，直线与曲线有且只有一个交点，且交点为．‎ ‎3.已知椭圆（）的左、右焦点分别为， ，点在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时，能在直线上找到一点，在椭圆上找到一点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.‎ ‎【来源】山西省太原市第五中学2017届高三第二次模拟考试（5月） 数学（理）试题 ‎【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由焦点坐标可得，再根据及点在椭圆上，可得，进而可得椭圆的方程；（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立可得，与判别式为正可得，再根据平行四边形性质及韦达定理可得点的纵坐标范围是，可判定点不在椭圆上，所以这样的直线不存在．‎ 试题解析：（1）设椭圆的焦距为，则，‎ 因此椭圆方程为 在椭圆上， 解得 故椭圆的方程为．‎ 所以，且，则，‎ ‎ ‎ 由知四边形为平行四边形，‎ 而为线段的中点，因此， 也是线段的中点，‎ 所以，可得，‎ 又，所以，‎ 因此点不在椭圆上．‎ 所以这样的直线l不存在 ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的标准方程、韦达定理以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.‎ ‎4.已知椭圆的右焦点，且经过点，点是轴上的一点，过点的直线与椭圆交于两点（点在轴的上方）‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若，且直线与圆相切于点，求的长.‎ ‎【来源】【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期初考试数学（理）试题 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件列出关于的方程组， ，解方程组得，（2）设直线，则根据圆心到切线距离等于半径得，由由，有，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理得，，三者消得，最后关于的解方程组得， ，根据切线长公式可得的长.‎ 试题解析：（1）由题意知，即，‎ 又，故，‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，直线，‎ 由，有，‎ 由，‎ 由韦达定理得，‎ 由，则，‎ ‎，化简得，原点到直线的距离，‎ 又直线与圆相切，所以，即，‎ ‎，即，‎ 解得，此时，满足，此时，‎ 在中， ，所以的长为.‎ ‎5.已知椭圆 的离心率 ，左右焦点分别为 是椭圆在第一象限上的一个动点，圆 与 的延长线， 的延长线以及线段 都相切， 为一个切点.‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设 ，过 且不垂直于坐标轴的动点直线 交椭圆于 两点，若以 为邻边的平行四边形是菱形，求直线的方程.‎ ‎【来源】【全国百强校】河北省石家庄二中2017届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题 ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）圆为三角形内切圆，由内切圆性质及椭圆定义得 ‎，即 ，再由 ，可知（2）以 为邻边的平行四边形是菱形，所以 设 ， 方程为则可得坐标之间关系，利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理代入坐标关系化简可得 ‎（2）设 方程为 ，代入椭圆方程可得 ，设 ，则 ，以 为邻边的平行四边形是菱形， ， 的方向向量为 ， ， 方程为 .‎ ‎6.设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）在点的轨迹上有一点且点在轴的上方， ，求的范围.‎ ‎【来源】【全国校级联考】山西实验中学、南海桂城中学2018届高三上学期联考理数试题 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设点的坐标为，表示出两直线的斜率，利用斜率之积等于建立方程，化简即可求出轨迹方程；（2）点的坐标为，利用斜率公式及夹角公式，可得的关系，再结合点在椭圆上消元后根据椭圆的范围建立不等关系，即可解出的范围.‎ 方法一：设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，‎ 因为点的坐标为在点的轨迹上，所以 得 ‎， ‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法二：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 得，代入（1）得 ‎.‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 又由于点的坐标为为在点的轨迹上，所以 代入（1）得， ，‎ ‎， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法四：设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 所以（1）‎ 将代入（1）得， ， .‎ 因为， ，‎ ‎.‎ 所以解得.‎ 方法五设点的坐标为，点的坐标分别为 直线的斜率，直线的斜率 由得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 所以解得.‎ 点睛：本题主要考查了轨迹方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立的方程，求出即可，注意 的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．‎ ‎7.已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点，记椭圆的左、右顶点分别为，点是椭圆上异于的点，直线与直线分别交于点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点作椭圆的切线，记，且，求的值.‎ ‎【来源】河南省林州市第一中学2018届高三8月调研考试理科数学试题 ‎【答案】（1）椭圆的方程为 （2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意求得， ， ，故椭圆的方程为.‎ ‎(2)很明显直线的斜率存在，设出切线方程，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到关于实数 的不等式组，结合不等式组的性质和题意讨论可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依题意， ，解得， ， ，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）依题意， ， ，直线，‎ 设，则.‎ 直线的方程为，令，得点的纵坐标为；‎ 直线的方程为，令，得点的纵坐标为；‎ 由题知，椭圆在点处切线斜率存在，可设切线方程为，‎ 由，得，‎ 由，得，‎ 整理得： ，‎ 将， 代入上式并整理得，解得，‎ 所以点处的切线方程为.‎ 令得，点的纵坐标为，‎ 设，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 将代入上式， ，因为，所以.‎ ‎8.已知椭圆： （）的左焦点与抛物线的焦点重合，直线与以原点为圆心，以椭圆的离心率为半径的圆相切．‎ ‎（Ⅰ）求该椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交椭圆于， 两点，线段的中点为， 的垂直平分线与轴和轴分别交于， 两点．记的面积为， 的面积为．问：是否存在直线，使得，若存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．‎ ‎【来源】【全国市级联考】辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）数学（理）试题 ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意，得， ，即，∴， ‎ ‎∴所求椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ）假设存在直线使，显然直线不能与， 轴垂直．‎ ‎∴直线的斜率存在，设其方程为（），‎ 将其代入整理得，‎ 设， ， ， ，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，‎ 解得，即，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 即，又∵，∴，‎ ‎∴，‎ 整理得因为此方程无解，故不存在直线满足．‎ ‎9.已知椭圆， 是坐标原点， 分别为其左右焦点， , 是椭圆上一点， 的最大值为 ‎（Ⅰ）求椭圆的方程;‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于两点，且 ‎（i）求证： 为定值;‎ ‎（ii）求面积的取值范围.‎ ‎【答案】1．（1）（2）见解析 试题解析：（1）由题意得，得椭圆方程为： ‎ ‎（2）‎ i)当斜率都存在且不为0时，设， ‎ 由消得， ‎ 同理得， ‎ 故 ‎ 当斜率一个为0，一个不存在时，得 综上得，得证。 ‎ ii) 当斜率都存在且不为0时，‎ ‎ ‎ 又 ‎ 所以 ‎ 当斜率一个为0，一个不存在时, ‎ 综上得 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎10.已知椭圆：，点是椭圆上任意一点，且点满足（，是常数）.当点在椭圆上运动时，点形成的曲线为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）过曲线上点做椭圆的两条切线和，切点分别为，.‎ ‎①若切点的坐标为，求切线的方程；‎ ‎②当点运动时，是否存在定圆恒与直线相切？若存在，求圆的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎【来源】【全国市级联考】山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题 ‎【答案】（1）（2）①②存在定圆恒与直线相切 ‎【解析】试题分析：（1）由相关点法，代入可得。（2）当过点切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即与椭圆组方程组，‎ 由，得，过点的切线方程为，斜率不存在时，切点为，方程为，符合方程形式. 同理过点的切线方程为 即，所以，两点坐标都满足方程，点到直线AB的距离 ‎，所以直线始终与圆相切。‎ 试题解析：（Ⅰ）设点的坐标为，对应的点的坐标为.‎ 由于点在椭圆上，得，‎ 即曲线的轨迹是椭圆，标准方程为 ‎（Ⅱ）①当过点切线的斜率存在时，‎ 设该切线的方程为，即 联立方程组，‎ 即 .‎ 由，得，‎ 即 ， ，‎ ‎，得；‎ 此时过点的切线方程为 过点切线的斜率不存在时，切点为，方程为，‎ 符合方程形式.‎ 且点的坐标为满足曲线的方程：，‎ 即原定到直线的距离为，‎ 所以直线始终与圆相切.‎