数学理卷·2018届江西省赣州市高三上学期期末考试（2018

数学理卷·2018届江西省赣州市高三上学期期末考试（2018

赣州市2017-2018学年度第一学期期末考试 高三数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.复数（为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知函数，则（ ）‎ A． 0 B． 1 C． D． 2‎ ‎4.若函数的部分图像如图所示，则和的取值可以为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.设实数满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．2 B． C. 5 D．6‎ ‎6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7.在中，内角的对边分别为，满足，且，则的最小值为（ ）‎ A． 2 B． C. 3 D．‎ ‎8. 的展开式中的系数为（ ）‎ A． -160 B．320 C. 480 D．640‎ ‎9.如图，格纸上小正方形的边长为1，如图所示画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）‎ A． B．3 C. D．‎ ‎10.双曲线的左右顶点分别为，右支上存在点满足（其中分别为直线的倾斜角），则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知圆交轴正半轴于点，在圆内随机取一点，则成立的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.命题：关于的不等式（为自然对数的底数）的一切恒成立；命题：；那么命题是命题的（ ）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，，若，则实数 ．‎ ‎14.已知，其中为锐角，则的值为 ．‎ ‎15.若三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ ‎16.已知过抛物线的焦点的直线交抛物线于两个不同的点，过分别作抛物线的切线且相交于点，则的面积的最小值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列的前项和，满足，.‎ ‎（1）求证：数列为等比数列；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎18. 如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在棱上，且，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）当时，求二面角的余弦值.‎ ‎19. 计划在某水库建一座至多安装4台发电机的水电站，过去0年的水文资料显示，水库年入流量（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不足120的年份有30年，不低于120且不足160的年份有8年，不低于160的年份有2年，将年入流量在以上四段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.‎ ‎（1）求在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；‎ ‎（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量的限制，并有如下关系：‎ 若某台发电机运行，则该台发电机年利润为500万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损1500万元，水电站计划在该水库安装2台或3台发电机，你认为应安装2台还是3台发电机？请说明理由.‎ ‎20. 已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于），当直线的斜率不存在时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由.‎ ‎21. 已知函数在点处的切线与直线平行，且函数有两个零点.‎ ‎（1）求实数的值和实数的取值范围；‎ ‎（2）记函数的两个零点为，求证：（其中为自然对数的底数）.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线（为参数），曲线（为参数）.‎ ‎（1）求直线与曲线的普通方程；‎ ‎（2）已知点，若直线与曲线相交于两点（点在点的上方），求的值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若函数的图像与直线所围成封闭图形的面积为8，求实数的值.‎ ‎2017—2018赣州市期末考试试题（理）参考答案 一．选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D B C D C A B B D A C ‎12．解析：由题设可记，则，‎ 显然在上单调递增，又，‎ 故存在，使得，‎ 当，，‎ 当，，‎ 所以，因为，‎ 所以，记，知，‎ 故，故得，又，故选C．‎ 二．填空题 ‎13．； 14．； 15．； 16．；‎ ‎16．解析：点在抛物线的准线上，设直线，，则 联立 进而得：‎ 易得以为切点的方程为：，处的切线方程为：‎ 解得： ‎ 当时.‎ 三．解答题 ‎17．解：（1）由…………①‎ 当时，，得 ‎ 当时，…………② ‎ ①②得： ‎ 即且 ‎ 故数列是首项为，公比为等比数列． ‎ ‎（2）由（1）知： ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎． ‎ ‎18．解：（1）(法一)连接交于点，连接 由分别是棱中点，故点为的重心 ‎ 在中，有 ‎ ‎，又平面 ‎ ‎ 平面 ‎ ‎（法二）取的中点，连接 由是棱的中点，为的中点， ‎ 为的中位线，即平面 ‎ 又为棱的中点，为的中点 由，由，且为直三棱柱 ‎，进而得 ‎ ‎ ，即平面 ‎ 又 平面平面 ‎ 又平面 平面 ‎ ‎（2）由为直三棱柱 平面，取的中点，连接 是棱的中点，，即平面 ‎ 为等边三角形 为的中点且 ‎ 故以为坐标原点，以射线分别为轴，轴，轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 ‎，， ‎ 设平面的法向量为 则：，不妨取，则 ‎ 设平面的法向量为 则：，不妨取，则 ‎ 记二面角为 故二面角的余弦值为．‎ ‎19．解：（1）依题意：，，‎ ‎，. ‎ 所以年入流量不低于120的概率为 ‎ 由二项分布，在未来3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率为：‎ ‎ ‎ ‎（2）记水电站的总利润为（单位：万元）‎ ①若安装2台发电机的情形：‎ ‎3500‎ ‎10000‎ ‎ ‎ ②若安装3台发电机的情形：‎ ‎2000‎ ‎8500‎ ‎15000‎ ‎ ‎ 因为，故应安装2台发电机． ‎ ‎20．解：(1)由题意可设椭圆的半焦距为，‎ 由题意得： ‎ 所以椭圆的方程为： ‎ ‎(2)设直线的方程为，，‎ 联立 ‎ 由是上方程的两根可知： ‎ ‎ ‎ 直线的方程为：‎ 直线的方程为：‎ 得： ‎ ‎ ‎ 把代入得：‎ ‎ ‎ 即，故点恒在定直线上． ‎ ‎（由对称性可知，若存在定直线，则该直线应垂直轴，故也可由特殊位置——当直线斜率不存在时，探究得出该直线方程，给2分）‎ ‎21．解：（1）由，得：‎ 由 ‎ 进而得，‎ 故当时，；当时，；‎ 所以函数在单调递减，在单调递增，‎ 要使函数在有两个零点，则 ‎ ‎ 且 ‎（用分离参数，转化为数形结合，可对应给分）‎ ‎（2）由（1），我们不妨设 ‎ 欲证，即证 又函数在单调递增，即证 ‎ 由题设，从而只须证 ‎ 记函数，‎ ‎ ‎ 则，‎ 记，得 ‎ 因为，所以恒成立，即在上单调递增，又 ‎ 所以在上恒成立，即在单调递减 ‎ 所以当时，，即 ‎ 从而得． ‎ 上恒成立，即在单调调递 ‎ 所以当时，，即 ‎ 从而得． ‎ ‎22．解：（1）由直线已知直线（为参数），‎ 消去参数得： ‎ 曲线（为参数）‎ 消去参数得：. ‎ ‎（2）设 将直线的参数方程代入得： ‎ 由韦达定理可得： ‎ 结合图像可知，‎ 由椭圆的定义知： ‎ ‎. ‎ ‎23．解：（1）由得等价于 即或或 ‎ 即或 故不等式的解集为；‎ ‎（用绝对值几何意义解同样给分）‎ ‎（2）由得： ‎ 由题意可得：‎ 设直线与交于两点 不妨设： ‎ 所以封闭图形面积为：‎ 即：或（舍去）‎ 故. ‎