2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷五（含附加题Word版附答案）

2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷五（含附加题Word版附答案）

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 1x ， 2x ，…， nx 的方差  22 1 1 n i i s x xn    ，其中 1 1 n i i x xn    柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积， h 是柱体的高． 锥体的体积 1 3V Sh ，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高． 一．填空题：本题共 14 小题，请把答案填写在答题卡相应位置上 1．设集合   2lg 1A x y x   ，  3 , 0xB y y x   ，则 A B  ________． 2．复数  z=i 1+2 i 的虚部________． 3．以双曲线 2 2 13 y x  的顶点为焦点，离心率为 3 3 的椭圆的标准方程为________． 4．正实数 a，b，c 满足： 1 3 1 log3 a a     ， 1 3 1 3 b b      ， 1 3 1 3 log c c ，a，b，c 的大小关系是________． 5．函数 sin 2 3cos2 1y x x   的值域________． 6．设  f x 是定义在 R 上的偶函数且    3f x f x  对 x R 恒成立，当 30, 2x     时，   sinf x x ，则 1 2 3 2020 2 2 2 2f f f f                          ________． 7．等差数列 na 的前 n 项和是 nS ，若 2a ， 8a 是方程 2 4 3 0x x   的两根，则 9S  ________． 8．在 2,2 上随机地取一个实数 k ，则事件“直线 y kx 与圆  2 25 9x y   相交”发生的 概率为________． 9．如图，在 ABC 中， AB AC ， 2 3BC  ， 60A   ， ABC 的面积为 2 3 ，则角平分 线 AD 的长等于________． 10． ABC 中， 1 3AM AB ， 1 4AN AC ，线段 BN 与 CM 交于点 P．若 AP AB AC     ， 则    ________． 11．在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 的方程为 2 2 19 10 x y  ，F 为 C 的上焦点，A 为 C 的 右顶点，P 是 C 上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF 的面积的最大值为________． 12．三棱锥 P ABC 的底面 ABC 是边长为 3 的正三角形， 3PA  ， 4PB  ， 5PC  ，则 三棱锥 P ABC 的体积为________． 13．已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F，直线 l 过点 F 与抛物线交于 A，B 两点，若 3AF BF ， 则 AB  ________． 14．已知函数         1 0 ln 1 0 xx e x f x x xx       ，关于 x 的方程      2 1 2 2 0f x t f x t      有 5 个 不同的实数解，则 t 的取值范围是________． 二．解答题：本大题共 6 小题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 15． ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a ， b ， c ，  , 3m a b ，  cos ,sinn A B ， 向量 m  与向量 n  平行． （Ⅰ）求 A； （Ⅱ）若 7a  ， 2b  ，求 ABC 的面积． 16．如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为边 AB 的中点，将正方形沿 DE 折成直二面 角，连接 AC，AB，得到四棱锥 A CDEB ，F 为 AD 的中点． （Ⅰ）求证： EF  平面 ABC； （Ⅱ）求四面体 FBEC 的体积． 17．某公园有一块边长为 6 百米的正 ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来 种植三种花卉．方案是：先建造一条直道 DE 将 ABC 分成面积之比为 2∶1 的两部分（点 D，E 分别在边 AB，AC 上）；再取 DE 的中点 M，建造直道 AM（如图）．设 AD x ， 1DE y ， 2AM y （单位：百米） （Ⅰ）分别求 1y ， 2y 关于 x 的函数关系式； （Ⅱ）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求最小值． 18．如图，椭圆 E： 2 2 15 x y  ，经过 E 的左焦点 F，斜率为  1 1 0k k  的直线 l 与 E 交于 A， B 两点． （Ⅰ）当 1 1k  时，求 AB ； （Ⅱ）给定  1,0R ，延长 AR ， BR 分别与椭圆 E 交于点 C，D，设直线 CD 的斜率为 2k ． 证明： 1 2 k k 为定值，并求此定值． 19．已知函数    ln 1 1f x x x ax x    ， a R ． （Ⅰ）当 1a   时，求曲线  y f x 在点   1, 1M f 处的切线方程； （Ⅱ）当 1a  时，求证：函数     1g x f x  恰有两个零点． 20．给定数列 1a ， 2a ，…， na ，对 1i  ，2，…， 1n  ，该数列前i 项 1a ， 2a ，…， ia 的最 小值记为 iA ，后 n i 项 1ia  ， 2ia  ，…， na 的最大值记为 iB ，令 i i id B A  ． （Ⅰ）设数列 na 为 2，1，6，3 写出 1d ， 2d ， 3d 的值； （Ⅱ）设 1a ， 2a ，…，  4na n  是等比数列，公比 0 1q  ，且 1 0a  ，证明： 1d ， 2d ，…， 1nd  是等比数列； （Ⅲ）设 1d ， 2d ，…， 1nd  是公差大于 0 的等差数列，且 1 0d  ，证明： 1a ， 2a ，…， 1na  是等差数列． 数学Ⅱ（附加题） 21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换] 已知二阶矩阵 A 有特征值 1 4  及其对应的一个特征向量 1 1 1        ，特征值 2 1   及其对应 的一个特征向量 2 1 1        ，求矩阵 A 的逆矩阵 1A ． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，直线l 的参数方程是 3 3 1 x t y t      （ t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的方程为： 2 3cos  ，直线l 与曲线 C 交于 O， A 两点． （Ⅰ）求直线 l 的普通方程； （Ⅱ）点 P 为曲线 C 上一点，求满足 3 3 4POAS  的点 P 有多少个？ C．[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数   2 1 2f x x x    ，   1g x x  ． （Ⅰ）求不等式    f x g x 的解集； （Ⅱ）当  2 , 1x a a   时，    f x g x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【必做题】第 22 题、第 23 题，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 22．如图，在四棱锥 P ABCD 中，PD  平面 ABCD ，底面 ABCD 为平行四边形，AB AC ， 1AB AC  ， 1PD  ． （Ⅰ）求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角 D PC B  的余弦值的大小． 23．已知甲盒内有大小相同的 2 个红球和 3 个黑球，乙盒内有大小相同的 3 个红球和 3 个黑 球，现从甲、乙两个盒内各任取 2 个球． （Ⅰ）求取出的 4 个球中恰有 1 个红球的概率； （Ⅱ）设 为取出的 4 个球中红球的个数，求 的分布列和数学期望． 参考答案： 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷五 数学Ⅰ答案 一．填空题 1 2 3 4 5 6 7  1, 1 2 2 16 9 x y  b c a   1,3 336 18 8 9 10 11 12 13 14 3 8 4 3 3 5 11 3 11 6 2  11 16 3 2 1 1,0 0,2 2e           二．解答题 15．解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差 d，等比数列 nb 的公比为 q ． 由   1 1 1 1 2 5 1 4 3 24 3 72 a d a da d a d           ． ∴  1 1 2 1na a n d n     ． 1 2 3b a  ，   4 9 9 1 17 812b S     ． ∴ 3 4 1 27bq b   ， 1 1 3n n nb b q    ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 2 1 3n n nc  ，则    2 1 1 1 1 11 3 2 3 2 13 3 3 3n n nT n n            ①    2 3 1 1 1 1 1 11 3 2 3 2 13 3 3 3 3n n nT n n             ② ①－②得：  2 3 1 2 1 1 1 1 11 2 2 2 2 13 3 3 3 3 3n n nT n                1 2 1 1 113 31 12 2 113 31 3 n nn                 ． ∴ 11 3n n nT   ． 又∵ 1 10 3 3n n   ∴ 1 13 nT  ． 16．解：（Ⅰ） 证明：取线段 AC 的中点 M，连接 MF，MB． ∵F 为 AD 的中点，∴ MF DC ，且 1 2MF DC ． 又∵ BE DC ，且 1 2BE DC ． ∴ MF BE ， MF BE ．四边形 MFEB 为平行四边形． 又∵ EF  平面 ABC， BM  平面 ABC． 故 EF  平面 ABC． （Ⅱ）在平面 ADE 中，过点 F 作 FN DE 于点 N． ∵平面 ADE  平面 BEDC． ∴ FN  平面 BEDC． 在 ADE 中， 2AD  ， 1AE  ．∴ 5DE  ． 又∵F 为 AD 的中点．∴ 1 2 1 2 5 5 FN    ． ∴ 1 1 1 1 52 13 3 2 155F BEC BECV S FN          ． 17．解：（Ⅰ）由题意知， 2 3BEC ABCS S  ，即 21 2 3sin 62 3 3 4AD AE      ． ∴ 24AE x  ． 又∵ 0 6 240 6 AD x AE x       ，得 4 6x  ． 在 ADE 中，由余弦定理，得： 2 2 2 2 2 5762 cos 243DE AD AE AD AE x x         ． ∴ 2 1 2 576 24y x x    ，  4 6x  ． 在 ADM 和 AEM 中，由余弦定理，得： 2 2 2 2 cosAD DM AM DM AM AMD      （1）  2 2 2 2 cosAE EM AM EM AM AMD       （2） 联立（1）（2）， 2 2 2 2 2 2 212 22AD AE DM EM AM DE AM      ． ∴ 2 2 2 2 22 24 1 576 24 22x x yx x               ． ∴ 2 2 2 144 64 xy x    ， 4 6x  （Ⅱ） 2 2 1 2 2 2 576 14424 64 xy y x x x        2 2 2 2 576 1442 24 2 6 2 6 3 24 xx x x         当且仅当 2 6x  时，取等号． 故当 2 6AD  时，两条直道长度之和的最小值  2 6 3 2 百米． 18．解：（Ⅰ）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，AB 直线方程： 2y x  AB 直线方程与椭圆方程联立 2 2 15 2 x y y x       ，得： 26 20 15 0x x   由韦达定理， 1 2 1 2 10 3 5 2 x x x x        210 5 2 51 1 43 2 3AB          ． （Ⅱ） 设  ,C CC x y ，  ,D DD x y ，AC 直线方程：  3 1y k x  AC 直线方程与椭圆方程联立   2 2 3 15 1 x y y k x       ， 得：  2 2 2 2 3 3 35 1 10 5 5 0k x k x k     由韦达定理， 2 3 1 2 3 5 5 5 1C kx x k    ∴ 2 1 1 1 2 1 11 1 5 51 3 51 3 5 11 C y x xx x xy x              ， 将 Cx 代入 AC 直线方程，得 1 1 2 3C yy x   ． 同理，得： 2 2 2 2 3 5 3 2 3 D D xx x yy x       ； ∴    1 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 22 2 3 3 3 3 5 3 5 3 5 3 5 3 5 2 3 3 3 3 D C D C k x k xy y y y x x x xk kx x x xx x x x x x                  ； ∴ 1 2 5 2 k k  ． 19．解：（Ⅰ）由题意，   2ln 1f x x x x x    ，  1 1f   ．   ln 1 2 1 ln 2f x x x x x       ，故  1 2f   ． ∴所求切线方程为：  1 2 1y x   即： 2 3 0x y   ． （Ⅱ）        1 ln 1 ln 1g x f x x x ax x x x a x          ， 0x  ． 由题意， 0x  ，只需证明    ln 1h x x a x   恰有两个零点即可．   1h x ax    ． 当 10,x a     时，   0h x  ；当 1 ,x a      时，   0h x  ． ∴  h x 在 10, a      单调递增，在 1 ,a     单调递减． ∴  h x 的最大值为  1 1 0h ha       ． 令    0xr x e x x   ，则   1 0xr x e    ∴  r x 在  0, 单调递增． 当 1a  时，    1 1 0r a r e    ，即 0ae a  ，则 1 10 ae a   ． ∵ 1 1 1 1ln 1 1 0a a a a a ah a a ae e e e e                          ． 由 1 0h a      ， 1 0ah e      ，且  h x 在 10, a      单调递增，可得： 在 1 1,ae a      存在唯一的零点 0x ，使得  0 0h x  ． 又∵  h x 在 1 ,a     单调递减，  1 0h  ， 11 ,a      ． 故    ln 1h x x a x   恰有两个零点 所以，当 1a  时，函数     1g x f x  恰有两个零点． 20．解：（Ⅰ）由题意，得 1 4d  ， 2 5d  ， 3 2d  ． （Ⅱ）因为 1 0a  ，公比 0 1q  ，所以 1a ， 2a ，…， na 是递减数列． 因此，对 1i  ，2，…， 1n  ， i iA a ， 1i iB a  ． 于是对 1i  ，2，…， 1n  ，   1 1 1 1 i i i i i id B A a a qa q       ． 因此 0id  且  1 1,2, , 2i i d q i nd      ， 即 1d ， 2d ，…， 1nd  是等比数列 （Ⅲ）设 d 为 1d ， 2d ，…， 1nd  的公差，则 0d  对1 2i n „ „ ，因为 1i iB B  ， ∴ 1 1 1 1i i i i i i i i i iA B d B d B d d B d A             ，即 1i iA A  又∵  1 1min ,i i iA A a  ，所以 1 1i i i ia A A a    ． 从而 1a ， 2a ，…， 1na  是递减数列．因此  1,2, , 1i iA a i n    ． 又∵ 1 1 1 1 1 1B A d a d a     ，所以 1 1 2 1nB a a a      ． 因此 1na B ． ∴ 1 2 1n n i i ii i nB B B a a A B d a d           ． 因此对 1i  ，2，…， 2n  都有 1 1i i i ia a d d d      ， 即 1a ， 2a ，…， 1na  是等差数列． 21．【选做题】 A．[选修 4-2：矩阵与变换] 解：设二阶矩阵 a b c d      A ，由题意，得： 1 141 1 a b c d              ，  1 111 1 a b c d                ． 4 1 a b a b       ， 4 1 c d c d      ．得： 3 2a  ， 5 2b  ， 5 2c  ， 3 2d  ． ∴ 3 5 2 2 5 3 2 2            A ． 又∵ 3 5 2 2 45 3 2 2   A ， * 3 5 2 2 5 3 2 2           A ． ∴ 1 * 3 5 1 8 8 5 3 8 8            A AA ． 即矩阵 A 的逆矩阵 1 3 5 8 8 5 3 8 8           A ． B．【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解：（Ⅰ）由 3 3 1 x t y t      ，消参，得到直线的普通方程 3 0x y  ． （Ⅱ）由曲线 C 的极坐标方程： 22 3cos 2 3 cos       可得， 曲线 C 的直角坐标方程  2 23 3x y   ． 圆心 C 到直线 3 0x y  的距离  2 3 3 21 3 d    ， ∴   2 2 32 3 32OA        由 1 3 3 332 4 2POAS d d       （ d 表示点 P 到 OA 的距离） ∵圆心 C 到直线 3 0x y  的距离 3 2 ， ∴在直线的上方的圆上存在一个点 P 到 OA 的距离 3 2 ； 在直线的下方的圆上的点到 OA 的距离最大值为 3 3 2 ， ∴在直线的下方的圆上存在两个点 P 到 OA 的距离 3 2 ． 综上所述，满足题意的点 P 共 3 个． C．[选修 4-5：不等式选讲] 解：（Ⅰ）由题意知，解不等式 2 1 2 1x x x     （1）当 2x  时，不等式化为    2 1 2 1 0 1x x x       ， 此时不等式的解 2x  ； （2）当1 2x  时，不等式化为     52 1 2 1 2x x x x       ， 此时不等式的解1 2x  ； （3）当 1x  时，不等式化为     12 1 2 1 2x x x x         ， 此时不等式的解 1 12 x   ； 综上所述，原不等式的解集 1 2x x      ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得，    f x g x 的解集是 1 2x x      ； 1 2 111 2 a a a a           ∴实数 a 的取值范围  , 1  ． 【必做题】 22．解：（Ⅰ）取 C 为坐标原点，过点 C 的 PD 平行线为 z 轴， 依题意建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz ． 由题意得，  0, 1,1P  ，  1,0,0A ，  0,0,0C ，  1,1,0B 故  0,1, 1CP   ，  1,0,0AC   设平面 PAC 的法向量  , ,m x y z ，则： 0 0 m CP m CA          ，得 0 0 y z x     ． 令 1y  ，得 1z  ． ∴  0,1,1m  设直线 PB 与平面 PAC 所成角为 ． 2 1 3sin cos , 61 1 1 4 1 m PB          ． 故直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值 3 6 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，  1,1,0CB  ． 设平面 PBC 的法向量为  , ,zn x y ， 则 0, 0, n PC n CB          即 0, 0. y z x y      令 1y   ，则 1x  ， 1z   ． ∴  1, 1, 1n    ． ∵ABCD 为平行四边形，且 AB AC ， ∴ CD AC ．∵ PD  面 ABCD， ∴ PD AC ． 又∵ CD PD D ，∴ AC  面 PDC． ∴平面 PDC 的法向量为  1,0,0AC   ． ∴  1,0,0AC   ， 1 3cos , 31 1 1 n ACn AC n AC             ． 经判断二面角 D PC B  的平面角为钝角， ∴二面角 D PC B  余弦值的大小为 3 3  ． 23．解：（Ⅰ）设事件 iA 为“甲盒中取出 i 个红球”，事件 jB 为“甲盒中取出 j 个红球”；事 件 C 为“4 个球恰有 1 个红球” ∴       1 1 2 2 1. 1 2 3 3 3 3 3 1 0 0 1 2 2 2 2 5 6 5 6 3 10 C C C CP C P A B P A B C C C C C C         ． （Ⅱ） 的可能取值为 0，1，2，3，4．     2 2 3 3 0 0 2 2 5 6 30 50 C CP P A B C C             1 1 2 2 1 1 2 3 3 3 3 3 1 0 0 1 2 2 2 2 5 6 5 6 31 10 C C C C C CP P A B P A B C C C C                   2 1 1 1 1 2 22 3 2 3 3 3 3 32 2 0 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 5 6 5 6 5 6 112 25 C C C C C C CCP P A B P A B P A B C C C CC C                    1 1 1 1 22 3 3 2 3 32 2 1 1 2 2 2 2 2 5 6 5 6 93 50 C C C C CCP P A B P A B C C CC               22 32 2 2 2 2 5 6 14 50 CCP P A B C C        的分布列：  0 1 2 3 4  P  3 50 3 10 11 25 9 50 1 50   3 3 11 9 1 90 1 2 3 450 10 25 50 50 5E             ．