高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

高一数学（人教A版）必修4能力提升：2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

能 力 提 升 一、选择题 ‎1．已知＝(2,3)，则点N位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．不确定 ‎[答案]　D ‎[解析]　因为点M的位置不确定，则点N的位置也不确定．‎ ‎2．已知M(2,3)、N(3,1)，则的坐标是(　　)‎ A．(2，－1) B．(－1,2)‎ C．(－2,1) D．(1，－2)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　＝(2,3)－(3,1)＝(－1,2)．‎ ‎3．已知＝a，且A，B，又λ＝，则λa等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　a＝＝－ ‎＝，λa＝a＝，故选A.‎ ‎4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量‎4a,4b－‎2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为(　　)‎ A．(2,6) B．(－2,6)‎ C．(2，－6) D．(－2，－6)‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　由题意，得‎4a＋4b－‎2c＋2(a－c)＋d＝0，‎ 则d＝－‎4a－4b＋‎2c－2(a－c)＝－‎6a－4b＋‎4c＝(－2，－6)．‎ ‎5．(2011～2012·凯里高一检测)已知向量a、b满足：a＋b＝(1,3)，a－b＝(3，－3)，则a、b的坐标分别为(　　)‎ A．(4,0)、(－2,6) B．(－2,6)、(4,0)‎ C．(2,0)、(－1,3) D．(－1,3)、(2,0)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　∵a＋b＝(1,3)　①‎ a－b＝(3，－3)　②‎ ‎∴①＋②得：a＝(2,0)．‎ ‎①－②得：b＝(－1,3)．‎ ‎6．已知向量a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，若c＝ka＋lb，则k、l的值为(　　)‎ A．－2,3 B．－2，－3‎ C．2，－3 D．2,3‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　利用相等向量的定义求解．‎ ‎∵a＝(1,2)，b＝(3,1)，c＝(11,7)，‎ ‎∴(11,7)＝k(1,2)＋l(3,1)，‎ 即，解得：k＝2，l＝3.‎ 二、填空题 ‎7．已知＝(3,4)，B(2，－1)，则点A的坐标是____________．‎ ‎[答案]　(－1，－5)‎ ‎[解析]　设A(x，y)，则＝(2－x，－1－y)＝(3,4)．‎ 故解得x＝－1，y＝－5.‎ ‎8．已知两点M(3，－2)，N(－5，－1)，点P满足＝，则点P的坐标是________．‎ ‎[答案]　(－1，－)‎ ‎[解析]　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，‎ ＝(－8,1)．‎ ‎∵＝，∴(x－3，y＋2)＝(－8,1)．‎ 即，解得，∴P(－1，－)．‎ ‎9．(探究题)设向量绕点O逆时针旋转得向量，且2＋＝(7,9)，且向量＝________.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设＝(m，n)，则＝(－n，m)，所以2＋＝(‎2m－n,2n＋m)＝(7,9)，即 解得因此，＝.‎ 三、解答题 ‎10．已知△ABC中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M、N是AB、AC的中点，D是BC的中点，MN与AD交于点F，求.‎ ‎[解析]　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)‎ 所以＝(－4，－3)，AC＝(－3，－5)．‎ 又因为D是BC的中点，有＝(＋)＝(－3.5，－4)，而M、N分别为AB、AC的中点，‎ 所以F为AD的中点，‎ 故有＝＝－＝(1.75,2)．‎ ‎11．已知a＝(1,1)，b＝(1，－1)，将下列向量表示成xa＋yb的形式．‎ ‎(1)p＝(2,3)；(2)q＝(－3,2)．‎ ‎[解析]　xa＋yb＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．‎ ‎(1)由p＝(2,3)＝(x＋y，x－y)，得即　所以p＝a－b.‎ ‎(2)由q＝(－3,2)＝(x＋y，x－y)，得 即所以q＝－a－b.‎ ‎12．已知向量u＝(x，y)与向量ν＝(y,2y－x)的对应关系用ν＝f(u)表示．‎ ‎(1)求证：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；‎ ‎(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；‎ ‎(3)求使f(c)＝(p，q)(p、q为常数)的向量c的坐标．‎ ‎[解析]　(1)证明：设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则ma＋nb＝(ma1＋nb1，ma2＋nb2)，∴f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)，mf(a)＋nf(b)＝m(a2,‎2a2－a1)＋n(b2,2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1)．‎ ‎∴f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立．‎ ‎(2)f(a)＝(1,2×1－1)＝(1,1)，f(b)＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．‎ ‎(3)设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)．‎ ‎∴y＝p,2y－x＝q.∴x＝2p－q.‎ ‎∴向量c＝(2p－q，p)．‎