数学卷·2019届青海省西宁四中高二上学期第一次月考（2017-10）

数学卷·2019届青海省西宁四中高二上学期第一次月考（2017-10）

西宁市第四高级中学 2017—18 学年第一学期第一次月考试卷 高 二 数 学（文理合卷） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选择中， 只有一个是符合题目要求的） 1. 一个直角三角形绕斜边旋转 360°形成的空间几何体为（ ） A．一个圆锥 B．一个圆锥和一个圆柱 C．两个圆锥 D．一个圆锥和一个圆台 2. 一个几何体的三视图如图 1 所示，则该几何体可以是（　　） A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 3. 已知平面 α 内有无数条直线都与平面 β 平行，那么（　　） A．α∥β B．α 与 β 相交 C．α 与 β 重 D．α∥β 或 α 与 β 相交 4. 如图 2 所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（ ） A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B．该几何体有 12 条棱、6 个顶点 C．该几何体有 8 个面，并且各面均为三角形 D．该几何体有 9 个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 5. 如图 3 所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等 的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为（　　） A． B． C． D．1 6. 已知一个铜质的五棱柱的底面积为 16cm2，高为 4cm，现将它熔化后铸成 一个正方体的铜块（不计损耗），那么铸成的铜块的棱长是（　　） A．2cm B． cm C．4cm D．8cm 7. 空间中四点可确定的平面有（　　） A．1 个 B．3 个 C．4 个 D．1 个或 4 个或无数个 8. 下列命题错误的是（ ）. A.如果平面 平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 平面 ，平面 平面 ，那么 平面 3 4 α ⊥ β α β α ⊥ β α β α ⊥ γ β ⊥ , lγ α β∩ = l ⊥ γ 图 4 图 1 图 2 图 3 D.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 9. 如图 4，一个水平放置的平面图的直观图（斜二测画法）是一个底角为 45°、腰和 上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是（　　 ） A．2+ B．1+ C．1+ D． 10.球的表面积与它的内接正方体的表面积之比是（ ） A. B. C. D. 11. 如图 5，在长方体 中， ， ， ，由 在表 面到达 的最短行程为（ ） A．12 B． C． D． 12.如图 6，四面体 A-BCD 中，AB=AD=CD=1，BD= ，BD⊥CD，平面 ABD⊥ 平面 BCD，若四面体 A-BCD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的体积为 （ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.） 13.一棱柱有 10 个顶点，且所有侧棱长之和为 100，则其侧棱长为　　　　　　　． 14.利用斜二测画法得到的 ①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形； 以上结论,正确的是 . 15. 四面体 S-ABC 中,各个侧面都是边长为 的正三角形,E,F 分别是 SC 和 AB 的中点,则 异面直线 EF 与 SA 所成的角等于 . 16. 设 m，n 是不同的直线，α，β，γ 是不同的平面，有以下四个命题： （1） ； （2） （3） ； （4） ， α β α β 2 2 2 2 2 21+ 3 π 4 π 2 π π 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 3AA = 4AD = 5AB = A 1C 74 80 3 10 2 π 3 2 π3 π 2 3 π2 a γβγα βα //// // ⇒    βα βα //// mm ⇒   ⊥ βαβ α ⊥⇒   ⊥ //m m αα //// mn nm ⇒    ⊂ 图 5 5 D1 C1 B1A1 D C A B A B C D 图 6 其中假命题有 　 　． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答题应写出文字说明、证明 过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分）如图 7 所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四 棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为 2m，棱锥高为 7m，制 造这个塔顶需要多少铁板？ 18.（本小题满分 12 分）如图 8，是一个几何体的三视图，正视图和侧视图都是由一个边 长为 2 的等边三角形和一个长为 2 宽为 1 的矩形组成． （1）说明该几何体是由哪些简单的几何体组成； （2）求该几何体的表面积与体积． 图 7 图 8 19.（本小题满分 12 分）如图 9，等腰直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，BC＝ 2，DA⊥AC， DA⊥AB，若 DA＝1，且 E 为 DA 的中点．求异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值． 20. （本小题满分 12 分）已知点 S 是△ABC 所在平面外的一点，G 是 AB 上任一点，D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点，如图，试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系，并给予证明 21. （本小题满分 12 分）如图 10，在三棱锥 A﹣BPC 中，AP⊥PC，AC⊥BC，M 为 AB 中点，D 为 PB 中点，且△PMB 为正三角形， 图 9 ⑴求证：MD∥平面 APC； ⑵求证：平面 ABC⊥平面 APC． 22. （本小题满分 12 分）如图 11，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2， E，F 分别在 BC，AD 上，EF∥AB．现将四边形 ABEF 沿 EF 折起，使得平面 ABEF⊥平面 EFDC． ⑴当 BE=1，是否在折叠后的 AD 上存在一点 P，使得 CP∥平面 ABEF？若存在，求出 P 点 位置，若不存在，说明理由； ⑵设 BE=x，问当 x 为何值时，三棱锥 A﹣CDF 的体积有最大值？并求出这个最大值． 图 10 10 图 11 11 高二数学答案 1-6 CDDDAC 7-12 DAACBC 13.20 14. ①② 15. 45° 16. （2）（4） 提示： 13. 由于一共有 10 个顶点，所以共有 5 条侧棱，故其侧棱长为 100÷5=20. 15. 取 AC 中 点 G， 连 接 EG ， GF ， FC， 设 棱 长 为 2 ， 则 CF= ，而 CE=1,E 为等腰△SFC 的中点，所以 EF= ，GE=1， GF=1，而 GE∥SA，所以∠GEF 为异面直线 EF 与 SA 所成的角，因为 EF= ，GE=1，GF=1，所以△GEF 为等腰直角三角形，故∠GEF=45°. 16. （1）若 α∥β，α∥γ，则 β∥γ，根据面面平行的性 质定理和判定定理可证得，故正确 （2）若 m∥α，α⊥β 则 m∥β 或 m 与 β 相交，故不正确 （3）因为 m∥β，所以 β 内有一直线 l 与 m 平行，而 m⊥α，则 l⊥α，l⊂β，根据 面面垂直的判定定理可知 α⊥β，故正确 （4）m∥n，n⊂α 则 m⊂α 或 m∥α，故不正确 故答案为（2）（4）. 三、解答题 17. 解:如图 18 所示，连接 AC 和 BD 交于 O，连接 SO.作 SP⊥AB，连接 OP. 在 Rt△SOP 中，SO＝ 7m，OP＝ 1 2BC＝1m， 所以 SP＝2 2m， 3 2 2 SC BA EFG图 17 图 18 则△SAB 的面积是 1 2×2×2 2＝2 2m2． 所以四棱锥的侧面积是 4×2 2＝8 2m2， 即制造这个塔顶需要 8 2m2 铁板． 18.解：（1）由三视图知，该三视图对应的几何体为一个底面直径为 2,母线长为 2 的 圆锥与一个长宽都为 2 高为 1 的长方体组成的组合体. （2）此几何体的表面积 ， 此几何体的体积 . 19.解：取 AC 的中点 F，连接 BF、EF，在△ACD 中，E、F 分别是 AD，AC 的中点， EF∥CD，所以∠BEF 即为所求的异面直线 BE 与 CD 所成的角（或其 补角）． 在 Rt△EAB 中，AB＝1，AE＝ 1 2AD＝ 1 2，所以 BE＝ 5 2 . 在 Rt△AEF 中，AF＝ 1 2AC＝ 1 2，AE＝ 1 2，所以 EF＝ 2 2 . 在 Rt△ABF 中，AB＝1，AF＝ 1 2，所以 BF＝ 5 2 . 在等腰△EBF 中，cos∠FEB＝ 1 2EF BE ＝ 2 4 5 2 ＝ 10 10 ， 所以异面直线 BE 与 CD 所成角的余弦值为 10 10 . 21. 证明：⑴因为 M 为 AB 中点，D 为 PB 中点， 所以 MD∥AP， 又 MD 平面 APC，所以 MD∥平面 APC． ⑵因为△PMB 为正三角形，且 D 为 PB 中点， 所以 MD⊥PB． 又由⑴知 MD∥AP，所以 AP⊥PB． 已知 AP⊥PC，PB∩PC=P， 所以 AP⊥平面 PBC， 而 BC PBC， 所以 AP⊥BC， 又 AC⊥BC，而 AP∩AC=A， 所以 BC⊥平面 APC， 又 BC 平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 PAC． 2 2 4 4 2 16S π π π= + × − + × = + 1 33 2 2 1 43 3V π π= × + × × = + ⊄ ⊂ ⊂ 图 19 图 21 22. 解：⑴若存在 P，使得 CP∥平面 ABEF，此时 λ= ： 证明：当 λ= ，此时 = ， 过 P 作 MP∥FD，与 AF 交 M，则 = ， 又 FD=5，故 MP=3， 因为 EC=3，MP∥FD∥EC， 所以 MP∥EC，且 MP=EC，故四边形 MPCE 为平行四边形， 所以 PC∥ME， 因为 CP 平面 ABEF，ME⊂平面 ABEF， 故答案为：CP∥平面 ABEF 成立． ⑵因为平面 ABEF⊥平面 EFDC，ABEF∩平面 EFDC=EF，AF⊥EF， 所以 AF⊥平面 EFDC， 因为 BE=x，所以 AF=x，（0＜x＜4），FD=6﹣x， 故三棱锥 A﹣CDF 的体积 V= × ×2×（6-x）x=﹣ （x-3）2+3， 所以 x=3 时，三棱锥 A﹣CDF 的体积 V 有最大值，最大值为 3． 2 3 2 3 AD AP 5 3 FD MP 5 3 ⊄ 3 1 2 1 3 1