数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三12月月考（2016

数学理卷·2017届四川省成都市龙泉驿区第一中学校高三12月月考（2016

成都龙泉中学高2014级高三上期12月月试题 数 学（理）‎ ‎（满分：150分 时间：120分钟）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择），考生作答时，须将答案答答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效。满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷(选择题，共60分)‎ 注意事项：‎ ‎ 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑.‎ ‎ 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．函数的定义域为( ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知双曲线C：的一条渐近线过点（一1，2），则C的离心率为（ ）‎ A． B． C、 D．‎ ‎3．已知等差数列｛｝中，，且，则此等差数列的公差d＝（ ）‎ A、－4 B、－‎3 C、－2 D、‎ ‎4．已知且满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A、6 B、‎5 C、4 D、3‎ ‎5．一个棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为正三角形，则四棱锥侧面中最大侧面的面积是（ ）‎ A、1 B、 C、 D、‎ ‎6．已知平行四边形ABCD中，点E，F满足，，则（ ）‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎7．已知，则“”是“”的（ ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎8．已知函数的图象向右平移个单位后得到的图象，则的值为（ ）‎ A、－ B、－ C、 D、‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，则输出的k＝（ ）‎ A、8 B、‎9 C、10 D、11‎ ‎10．已知三棱锥的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，，当△与的面积之和最大时，三棱锥的体积为( ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎11．已知圆C：，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则｜PC｜的最大值为（ ）‎ A、 B、 C、2 D、2‎ ‎12．已知函数 ‎，若与同时满足条件：①；②，则实数a的取值范围是（ ）‎ A、（－，－1）（，2） B、（－，－1）（0，）（，2）‎ C、（－，0）（，2） D、（－，0）（0，）（，2）‎ 第Ⅱ卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知复数则｜z｜＝ ．‎ ‎14．若函数是奇函数，则a＝ ．‎ ‎15．已知集合A＝｛（x，y）｜｝，B＝｛（x，y）｜｝，设集合M＝｛（x1＋x2，y1＋y2）｜｝，则集合M中元素的个数为 ．‎ ‎16．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y都有，且当x＞0时，，若数列满足，且（），则 ．‎ 三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，A＝，．‎ ‎（1）求B，C的值；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知，，，，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于 ‎（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；‎ ‎（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）为了了解中学生的体能状况，某校抽取了n名高一学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中第二小组频数为14．‎ ‎（1）求频率分布直方图中a的值及抽取的学生人数n；‎ ‎（2）现从跳绳次数在179．5，199．5］内的学生中随机选取3人，记3人中跳绳次数在189．5，199．5］内的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎20．（本小题满分12分）已知抛物线：与椭圆： 的一个交点为，点F是抛物线的焦点，且·‎ ‎（1）求p，t，m的值；‎ ‎（2）设O为坐标原点，椭圆C2上是否存在点A（不考虑点A为的顶点），使得过点O作线段OA的垂线与抛物线交于点B，直线AB交y轴于点E,满足∠OAE＝∠EOB?若存在，求点A的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知函数，．‎ ‎（1）若为曲线的一条切线，求a的值；‎ ‎（2）已知，若存在唯一的整数使得，求a的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．（本小题满分10分）【选修4一4：坐标系与参数方程】‎ 已知在直角坐标系x0y中，曲线：（为参数），在以平面直角坐标系的原点）为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系中，曲线：．‎ ‎（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等，分别求这三个点的极坐标．‎ ‎23．（本小题满分一10分）【选修4一5：不等式选讲】‎ 已知 ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）设m，n，p为正实数，且，求证：．‎ 成都龙泉中学高2014级高三上期12月月试题 数 学（理）参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.答案：D 试题分析：由题意得，即，所以或，故选D．‎ ‎2.答案：A 试题分析：∵点在直线上，∴，，故选A．‎ ‎3.答案：C 试题分析：是等差数列， ，由 且得， ，故选C．‎ ‎4.答案：A 试题分析：如图1所示画出可行域，注意到x，，在点处取得最优解，所以，故选A．‎ ‎5.答案：D 试题分析：由三视图可得四棱锥的直观图，如图2所示，底面是边长为1的正方形，为边长为1的等边三角形，，且底面平面PAD，，底面平面， 平面PAD，，是等腰直角三角形， ，同理，∵在等腰中，，‎ ‎，最大，故选D．‎ ‎6.答案：B 试题分析：如图所示，由题意得，，所以，故选B．‎ ‎7.答案：C 试题分析：由得，，所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以当时，“”是“”的充要条件，故选C．‎ 考点：充分必要条件、函数的单调性．‎ ‎8.答案：A 试题分析：，将的图象向右平移个单位后得到 的图象， ，‎ ‎，，∴当时，，故选A．‎ ‎9.答案：C 试题分析：依据程序框图，得，，，，又，，，故选C．‎ ‎10.答案：B 试题分析：设球O的半径为R，，∴当 ‎ 时，‎ ‎ 取得最大值，此时，，平面AOB，‎ ‎，故选B．‎ ‎11.答案：C 试题分析：方法一：如图，连接AC，BC，设，连接PC与AB交于点D，，是等边三角形，∴D是AB的中点，，∴在圆C：中，圆C的半径为，‎ ‎，，∴在等边中，，‎ ‎，故选C．‎ 方法二：设，‎ 则，记，令 ，得，‎ ‎，故选C．‎ ‎12.答案：B 试题分析：如图，由的图象可知，当时，，为满足条件①，可得 在上恒成立；为满足条件②，由于在上总有，故，；当 时，，不满足条件；当时，考虑函数的零点，；当时，，‎ 为满足条件，得解得；当时，（ⅰ）当时，，为满足条件，得 ‎ 解得，；（ⅱ）当时，，为满足条件，得解得 ‎，；（ⅲ）当时，，不满足条件．综上所述，得 ‎，故选B．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.答案：‎ 试题分析：由题意得，所以．‎ ‎14.答案：3‎ 试题分析：的定义域为，为奇函数，‎ ‎，，经验证，为奇函数．‎ ‎15.答案：59‎ 试题分析：由题意知，，B中有个元素，当时，B中的元素都在M中；当时，M中元素各增加7个；当时，M中元素各增加5个，所以M中元素共有 个．‎ ‎16.答案：1009‎ 试题分析：任取且，，，，又由题意，得 ‎，在R上是减函数．‎ ‎，，，‎ ‎，又在R上是减函数，，即，‎ ‎．‎ 三、解答题（本题包括6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）‎ ‎17.答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式、三角形面积公式、诱导公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将已知表达式的1转化为a，再利用正弦定理将边转化为角，再利用两角和的正弦公式将式子展开，代入A＝，再利用两角和与差的正弦公式化简出，结合角B和C的范围，得出，代入三角形内角和中得出A、B、C的值；第二问，已知条件中有a边和C角，所以需求b边，利用正弦定理转化b边，代入中，利用诱导公式和倍角公式化简求值．‎ 试题解析：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又．‎ 又，．‎ ‎（2）由，得，‎ ‎．‎ ‎18.答案：（1）证明详见解析；（2）．‎ 试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，由面面垂直的性质可知平面ABCD，再由线面垂直的性质可知，从而可判断为BE与平面ABCD所成的角，设出，用勾股定理先计算出BD的值，在中，求的值，解方程求出a的值，由勾股定理证明，利用线面垂直的判定得平面BDE，最后利用面面垂直的判定得到结论；第二问，利用DA，DC，DE两两垂直，建立空间直角坐标系，写出有关点和向量坐标，先求出平面CDE与平面BDF的法向量，再利用夹角公式求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．‎ 试题解析：（1）证明：∵平面平面ABCD，‎ 平面平面，‎ ‎，，∴平面ABCD，‎ 又平面ABCD，．‎ 平面ABCD，为BE与平面ABCD所成的角，‎ 设，则，‎ 在中，，，‎ 在直角梯形ABCD中，，‎ 在中，，‎ ‎，，‎ 又，平面BDE，‎ 又，∴平面平面．‎ ‎（2）解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ 取平面CDE的一个法向量，‎ 设平面BDF的一个法向量，‎ 则即 令，则，‎ 所以．‎ 设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为，‎ 则，‎ 所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是．‎ ‎19.答案：（1），；（2）分布列详见解析，．‎ 试题分析：本题主要考查频率分布直方图、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，由所有频率之和为1，得出a的值，再利用频数÷样本容量=频率，计算样本容量n的值；第二问，先利用第一问的样本容量求出和内的学生人数，利用概率公式计算出每种情况的概率，列出分布列，最后利用计算数学期望．‎ 试题解析：（Ⅰ）由直方图知，，‎ ‎，‎ 所以抽取的学生人数为(人）．‎ ‎（Ⅱ）跳绳次数在内的学生人数有(人），‎ 其中跳绳次数在内的学生人数有(人）．‎ 由题意，X的取值可为．‎ ‎，，‎ ‎，．‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 随机变量X的数学期望为．‎ ‎20.答案：（1）；（2）点，．‎ 试题分析：本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用抛物线的定义，得，解出p的值，从而得到抛物线的标准方程，将P点代入方程中，即可解出t的值；第二问，先通知已知分析直线OA的斜率是否存在，若存在，设出直线OA、OB的方程，分别与椭圆、抛物线的方程联立，解出x，根据椭圆及抛物线的对称性，分别讨论点A在第一、二象限的情形，当A点在第一象限时，结合图象分析出D是线段AB的中点，列出等式，解出K的值，当点A在第二象限时，结合图象分析出，列出等式，解出k的值，即得到A点坐标．‎ 试题解析：（1）由抛物线的定义，得，‎ ‎，；‎ 将点代入：，得，；‎ 将点代入：，‎ 得，，．‎ ‎（2）由题意，直线OA的斜率存在且不为0，‎ 设直线OA的方程为，，‎ 则直线OB的方程为．‎ 由 得，；‎ 由 得，（舍去）或．‎ 若满足的点A存在，根据椭圆及抛物线的对称性，现考虑点A在第一、第二象限的情形．‎ ‎（ⅰ）当点A在第一象限时，，如图7所示，‎ 此时点，，‎ 且，‎ 设直线AB与x轴交于点D．‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，即点D是线段AB的中点，，即，‎ ‎，，．‎ ‎（ⅱ）当点A在第二象限时，，如图8所示，‎ 此时点，．‎ ‎，，‎ ‎，‎ 即，，‎ 即，，，．‎ 综合（ⅰ）、（ⅱ）及椭圆和抛物线的对称性，得点，．‎ ‎21.答案：（1）；（2）．‎ 试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、函数的零点等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，对求导，设出切点坐标，由纵坐标为，斜率为，列出方程，解出的值，从而得到a的值；第二问，构造函数，先证明存在唯一的整数使得，再求a的取值范围，对求导，通过和，判断函数的单调性，由于，且，则存在唯一的整数使得，再对a进行讨论，得出结论．‎ 试题解析：（1）函数的定义域为R，，‎ 设切点，则切线的斜率，‎ ‎∴切线为：，‎ 恒过点，斜率为a，且为的一条切线，‎ ‎，‎ ‎，．‎ ‎（2）令，，‎ ‎，‎ 当时，，，，‎ 又，，，‎ ‎，又，‎ 则存在唯一的整数使得，即；‎ 当时，为满足题意，上不存在整数使，‎ 即上不存在整数使，‎ ‎，，‎ ‎①当时，，‎ ‎，‎ ‎∴当时，，‎ ‎，；‎ ‎②当时，，不符合题意．‎ 综上所述，．‎ 解法2：‎ 令得，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ ‎∴在上递减，在上递增，‎ ‎．‎ 令，则函数存在唯一零点，‎ 作出函数与的大致图象，如图9所示．‎ 由题意，存在唯一的整数使得，‎ 结合图象得 即 ‎．‎ ‎（解法2为数形结合的方法，作为解答题的解法不甚严密，评卷时酌情给分．）‎ 考点：利用导数求曲线的切线、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、函数的零点．‎ ‎22.答案：（1），；（2），，．‎ 试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离、两直线间的距离等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先将曲线的方程平方，利用平方关系，消去参数，得到曲线的普通方程，将曲线的方程利用两角和的正弦公式展开，再利用，代换，得到曲线的直角坐标方程；第二问，结合第一问知，曲线为圆，曲线为直线，画出图形，通过图形分析得这三个点分别在平行于直线的两条直线，上，通过直线的位置得到直线和直线的方程，再与圆的方程联立，得到三个点E、F、G的坐标．‎ 试题解析：（1）由题意，得 ‎∴曲线的普通方程为．‎ ‎∵曲线：，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）∵曲线为圆，圆心，半径为，曲线为直线，‎ ‎∴圆心C1到直线的距离，‎ ‎∵圆上恰好存在三个不同的点到直线的距离相等，‎ ‎∴这三个点分别在平行于直线的两条直线，上，‎ 如图所示，‎ 设与圆相交于点E，F，‎ 设与圆相切于点G，‎ ‎∴直线，分别与直线的距离为，‎ ‎∴：，‎ ‎：．‎ 由得或 即，；‎ 由得即，‎ ‎∴E，F，G这三个点的极坐标分别为，，．‎ ‎23.答案：（1）；（2）证明详见解析．‎ 试题分析：本题主要考查绝对值不等式的解法、均值不等式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用零点分段法去掉绝对值符号，转化为不等式组，解出x的范围；第二问，由，所以，平方得（），利用均值不等式得、、，相加得：，代入（）中得到结论．‎ 试题解析：（1）解：不等式等价于不等式组 ‎ 或或 解不等式组，得或或，‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）证明：，‎ ‎，‎ ‎∵m，n，p为正实数，‎ ‎∴由均值不等式，得（当且仅当时取等号），‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ ‎，‎ ‎（当且仅当时取等号）．‎