2017高二上期期中考试理科数学1

2017高二上期期中考试理科数学1

‎2017学年度高二上学期中考试 高二年级数学试卷（理科） ‎ 第I卷 ‎ 一，选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）‎ 1． 已知向量，下列向量中与平行的向量是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知抛物线C：y2＝x与直线l：y＝kx＋1.“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同的交点”的(　　)‎ A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3. 已知方程和(其中,)，它们所表示的曲线可能是（ ）‎ ‎4. 2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （　　）‎ ‎ A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜ D．－1＜x＜10‎ ‎5. 已知双曲线，两渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎6．已知是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是 （ ）‎ ‎① ② ‎ ‎③ ④‎ A．①② B．②④ C．③④ D．①③‎ ‎7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　)‎ A．EF至多与A1D、AC之一垂直 B．EF是A1D，AC的公垂线 C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 ‎8. 如图，空间四边形中，，，，点在 ‎ 线段上，且，点为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与平面ACB1间的距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.椭圆的左、右焦点分别为,弦AB过，若△的内切圆面积为，A、B两点的坐标分别为和，则的值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11. 椭圆的左右焦点分别为,点在第一象限，且在椭圆C上，点在第一象限且在椭圆C上，满足,则点的坐标为（ ）‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎12.已知F1,F2是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，且记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，则该椭圆的离心率等于 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题90分）‎ 二.填空题（每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答卷纸的相应位置）‎ ‎13.已知，若三向量共面，则________ ‎ ‎14.正三棱锥的高为2，侧棱与地面ABC成，则点A到侧面PBC的距离为 ‎ ‎15已知直线l与椭圆交于两点，线段的中点为P，设直线l的斜率为(k1≠0)，直线OP的斜率为，则的值等于 ‎ ‎16.已知函数恒过抛物线的焦点,若A,B是抛物线上的两点，且,直线AB的斜率不存在，则弦的长为 ‎ 三.解答题（共6小题， 共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）‎ ‎17.（本题满分10分）如图，在四棱锥，,‎ ‎,平面平面,E是线段上一点，‎ (1) 证明：平面平面 (2) ‎ 若,求直线与平面所成角的余弦值。‎ ‎18.（本题满分12分）如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，△为等边三角形，平面平面，且∠=60°,，为的中点. ‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值； ‎ ‎（Ⅲ）在棱上是否存在点，使∥平面？并说明理由．‎ ‎19（本题满分12分）已知椭圆与直线相交于两点．‎ ‎（1）若椭圆的半焦距，直线与围成的矩形的面积为8，‎ 求椭圆的方程；‎ ‎（2）若（为坐标原点），求证：；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率满足，求椭圆长轴长的取值范围．‎ ‎20.（本题满分12分）在四棱锥P－ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC＝90°，AB＝AD＝PD＝1，若 E为PC的中点，且BE与平面PDC所成的角的正弦值为，‎ ‎ (1)求CD的长 ‎（2）求证平面PBD ‎(3)设Q为侧棱PC上一点，＝λ，试确定λ的值，使得二面角Q－BD－P的大小为45°.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点F重合. （1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线经过点与椭圆相交于A、B两点，与抛物线相交于C、D两点．求的最大值．‎ ‎22.（本题满分12分） 如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.‎ ‎（1）求椭圆和双曲线的标准方程；‎ ‎（2）设直线、的斜率分别为、，证明；‎ ‎（3）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎2017学年度高二上学期期中考试 高二年级数学试卷（理科） ‎ 一，选择题目：‎ ‎ BABDA DBBAB AD ‎12.．D【解析】由题意知点P在圆上，由消y得,又因为△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1: 2，可得 ‎,‎ ‎,选D。‎ 二，填空题 ‎13.5 14. 15. 16.‎ ‎17. 解：（Ⅰ）平面平面,平面平面,‎ 平面，， ‎ 平面, …………2分 平面 ‎ ‎，，=3, AE=ED=，‎ 所以即…………4分 结合得BE⊥平面SEC，平面， ‎ 平面SBE⊥平面SEC. …………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线ES,EB,EC两两垂直.‎ 如图，以EB为x轴, 以EC为y轴,以ES为z轴,建立空间直角坐标系.‎ E S D C A B x z y 则，‎ ‎.‎ 设平面SBC的法向量为，‎ 则 解得一个法向量，……7‎ 设直线CE与平面SBC所成角为，‎ 则所以直线CE与平面SBC所成角的正弦值 --- 9分 则直线CE与平面SBC所成角的余弦值为…………10‎ ‎18. ‎ ‎（Ⅰ）证明：连结EB，在△AEB中，AE=1，AB=2，∠=60°，‎ ‎＝1+4－2＝3.‎ ‎∵，∴AD⊥EB． …………………………………………2分 ‎∵△为等边三角形，为的中点，AD⊥PE．‎ 又EB∩PE=E，∴平面PEB，∴．………4分 ‎（Ⅱ）平面平面，平面PAD∩平面ABCD＝AD，且PE⊥AD，∴PE⊥平面ABCD，∴PE⊥EB．‎ 以点E为坐标原点，EA，EB，EP为x，y，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，B(0,,0)，P(0,0,)，D(-1,0,0)，．‎ 设平面PCD的一个法向量为，则 ‎，即，∴‎ 令z＝－1，则x＝，y＝1，故．‎ 平面PAD的一个法向量为，‎ ‎∴．又二面角为钝角，‎ ‎∴二面角的余弦值为． ------------------8分 ‎（Ⅲ）假设棱PB上存在点F，使∥平面，设F(0,m,n)，，则：‎ ‎=，∴，‎ ‎∴．∵∥平面，‎ ‎∴，即．∴，．‎ 故当点F 为PB的中点时，∥平面． -------------12分 ‎19. 【解析】试题分析：解：（1）由已知得： 解得 3分 所以椭圆方程为： --------------- 4分 ‎（2）设，由，‎ 得 由，得 ‎ 由，得 ----------- 8分 ‎∴ ‎ 即，故 ----------- 8分 ‎（3）由（2）得 由，得，‎ ‎∴ ------------- 10分 由得，∴ 所以椭圆长轴长的取值范围为 --------------12‎ ‎20. 解： (1)因为平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D－xyz.则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，，P(0,0,1)．‎ C，面的法向量为 根据题意且BE与平面PDC所成的角的正弦值为，‎ 则， ----------------------4分 ‎（2）又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又PD∩BD＝D，‎ ‎ ‎ 所以BC⊥平面PBD. --------------------6‎ ‎ (3)由(2)可知，平面PBD的一个法向量为＝(－1,1,0)，‎ ＝(0,2，－1)，因为＝λ，λ∈(0,1)，所以Q(0,2λ，1－λ)，‎ 设平面QBD的一个法向量为n＝(a，b，c)，‎ 因为＝(1,1,0)，＝(0,2λ，1－λ)，由n·＝0，n·＝0，得 ，取b＝1，所以n＝(－1,1，)， -----------8分 所以cos45°＝＝＝.‎ 注意到λ∈(0,1)，得λ＝－1. ------------------------12‎ ‎21. （1）由抛物线方程，得焦点，‎ ‎ 故椭圆的方程为 ．--------------------4‎ ‎（Ⅱ）①当直线l垂直于轴时，则，‎ ‎ …………………………………………5分 ‎②当直线l与轴不垂直，设其斜率为，则直线l的方程为 ‎ 由 得 ‎ 显然，该方程有两个不等的实数根．设，.‎ ‎, ………………………………6分 所以，‎ ‎ ……………8分 由 得 ‎ 显然，该方程有两个不等的实数根．设，.‎ ‎ , ‎ 由抛物线的定义，得 ……………10分 综上，当直线l垂直于轴时，取得最大值. ……………………………12分 ‎22. （Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。 -----------------4‎