2020届二轮复习数列的求和学案（全国通用）

2020届二轮复习数列的求和学案（全国通用）

数列的求和 求数列的前 项和 的几种方法：①倒序相加法；②错位相减法；③裂项法；④分组求 和． 倒序相加法  ​ 倒序相加法求和 如果一个数列 ，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒 着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法．以等差 数列为例，若等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则 两式等号两边分别相加得 由等差数列的性质得 ，所以有 ． 裂项相消法 ​ 有一类数列的求和，将数列 的通项 分裂成两项或几项的差的形式，使之在求和时相 邻项相消或隔项相消，从而达到求和的目的，这种方法通常称为裂项相消法． 裂项相消法通常适用于下列类型： 1. ​ 若 是公差为 的等差数列，则有 ； ． 2. ． 分组求和法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列的通项适当拆分，可以得到几 个等差、等比或其他常见数列，然后分别求和，再将各类拆分所得的子数列的和相加得到原数 列的和，这种方法叫做分组求和法．​ 错位相减法  ​ 错位相减法 ​ ​ 错位相减法是一种常用的数列求和的方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形 式．若数列 的通项公式 ，其中， 是公差为 的等差数列， 是公 比为 （ ） 的等比数列，我们可以用错位相减法求 的前 项和 ． ，得 ，化简求出 即可． 精选例题 数列的求和 1. 已知 中， ， 为 的前 项和，则 的前 项和 ． 【答案】 【分析】 由 可知 为等差数列，易求出 ，则 ． 所以 ． 2. 设直线 直 N 与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则 쳌 的值为 ． 【答案】 쳌 쳌】 3. 数列 ， ， 】 ， ， ， ，的前 项之和等于 ． 【答案】 4. 若 是奇数 是偶数 ，则 쳌쳌 ． 【答案】 쳌 5. 若数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和 ． 【答案】 6. 数列 ， ， ， 】 ， 的前 项和 ． 【答案】 【分析】 ． 7. 已知等差数列 中， ，公差 公 쳌 ，且 ， ， 成等比数列， ，则数列 的前 项和 ． 【答案】 【分析】 ， ， 成等比数列，所以 ，解得 쳌 或者 ，因为 公 쳌 ，所以 ． ，所以 ． 当 为奇数时， ； 当 为偶数时， ． 当 为奇数时， 】 】 当 为偶数时， 综上： ． 8. 在等差数列 中，已知 ， ，若数列 的前 项和为 】 ，则 ． 【答案】 9. 已知函数 直 直 ，当 直 直 时， 直 直 ，则 ． 【答案】 【分析】 令 ， 则 ， 所以 ． 所以 ． 10. 已知 ，数列 的前 项和为 ，则使 公 쳌 的 的最小值 是 ． 【答案】 【分析】 列举前 쳌 项即可， 쳌 쳌 ， 쳌 ， 쳌 ， 】 쳌 ， 쳌 ． ． 11. 数列 满足 ， ． (1)证明：数列 是等差数列； 【解】 由已知可得 ， 即 ，即 ， 所以数列 是公差为 的等差数列． (2)求数列 的通项公式； 【解】 由（1）知 ， 所以 ． (3)设 ，求数列 的前 项和 ． 【解】 由（2）知 ， ， ． 以上两式相减，得 所以 ． 12. 已知数列 是等差数列，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 设数列 公差为 ， 则 ， 又 ， ， 所以 ． (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【解】 因为 13. 已知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，数列 的前 项和 ． (1)求数列 与 的通项公式； 【解】 因为数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 所以数列 的通项公式为 ． 因为数列 的前 项和 ． 所以当 时， ， 当 时， ， 所以数列 的通项公式为 ． (2)求数列 的前 项和． 【解】 由（1）可知， ． 设数列 的前 项和为 ， 则 】 即 】 ，得 所以 ． 14. 设数列 的前 项和 满足 ，且 ， ， 成等差数列，令 log ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 由题意，得 ， 从而 ， 上述两式相减，得 ， 即 ， 从而 ， ， ， 又因为 ， ， 成等差数列， 所以 ， 即 ， 解得 ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， 因此数列 的通项公式为 ． (2)令 ，求数列 的前 项和 ． 【解】 由（1），可知 所以 ， 以上等式两边同乘以 ，得 ， 由 ，得 所以 ． 15. 已知 是各项均为正整数的等比数列，且 ， ， 成等差数列． (1)求 的通项公式； 【解】 因为 ， ， 成等差数列． 所以 ． 设数列 的公比为 公 쳌 ，由 可得 ，即 쳌 ，解得 或 （舍）． 所以 ． (2)求数列 的前 项和 ． 【解】 由（1）得 ． 所以 16. 设数列 是等比数列，对任意 N ， ，已知 ， 】 ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 设等比数列 的公比是 ． 由题意，得 】 解得 ， ， 所以 ． (2)求使得 쳌 成立的最大正整数 的值． 【解】 ，得 所以 ． 由 쳌 ，得 쳌 ， 化简，得 ． 又 ， 公 ， 所以，使得 쳌 成立的最大正整数 的值是 ． 17. 已知数列 的通项 为奇数 为偶数 求其前 项和 ． 【解】 奇数项组成以 为首项，公差为 的等差数列， 偶数项组成以 为首项，公比为 的等比数列． 当 为奇数时，奇数项有 项，偶数项有 项， 所以 当 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 项， 所以 所以 为奇数 为偶数 18. 设数列 满足 쳌 且 (1)求 的通项公式； 【解】 由题设 即 是首项为 ，公差为 的等差数列．故 所以 (2)设 ，记 ，证明： ． 【解】 由(1)得 所以 19. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 log ． (1)求 ， ； 【解】 由 ，得 当 时， ； 当 时， ，所以 由 log ，得 (2)求数列 的前 项和 ． 【解】 由（1）知 ，所以 】 】 所以 故 20. 在等差数列 中， ， 】 ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 因为 是一个等差数列，所以 设数列 的公差为 ，则 】 故 由 ，得 即 所以 (2)对任意 ，将数列 中落入区间 内的项的个数记为 ，求数列 的 前 项和 ． 【解】 对 ，若 ，则 ． 因此 ． 故得 ．于是 쳌 쳌 倒序相加法 1. 设 直 直 直 ，利用倒序相加法，可求得 쳌 的值为 ． 【答案】 【分析】 当 直 直 时， 直 直 直 直 直 直 直直 直 直 直直 直 直 ． 设 쳌 ，倒序相加有 쳌 쳌 쳌 ，即 ． 2. 设 直 直 直 ，则 쳌 ． 【答案】 【分析】 直 直 直 直 直 直 直 直 直 ，所以 쳌 쳌 由 得， 쳌 ，即 ． 3. 数列 的通项公式为 쳌 쳌 ，其前 项和为 ，则 쳌 ， 쳌 ． 【答案】 ； 쳌쳌】【分析】 由 直 直 直 ，可得数列 直 直 ．所以 쳌 ，利用“倒序相 加法”易求 쳌 쳌쳌】 ． 4. 设 直 直 ，利用课本中推导等差数列前 项和公式的方法，可求得 쳌 的值是 ． 【答案】 【分析】 直 直 直 直 直 直 直 ． 쳌 由 得， ，所以 ． 5. 设 直 直 直 ，求 쳌 的值为 ． 【答案】 【分析】 由题意，得 直 直 ．然后，类比等差数列前 项和的推导方法，运用 倒序相加法求和． 6. 求下列数列的前 项和 ． (1) ， ， ， ， ， 쳌 ， 【解】 个 个 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 (2) ， ， ， ， ， 【解】 因为 ， 所以 (3) ； 【解】 因为 所以 (4) ， ， ， ， ， 【解】 因为 ， 所以 】 (5) sin sin sin sin ． 【解】 设 sin sin sin sin ， 又因为 sin sin sin 】 sin ， 所以 ， ． 7. 已知 直 直 直 ，求 十 ． 【解】 直 直 直 ， 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 直 令 ， 又 ， ， ． 8. 求证： C 쳌 C C C ． 【解】 设 C 쳌 C C C 把 式右边倒转过来得 C C C C 쳌 （反序）． 又由 C C 可得 C 쳌 C C C 得 C 쳌 C C C （反序相加）， ． 9. 求 sin sin sin sin sin 的值． 【解】 设 sin sin sin sin sin 将 式右边反序得 sin sin sin sin sin （反序） 又 sin直 cos 쳌 直 ， sin 直 cos 直 ， 所以由 得（反序相加） sin cos sin cos sin cos ． ． 10. 求和 C 쳌 C 】C 쳌C C ． 【解】 因为 为等差数列，所以 쳌 ，再结合 C C ， 可得 C 쳌 C 】C C C C C 】C C C 쳌 得 C 쳌 C C C 因此 裂项相消法 1. 在等差数列 中， ，则 ；设 ，则 数列 的前 项和 ． 【答案】 ； 2. 数列 的前 项和是 ，使 恒成立的最小正数 是 ． 【答案】 【分析】 因为 ，所以 所以使 恒成立的最小正数 是 ． 3. 求和： ． 【答案】 【分析】 因为 ，所以原式 ． 4. 已知 是数列 的前 项和，且 ， ，则 ， 쳌쳌 ． 【答案】 ； 쳌쳌 쳌 【分析】 利用累乘法即可求出 ，然后再利用裂项相消法求出 쳌쳌 쳌쳌 쳌 ． 5. 已知 是直线 直 上的一点，数列 满足 ， 是数列 的前 项和，则 쳌 ． 【答案】 쳌 【分析】 提示： ． 6. 设 为公比不为 的等比数列， ，其前 项和为 ，且 、 、 成等差 数列． (1)求数列 的通项公式； 【解】 、 、 成等差数列， ，即 ， 쳌 ． ， ． ，即 ， ， ． (2)设 loglog ， 为数列 的前 项和．求出 的最小值． 【解】 log log ， 所以 ． 显然 关于正整数 是单调递增的，所以 min ． 7. 在等比数列 中，已知 ， （ ）． (1)若 为等差数列，且满足 ， ，求数列 的通项公式； 【解】 在等比数列 中， ， ， 由 ，得 ，即 】 ， ， ． 在等差数列 中， ， ， ， ， 即数列 的通项公式为 ． (2)若数列 满足 log ，求数列 的前 项和 ． 【解】 若数列 满足 log ，则 log ， 8. 设 ， ， （ ）． (1)令 （ ），求数列 的通项公式； 【解】 因为 ，故 是公比为 的等比数列，且 ，故 （ ）． (2)求数列 的通项公式． 【解】 由 ，得 而 ，故 （ ）． 9. 已知数列 是首项 ， 쳌 的等差数列，设 log ． (1)求证： 是等比数列； 【解】 由 及 쳌 ，得 ， 所以 ． 因为 log ， 所以 log ，即 ． 则 ， 所以数列 是首项 ，公比 的等比数列． (2)记 ，求数列 的前 项和 ； 【解】 由（i），得 ， 所以 】 ． (3)记 ，若对任意正整数 ，不等式 公 恒成立，求 整数 的最大值． 【解】 因为 ， 则问题转化为对任意正整数 使不等式 公 恒成立． 设 ，则 公 쳌所以 公 ，故 的最小值是 ． 由 公 ，得整数 可取最大值为 ． 10. 已知等差数列前三项为 ，前 项的和为 ， 쳌 ． (1)求 及 的值； 【解】 设该等差数列为 ，则 쳌 根据等差中项性质，可得出 代入公式 得 쳌化简得 쳌 쳌 ， 解得 쳌 舍去 因此可知 쳌 ． (2)求 lim 【解】 根据等差数列前 项和公式知 代入可知 因此 lim lim ． 分组求和法 1. 求和 ． 【答案】 【分析】 原式 ． 2. 数列 的首项为 ，其余各项为 或 ，且在第 个 和第 个 之间有 个 ，即数列 为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，记数列 的前 项 和为 ，则 쳌 ， 쳌 ． 【答案】 ； 3. 设数列 的前 项和为 ，且 ，则 的值是 ； 若对任意正整数 ，恒有 成立，则实数 的取值范围是 ． 【答案】 ； 4. 已知数列 为奇数 为偶数 则 쳌쳌 ． 【答案】 쳌쳌쳌 5. 数列 的通项公式为 ，数列 满足：当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，那么，数列 的前 项和 ． 【答案】 或写成 6. 已知 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为 的前 项和． (1)求通项 及 ； 【解】 因为 是首项为 ，公差 的等差数列，所以 쳌 (2)设 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式及前 项 和 ． 【解】 由题意，得 ，即 ，所以 쳌 7. 设 为等比数列， ，已知 ， ． (1)求数列 的首项和公比； 【解】 设等比数列 的公比为 ，则 结合 ， ，解得 ， ． (2)求数列 的通项公式． 【解】 由（1），得 ． 设 ，则 从而 8. 数列 中 为其前 项和 当 公 쳌 时 有 t (1)求证：数列 是等比数列； 【解】 从而有 ② - ①得 쳌 t 即 又 综上，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列 (2)设数列 的公比为 作数列 使 求数列 的 前 项和 ． 【解】 由(1)得 ， 即 쳌 9. 已知数列 的前 项和为 ， ． (1)求数列 的通项公式； 【解】 ， ， （ ）， （ ）． (2)设 的前 项和为 ，求证 ． 【解】 ， ． ， 쳌 ，即 ． 10. 已知数列 为等差数列，且 ， 】 ，数列 的前 项和 ， (1)求数列 ， 的通项公式； 【解】 设数列 的首项为 ，公差为 ， 依题意有 】 即 解得 ． 数列 的前 项和 ， 当 时， ； 当 时， 又 也适合上式，所以数列 通项公式为 ． (2)设 ，数列 的前 项和为 ．求证： ． 【解】 ， 쳌 쳌 쳌 ，即 ． 错位相减法 1. 已知 直 ，则 直 直 直 ． 【答案】 直 直 直 直【分析】 记 直 直 直 ，当 直 쳌 时， ； 当 直 쳌 时， 直 直 直 直 直 直 ， 直 直 直 直 直 直 ，所以 直 直 直 直 ． 当 直 쳌 时也满足 直 直 直 直 ， 综上知 直 直 直 直 ． 2. 等于 ． 【答案】 【解】 用错位相减法求即可． 3. 已知数列 的前 项和为 ，且 ，则 ；记 ，则 ． 【答案】 ； 【分析】 提示： ，由已知 ， 得 ． 4. 已知数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，数列 是首项为 ，公比为 的等 比数列，若 ，则 的前 项和等于 ． 【答案】 쳌 【分析】 依题意， 故 쳌所以 쳌 쳌 故 쳌 则 쳌 쳌 所以 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 所以 쳌 5. 数列 ， ， ， ， 的前 쳌 项和 쳌 ． 【答案】 쳌 【分析】 ， 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 得 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 ． 6. 求数列 ， ， ， 】 ， ， 的前 项和． 【解】 设 】 则 得 所以 ． 7. 求和： ． 【解】 ， 当 쳌 时， 쳌 ； 当 时， ； 当 时， ． ， 两式相减得 ， 所以 ． 综上， 쳌 쳌 8. 设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ， ， 成等差数列． (1)求数列 的通项公式； 【解】 因为 ， ， 成等差数列 所以 ， 所以 所以 又 所以 数列 是一个首项为 公比为 的等比数列 所以 (2)求数列 的前 项和 ． 【解】 因为 所以 香 香 得： 香 所以 9. 已知数列 的各项均为正数，前 和为 ，且 ． (1)求证：数列 是等差数列； 【解】 当 时， 得： ， 整理得： ． 因为数列 的各项均为正数， 所以 쳌 ，所以 ． 当 时， ，得 쳌 ， 由 公 쳌 ，得 ， 所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列． (2)设 ，求数列 的前 项的和 ． 【解】 由（1）得 ， 所以 ． ①-②得 ． 所以 ， 所以 ． 10. 设 是正数组成的数列，其前 项和为 ，并且对于所有的 ， 与 的等差中 项等于 与 的等比中项． (1)写出数列 的前 项； 【解】 依题意，得 ， 当 时，有 ，即 ． 同理可得 ， 쳌 ，故该数列的前三项为 ， ， 쳌 ． (2)求数列 的通项公式（写出推导过程）； 【解】 由 得 ， ， 所以 ，即 쳌 ． 由于 쳌 ，所以 ，即数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 则 ． (3)令 ， ，求 ． 【解】 ， ，两式相减得 所以 ． 课后练习 1. 数列 ， ， ， ， 的前项和为 ． 2. 对于每个自然数 ，抛物线 直 直 与 直 轴交于 ， 两点，则 쳌쳌쳌쳌 的值为 ． 3. 数列 中，数列 的通项公式 ，则该数列的前 项之和等于 쳌 ． 4. 已知数列 满足 ， ，对任意 都有 ， ，则 쳌 ． 5. ． 6. ，则 쳌쳌 쳌쳌 쳌 ． 7. 数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于 ． 8. 数列 的通项公式为 ，若它的前 项和为 ，则项数 ． 9. 在数列 中， ，且对任意大于 的正整数 ，点 在直线 直 쳌 上，数列 的通项公式 ， 쳌쳌 ． 10. 若数列 满足： ，则其前 项和 ． 11. 对于三次函数 直 直 直 直 쳌 ，给出定义： 设 直 是函数 直 的导数， 直 是函数 直 的导数，若方程 直 쳌 有实数解 直쳌 ， 则称点 直쳌 直쳌 为函数 直 的"拐点"．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有" 拐点"；任何一个三次函数都有对称中心，且"拐点"就是对称中心．给定函数 直 直 直 直 ，请你根据上面探究结果，解答以下问题： ① 函数 直 直 直 直 的对称中心坐标为 ； ② 计算 쳌 쳌 쳌 쳌 쳌 ． 12. 已知等比数列 中， ， ，若数列 满足 log ，则数列 的 前 项和 ． 13. ． 14. 4．若数列 的通项公式为 ，其前 项和 쳌 ，则 ． 15. 设数列 的前 项和为 ，若 ， ，则数列 的前 项和 为 ． 16. 在二项式 直 公 的展开式中，含 直 项的系数记为 ，则 ． 17. 已知函数 直 直 直 ，那么 쳌쳌 쳌쳌 ． 18. 数列 的前 项和是 ． 19. 若数列 满足 ，则数列 的前 项和为 ． 20. 已知数列 是等比数列， 是等差数列，且 쳌 ．设 ．若数列 的 前 项是 ， ， ，则数列 的前 쳌 项和是 ． 21. 设数列 满足 ， ， ，若 （ ， ），则 ，数列 的前 쳌 项和 쳌 ． 22. ． 23. 对于任意实数 直 ，符号 直 表示不超过 直 的最大整数．例如： ．那么 log log log log log쳌 ． 24. 计算 i i i i 쳌쳌쳌 i 쳌쳌쳌 ． 25. 已知数列 的通项公式为 （其中常数 公 쳌 ， ），设 为数列 的前 项和．若对任意 都有 恒成立，则实数 的取值范围 是 ． 26. 对于 ，将 表示为 쳌 쳌 ，当 쳌 时， ，当 时， 쳌 或 ．记 为上述表示中 为 쳌 的个数（例如： 쳌 ， 쳌 쳌 쳌 ，所以 쳌 ， ），则（1） ；（2） 쳌 ． 27. 已知等差数列 中， ，前 쳌 项和 쳌 ． (1)求数列 通项公式； (2)若从数列 中依次取第 项，第 项，第 项， ，第 项， ，按原来的顺序组成 一个新的数列 ，求数列 的前 项和 ． 28. 已知 为等比数列， ， 】 ， 为等差数列 的前 项和， ， ． (1)求 和 的通项公式； (2)设 ，求 ． 29. 设 ， ， ， ， 是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在 直 轴的正半轴上，且都与 直线 直 相切，对每一个正整数 ，圆 都与圆 相互外切，以 表示 的半径， 已知 为递增数列． (1)证明： 为等比数列； (2)设 ，求数列 的前 项和． 30. 已知数列 与 满足： ， ， ，且 ． (1)求 ， 的值； (2)设 ， ，证明：数列 是等比数列； (3)设 为 的前 项和，证明 31. 设数列 的前 项和 ，数列 满足 log ． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ． 32. 已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 （ ），求 的前 项和 ． 33. 已知等比数列 的公比 公 ， 是 和 的一个等比中项， 和 的等差中项为 ，若数列 满足 log （ ）． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ． 34. 已知数列 中的相邻两项 是关于 直 的方程 直 直 쳌 的两 个根，且 ． (1)求 ， ， ， 】 及 （不必证明）； (2)求数列 的前 项和 ． 35. 已知数列 满足 ，求 的前 项和 ． 36. 已知等比数列 满足 ， 且公比 公 ， (1)求 的通项公式； (2)若 ，求 的前 项和 ． 37. 若函数 直 对任意 直 ，都有 直 直 ． (1) 쳌 ，数列 是等差数列吗？试证明你的结 论； (2)若 的前 项和为 ， 对一切 都成立，求 的取值范围． 38. 设函数 直 的定义域为 ，其图象关于点 成中心对称，令 ，其中 是常数且 ， ， ，求数列 的前 项的和． 39. 已知函数 直 log 直 直 直 直 是 直 图象上的两点，横坐标为 的点 满足 （ 为坐标原点）． (1)求证： 为定值； (2)若 ，其中 ，且 ，求 ； (3)已知 其中 ， 为数列 的前 项和，若 对一切 都成立，试求 的取值范围． 40. 设 直 直 直 直 是函数 直 log 直 直 的图象上的任意两点． (1)当 直 直 时，求 直 直 的值； (2)设 ，其中 ，求 ； (3)对于（2）中的 ，已知 ，其中 ，设 为数列 的前 项的和， 求证 ． 41. 等比数列 的各项均为正数，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 log log log ，求数列 的前 项和． 42. 设数列 是公比大于 的等比数列， 为其前 项和，已知 】 ，且 ， ， 构成等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)令 ln ， ，求 的前 项和 ． 43. 已知数列 的通项 ，求它的前 项和 ． 44. 设 为数列 的前 项和，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 ． 45. 已知数列 各项均为正数，其前 项和为 ，且满足 ． (1)求 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 的最小值． 46. 已知数列 的通项 为奇数 为偶数 求其前 쳌 项和 쳌 ． 47. 设数列 满足：① ；② 所有项 ；③ ．设集合 ，将集合 中的元素的最 大值记为 ，即 是数列 中满足不等式 的所有项的项数的最大值．我们称数列 为数列 的伴随数列．例如，数列 ， ， 的伴随数列为 ， ， ， ， ． (1)若数列 只有 项，其伴随数列为 ， ， ， ， ， ， ，请写出数列 ； (2)设 ，求数列 的伴随数列 的前 쳌 项之和； (3)若数列 的前 项和 （其中 常数），求数列 的伴随数列 的前 项和 ． 48. 已知等差数列 的第二项为 ，前 쳌 项和为 ． (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 通项满足 ，试求数列 的通项公式和前 项的和 ． 49. 已知数列 的前 项和 ，求 的值． 50. 求数列 的前 项和． 51. 已知等差数列 的前 项和 满足 ，且 ． (1)求数列 的通项公式； (2)求证： ． 52. 设数列 的前 项和为 ，且 ． (1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ； (3)设 log ，数列 满足： ，数列 的前 项和为 ，求使 쳌쳌 成立的最小整数． 53. 已知 直 直 直 直 ，且对任意 ，都有 ． (1)求数列 的通项； (2)求 ． 54. 已知函数 直 直 直 （ 쳌 ）的导函数 直 直 】 ，数列 的前 项和为 ， 点 （ ）均在函数 直 的图象上． (1)求数列 的通项公式及 的最大值； (2)令 ，其中 ，求 的前 项和． 55. 已知等差数列 ，公差为 ，求 直 直 直 直 直 ． 数列的求和-出门考 姓名 成绩 1. 已知数列 满足 ，则其前 项和 ． 2. 等差数列 的前 项和 ， ， 쳌 ，则 ． 3. 数列 的通项公式是 ，若前 项和为 쳌 ，则项数 为 ． 4. 已知数列 的通项公式 log ，其前 项之和为 ，则使 成立 的正整数 的最小值是 ． 5. 已知数列 的通项公式 ，则其前 项和 ． 6. 已知 ，则数列 ， ， ， ， ， 的 前 项和 ． 7. 在数列 中， ， ，且 ， ，则该数列的前 쳌 项 和 쳌 ． 8. 数列 的通项公式为 ，则 的前 项和 ． 9. 已知数列 的前 项和 】 ，那么 的值为 ． 10. 数列 的通项公式是 ，若它的前 项和为 쳌 ，则项数 为 ． 11. 设 ， 且 ， 则 ． 12. 等差数列 的前 项和为 ， ，则（1）常数 ，（2）数列 的前 쳌 项和为 ． 13. 求和： 】 ． 14. 数列 的前 项和 满足 ，若 ，则 ，数列 的前 项和 ． 15. 设直线 直 （ ）与两坐标轴围成的三角形的面积为 ，则 쳌 的值为 ． 16. 设数列 的前 项和为 ，对任意 满足 ，且 쳌 ．设 为奇数 为偶数 则数列 的前 项和 ． 17. 已知数列 满足： ， ，则 ；设 ， 数列 前 项的和为 ，则 쳌 ． 18. 已知 数字方阵 中， 是 的整数倍 不是 的整数倍 则 ． 19. 数列 ， ， ， ， 的前 项和为 ． 20. 数列 的前 项和 ，则 쳌 ． 21. 设等差数列 的公差为 ，且 ， ， 成等比数列，其中 表示数列 的前 项 和． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，数列 的前 项和为 ，求证： 22. 数列 的前 项和为 ，数列 是首项为 ，公差不为零的等差数列， 且 ， ， 成等比数列． (1)求 ， ， 的值； (2)求数列 与 的通项公式； (3)求证： ． 23. 设 为非零实数， C C C C ． (1)写出 ， ， 并判断 是否为等比数列．若是，给出证明；若不是，说明理由； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 24. 设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 直 的图象上． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ， 是数列 的前 项和，求使得 쳌 对所有 都成立的最 小正整数 ． 25. 设 直 直 ，定义 直 直 ， 쳌 쳌 （ ）． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ， （ ），试比较 与 的 大小，并说明理由． 26. 设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列，求和： C 쳌 C C ， 27. 已知数列 满足 ，且 쳌쳌 ． (1)求证：数列 是等差数列，并求通项 ； (2)若 쳌쳌 ，且 ，求 ． 28. 已知等差数列 满足： 】 ， 】 ．数列 的前 项和为 ． (1)求 及 ； (2)令 ，求数列 的前 项和 ． 29. 求数列 的前 项和 ． 30. 已知等差数列 为递增数列，且 是方程 直 直 】 쳌 的两根，数列 的 前 项和 ． (1)求数列 和 的通项公式； (2)若 ， 为数列 的前 项和，证明： ． 31. 求和： ． 32. 已知等差数列 的公差为 ，其前 项和 ． (1)求 的值及 ； (2)若 ，记数列 的前 项和为 ，求使 公 쳌 成立的最小正整数 的值． 33. 已知直线 ǣ 直 ，点 在直线 上， ， ； [ R ]． (1)求 的值； (2)求数列 的通项公式； (3)设 R ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 34. 在等差数列 中， ， 】 ． (1)求数列 的通项公式； (2)记数列 ，求数列 的前 项和为 ． 35. 数列 的前 项和为 ，且满足 ， ． (1)求 与 的关系式，并求 的通项公式； (2)求和 ； 36. 设数列 的首项 ，前 项和 满足关系式 公 쳌 ． (1)求证：数列 是等比数列； (2)设数列 的公比为 ，作数列 ，使 ， ，求数列 的通项公式； (3)数列 满足条件（2），求和： ． 37. 求数列 的前 项和． 38. 已知数列 的首项 ， ． ． (1)求证：数列 为等比数列； (2)若 쳌쳌 ，求最大的正整数 ． 39. 已知等差数列 的前 项和为 ， ， 쳌 쳌쳌 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和为 ． 40. 求和： 个 ． 41. 在数列 中， ， 且 ． (1)求 的值； (2)设 ，证明： 是等差数列； (3)求数列 的前 项和 ． 42. 将函数 直 sin 直 sin 直 π sin 直 π 在区间 쳌 内的全部极值点按从小 到大的顺序排成 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，求 的表达式． 43. 已知数列 满足： ，数列 的前 项和 ，求数列 的前 项和 ． 44. 已知等差数列 满足前 项的和为 ，前 项的和为 ． (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前 项和 ． 45. 设等比数列 的前 项和为 ，已知 N ． (1)求数列 的通项公式； (2)在 与 之间插入 个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，求证： N ．