数学理（A）卷·2018届北京四中高三第一次模拟考试（一模）仿真卷（2018

数学理（A）卷·2018届北京四中高三第一次模拟考试（一模）仿真卷（2018

‎2018届高三第一次模拟考试仿真卷 理科数学（A）‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．[2018·马鞍山一模]已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．[2018·承德期末]设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．[2018·亳州期末]下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．[2018·常德期末]将个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎5．[2018·汕头期末]如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎6．[2018·遵义一模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后入称之为三角形的欧拉线．已知的顶点，，，则的欧拉线方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．[2018·乌鲁木齐一模]执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）‎ A．4097 B．9217‎ C．9729 D．20481‎ ‎8．[2018·乌鲁木齐一模]已知函数（其中为常数，且，，）的部分图象如图所示，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．[2018·中山期末]已知实数，，，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．[2018·佛山一模]如图所示，在正方体中，分别为的中点，点是底面内一点，且平面，则的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．[2018·防城港一模]已知双曲线的左右焦点分别为，过点的直线交双曲线右支于两点，若是等腰三角形，．则的周长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．[2018·南允一模]已知函数，，若成立，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．[2018·赣州期末]已知向量，，若，则实数__________．‎ ‎14．[2018·福州质检]的内角的对边分别为，已知，，则的大小为__________．‎ ‎15．[2018·黄山一模]已知直线过点，若可行域 的外接圆直径为20，则_____．‎ ‎16．[2018·沙市中学] “求方程 的解”有如下解题思路：设，则在上单调递减，且，所以原方程有唯一解．类比上述解题思路，不等式的解集是__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．[2018·梅河口五中]已知数列的前项和，且，，成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18．[2018·四川联考]某单位鼓励员工参加健身运动，推广了一款手机软件，记录每人每天走路消耗的卡路里；软件的测评人员从员工中随机地选取了40人（男女各20人），记录他们某一天消耗的卡路里，并将数据整理如下：‎ ‎ ‎ ‎（1）已知某人一天的走路消耗卡路里超过180千卡被评测为“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题中数据完成下面的列联表，并据此判断能否有99%以上把握认为“评定类型”与“性别”有关？‎ ‎ ‎ ‎（2）若测评人员以这40位员工每日走路所消耗的卡路里的频率分布来估计其所有员工每日走路消耗卡路里的频率分布，现在测评人员从所有员工中任选2人，其中每日走路消耗卡路里不超过120千卡的有人，超过210千卡的有人，设，求的分布列及数学期望．‎ 附：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．[2018·长春一模]如图，已知，，，平面平面，，，为中点．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20．[2018·泰安期末]已知椭圆：经过点，焦距为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于不同的两点、，线段的垂直平分线交轴交于点，若，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎21．[2018·河西一模]已知函数．‎ ‎（1）若是函数的一个极值点，求实数的值．‎ ‎（2）设，当时，函数的图象恒不在直线的上方，求实数的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．[2018·皖西质检]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为，曲线的极坐标方程为；‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交点分别为，点，求的值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．[2018·湖北联考]已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若正实数满足，求证：．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2018届高三第一次模拟考试仿真卷 理科数学（A）答案 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．【答案】D ‎【解析】，，，，，的共轭复数在复平面内对应点坐标为，的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限，故选D．‎ ‎2．【答案】A ‎【解析】，故．‎ ‎3．【答案】C ‎【解析】令圆的半径为1，则，故选C．‎ ‎4．【答案】A ‎【解析】最左端排甲时，有种排法；最左端排乙时，有 种排法，所以共有种排法，选A．‎ ‎5．【答案】D ‎【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，‎ ‎ ‎ 故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同．‎ 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形，‎ 可得底面三角形外接圆的半径为，‎ 由棱柱高为4，可得，‎ 故外接球半径为，‎ 故外接球的体积为．选D．‎ ‎6．【答案】D ‎【解析】线段AB的中点为M（1，2），kAB=﹣2，‎ ‎∴线段AB的垂直平分线为：y﹣2=（x﹣1），即x﹣2y+3=0．‎ ‎∵AC=BC，∴△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上，‎ 因此△ABC的欧拉线的方程为：x﹣2y+3=0．故选：D．‎ ‎7．【答案】B ‎【解析】阅读流程图可知，该流程图的功能是计算：‎ ‎，‎ 则，‎ 以上两式作差可得：，‎ 则：．本题选择B选项．‎ ‎8．【答案】B ‎【解析】由函数图象可知：，函数的最小正周期：，‎ 则，当时，，‎ 令可得，函数的解析式：．‎ 由可得：，则：‎ ‎．‎ 本题选择B选项．‎ ‎9．【答案】B ‎【解析】∵，∴；‎ 又，∴，‎ ‎∴，即．选B．‎ ‎10．【答案】D ‎【解析】由题意可得，点位于过点且与平面平行的平面上，‎ 如图所示，取的中点，连结，‎ 由正方形的性质可知：，由为平行四边形可知，‎ 由面面平行的判定定理可得：平面平面，‎ 据此可得，点位于直线上，‎ 如图所示，由平面可得，‎ 则，当有最大值时，取得最小值，‎ 即点是的中点时满足题意，结合正方体的性质可得此时的值是．本题选择D选项．‎ ‎ ‎ ‎11．【答案】C ‎【解析】双曲线的焦点在轴上，则；‎ 设，由双曲线的定义可知：，‎ 由题意可得：，‎ 据此可得：，又，‎ 由正弦定理有：，‎ 则，即：，解得：，‎ 则△ABF1的周长为：．‎ 本题选择C选项．‎ ‎12．【答案】A ‎【解析】设，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ 令，‎ 则，，‎ 在上为增函数，且，‎ 当时，，当时，，‎ 在上为减函数，在上为增函数，‎ 当时，取得最小值，‎ 此时，即的最小值为，故选A．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．【答案】‎ ‎【解析】由题意，，则．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【解析】由，根据正弦定理得，即，，，又，，，故答案为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【解析】由题意知可行域为图中△OAB及其内部，解得，又，则∠AOB=30°，由正弦定理得，解得．故答案为：．‎ ‎ ‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，‎ x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；‎ 令u=x2，v=x+2，‎ 则x6+x2＞（x+2）3+（x+2）⇔u3+u＞v3+v；‎ 考查函数f（x）=x3+x，知f（x）在R上为增函数，‎ ‎∴f（u）＞f（v），∴u＞v；‎ 不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；‎ ‎∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：60分，每个试题12分．‎ ‎17．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ 当时，，也满足，故，‎ ‎∵成等比数列，∴，‎ ‎∴．∴．‎ ‎（2）由（1）可得，‎ ‎∴．‎ ‎18．【答案】（1）有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关；（2）．‎ ‎【解析】（1）由题意完成2×2列联表如下：‎ 积极型 懈怠型 总计 男 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 女 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 则，故有99％以上把握认为“评定类型”与“性别”有关．‎ ‎（2）任选一人，由题知：每日走路消耗卡路里不超过120千卡的概率为，超过210千卡的概率为，‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P 则数学期望为：．‎ ‎19．【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1）证明：设中点为，连，‎ ‎∵为中点，∴，‎ 又由题意， ∴，且，‎ ‎∴四边形为平等四边形，∴，‎ ‎∵ ∴，‎ 又∵平面平面，平面平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ 又平面，∴，∴，‎ 又，∴，∴，‎ ‎∵，平面，平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（2）以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴，建立如图所示坐标系，，，，，‎ 设平面的法向量，则，‎ ‎∴取，，‎ ‎，∴ ，‎ 设直线与平面所成角为，则，∴，‎ 即直线与平面所成角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎20．【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】（1）由题意得，所以，‎ 又点在椭圆上，所以：，‎ 整理得：，解得：或（舍），∴，‎ ‎∴椭圆的标准方程为：．‎ ‎（2）设，线段中点坐标，‎ 由整理得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴线段的中点坐标为 又 ，‎ ‎∴，‎ 又，∴，‎ ‎∴点坐标为，‎ ‎∴ ，‎ ‎∵垂直平分，‎ ‎∴，‎ 又，‎ 解得或（舍），‎ ‎∴在中， ，‎ ‎∴，∴，∴或．‎ ‎21．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由可得：‎ ‎，‎ ‎∵是函数的一个极值点，∴，‎ ‎∴，计算得出．‎ 代入，‎ 当时，；当时，，‎ ‎∴是的极值点．∴．‎ ‎（2）当时，函数的图象恒不在直线上方，‎ 等价于，恒成立，‎ 即，恒成立，‎ 由（）知，，‎ 令，得，，‎ ‎①当时，，‎ ‎∴在单调减，‎ ‎，与矛盾，舍去．‎ ‎②当时，，‎ 在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在或处取到，‎ ‎，，‎ ‎∴只要，‎ 计算得出．‎ ‎③当时，，‎ 在上单调增，，符合题意，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ ‎（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）‎ ‎22．【答案】（1），曲线；（2）．‎ ‎【解析】（1），曲线；‎ ‎（2）将（为参数）代入曲线C的方程，得，‎ ‎，．‎ ‎23．【答案】（1）2；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）当且仅当时，等式成立．‎ ‎（2）则，当且仅当时取，等号成立．‎