数学（理）卷·2019届四川省棠湖中学高二下学期开学考试（2018-03）

数学（理）卷·2019届四川省棠湖中学高二下学期开学考试（2018-03）

‎2018年春期四川省棠湖中学高二年级开学考试 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.抛物线的准线方程是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.从某中学甲班随机抽取9名男同学测量他们的体重(单位：kg)，获得体重数据如茎叶图所示，对这些数据，以下说法正确的是 ‎ A.中位数为62 B.中位数为65 C.众数为62 D.众数为64‎ ‎3.命题“，”的否定是 ‎ A.不存在， B.，‎ C.， D.，‎ ‎4.容量为100的样本，其数据分布在，将样本数据分为4组：，，，，得到频率分布直方图如图所示.则下列说法不正确的是 ‎ A.样本数据分布在的频率为 B.样本数据分布在的频数为40‎ C.样本数据分布在的频数为40 D.估计总体数据大约有分布在 ‎5.已知椭圆()的左焦点为F1(－4,0)，则m等于 ‎ A. 9 B.4 C.3 D.2‎ ‎6．若AB是过椭圆 +=1中心的弦，F1为椭圆的焦点，则△F1AB面积的最大值为 ‎ A．6 B．12 C．24 D．48‎ ‎7．设抛物线y2＝4x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线与抛物线有公共点，则直线的斜率的取值范围是 ‎ A. B. [－2,2] C. [－1,1] D. [－4,4]‎ ‎8.“”是“为椭圆方程”是 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎9.设点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎10.在平面内，已知两定点，间的距离为2，动点满足，若，则的面积为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知椭圆：与双曲线：有相同的右焦点，点是椭圆和双曲线的一个公共点，若，则椭圆的离心率为 ‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上.若点满足且，则的最小值为 A. B.3 C. D.1‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若直线为双曲线的一条渐近线，则____________.‎ ‎14.某学校共有师生3600人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取容量为200的样本，已知从学生中抽取的人数为180，那么该学校的教师人数为____________.‎ ‎15．已知抛物线的焦点，点，则曲线上的动点到点与点的距离之和的最小值为 ．‎ ‎16.点是抛物线：与双曲线： 的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ 已知命题，”；命题“，”，若命题“”是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ ‎ 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：‎ 日 期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差x（°C）‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 就诊人数y（个）‎ ‎22‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎12‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．‎ ‎（I）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；‎ ‎(II)若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出关于的线性回归方程；‎ ‎（III）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问（2）中所得线性回归方程是否理想?‎ 参考公式：， ‎ ‎19、（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD.E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.‎ ‎（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；‎ ‎(II)若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题满分12分） ‎ 已知圆心在直线上，且与直线相切于点.‎ ‎（I）求圆的方程；‎ ‎(II)直线与该圆相交于两点，若点在圆上，且有向量（为坐标原点），求实数.‎ ‎21.（本小题满分12分） ‎ 已知抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，直线经过抛物线的焦点.‎ ‎（I）求抛物线的标准方程；‎ ‎(II)若不经过坐标原点的直线与抛物线相交于不同的两点，，且满足，证明直线过轴上一定点，并求出点的坐标.‎ ‎22.（本小题满分12分） ‎ 已知椭圆：的两个焦点分别为，，且点在椭圆上.‎ ‎（I）求椭圆的标准方程； ‎ ‎(II)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆相交于异于的不同两点，求的面积的最大值.‎ ‎2018年春期四川省棠湖中学高二年级开学考试 数学(理科)参考答案 一． 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 选项 A C D D C B 题号 ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 C D B B B A 二． 填空题 13. ‎ 14.360 15.2 16.‎ ‎17.解：因为“且”是真命题，所以为真命题，也为真命题……..1分 命题“对任意的,” ，当时，，对任意成立，所以…………5分 命题“存在，”，根据二次函数性质得，，解得或……9分 综上，的取值范围为或………10分 ‎18.解：（1）设抽到相邻两个月的数据为事件A．因为从6组数据中选取2组数据共有15种情况，每种情况都是等可能出现的其中，抽到相邻两个月份的数据的情况有5种，所以．……..4分 ‎（2）由数据求得，由公式求得，再由．‎ 所以y关于x的线性回归方程为……8分 ‎（3）当x=10时，；同样，当x=6时，，‎ 所以该小组所得线性回归方程是理想的． …12分 ‎19.解（Ⅰ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行.‎ 延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点.理由如下：‎ 由已知，BC∥ED，且BC=ED.所以四边形BCDE是平行四边形. ‎ 从而CM∥EB.又EB平面PBE，CM平面PBE，‎ 所以CM∥平面PBE.‎ ‎（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，‎ 所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.‎ 所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45°.‎ 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.‎ 易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.‎ 于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.‎ 过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.‎ 所以APH是PA与平面PCE所成的角.‎ 在Rt△AEH中，AEH=45°，AE=1，‎ 所以AH=.在Rt△PAH中，PH== ，所以sinAPH= =.‎ 方法二：‎ 由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.‎ 从而PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以PDA=45°.‎ 由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD. 设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.‎ 作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，‎ 所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）‎ 设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，‎ 由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).‎ 设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .‎ 所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .‎ ‎20. 解：（I）设圆的方程为 因为直线相切，圆心到直线的距离错误！未找到引用源。，且圆心与切点连线与直线l垂直错误！未找到引用源。可得a=0，r=错误！未找到引用源。，所以圆的方程为：错误！未找到引用源。‎ ‎(II)直线与圆联立： 错误！未找到引用源。，得： ‎ 错误！未找到引用源。，‎ Δ=错误！未找到引用源。,解得错误！未找到引用源。.‎ 设A(错误！未找到引用源。) B错误！未找到引用源。，,‎ M错误！未指定书签。代入圆方程：‎ 错误！未指定书签。，求得k=错误！未指定书签。‎ ‎21.解：(1)由已知，设抛物线的标准方程为，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴抛物线的标准方程是.‎ ‎(2)由题意，直线不与轴垂直，设直线的方程为，‎ ‎，，‎ 联立，消去，得.‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，∴，‎ 又，，∴.‎ ‎∴，解得或.‎ 而，∴(此时)‎ ‎∴直线的方程为，故直线过定点.‎ ‎22. 解：（1）由题意，焦距，‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆：‎ 又椭圆经过点，∴，‎ 解得或（舍去）‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）由（1），得点 由题意，直线的斜率不等于0，设直线的方程为，.‎ 联立消去，得.‎ ‎∴，，，‎ ‎∵，‎ 化简，得 又点到直线的距离为，‎ ‎∴的面积 令，‎ 则 而函数在时单调递增，‎ ‎∴在时单调递减，‎ ‎∴当即时，的面积有最大值. ‎