2019-2020学年河北省石家庄二中高一4月月考数学试题(解析版)

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2019-2020学年河北省石家庄二中高一4月月考数学试题(解析版)

石家庄二中2019-2020学年第二学期高一年级4月月考自主测试高一数学(‎4月6日)‎ 一、单选题(每小题5分,共计12个小题)‎ ‎1.已知中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.在中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若,则( )‎ A.30° B.60° C.120° D.150°‎ ‎3.在等差数列中,已知,则该数列前9项和( )‎ A.18 B.‎27 ‎C.36 D.45‎ ‎4.已知数列的奇数项依次成等差数列,偶数项依次成等比数列,且,,,,则( )‎ A. B.‎19 ‎C.20 D.23‎ ‎5.已知向量,,且,则的最小值是( )‎ A.7 B.‎8 ‎C.9 D.10‎ ‎6. 在空间中,下列命题正确的是( )‎ A.如果一个角的两边和另一角的两边分别平行,那么这两个角相等 B.两条异面直线所成的角的范围是 C.如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行 D.如果一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行 ‎7.如图,在正四面体中,是的中点,则与所成角的余弦值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8. 如图,在正方体中, 分别为的中点,点是底面内一点,且平面,则的最大值是( )‎ A. B.‎2 ‎C. D.‎ ‎9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎10.如图,在正三棱柱中,,,,分别是棱,的中点,为棱上的动点,则的周长的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知正方体的棱的中点为, 与交于点,平面过点且与直线垂直,若,则平面截该正方体所得截面图形的面积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.在棱长为的正方体中,点分别是线段(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(每小题5分,共计4个小题)‎ ‎13.已知,,且,则的最大值为_________‎ ‎14.已知数列满足,则__________.‎ ‎15.如图,在正方体中,分别为棱的中点,则与平面所成角的余弦值为______.‎ ‎16.如图,M、N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD的中点,将正方形沿对角线AC折起,使点D不在平面ABC内,则在翻折过程中,有以下结论:‎ ‎①异面直线AC与BD所成的角为定值.‎ ‎②存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直.‎ ‎③存在某个位置,使得直线MN与平面ABC所成的角为45°.‎ ‎④三棱锥M-ACN体积的最大值为.‎ 以上所有正确结论的序号是__________.‎ 三、解答题 ‎17.(本题10分)的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求角;‎ ‎(2)若,的周长为,求的面积.‎ ‎18.(本题10分)已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.‎ ‎(1)求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.‎ ‎19.(本题10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B‎1C1中,D,E,F分别是B‎1C1,AB,AA1的中点.‎ ‎(1) 求证:EF∥平面A1BD;‎ ‎(2) 若A1B1=A‎1C1,求证:平面A1BD⊥平面BB‎1C1C. ‎ ‎20.(本题10分)如图,四边形为正方形, 平面, ,点, 分别为, 的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明: ;‎ ‎(Ⅱ)求点到平面的距离.‎ 高一数学4月月考自主测试(‎4月6日)‎ 参考答案 ‎1.A 由正弦定理,可得.‎ ‎2.C 由已知及余弦定理,得,所以.‎ ‎3.D 在等差数列中,,所以.‎ ‎4.D 设奇数项的公差为,偶数项的公比为,‎ 由,,得,,‎ 解得,,所以,故选D.‎ ‎5.C 因为,且向量,,所以,‎ 所以,当且仅当时,取等号.‎ ‎6. C 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,这两个角相等或互补,故A不正确; 两条异面直线所成的角不能是零度,故B不正确;根据两个平面平行的性质定理知C正确; 如果一条直线和一个平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行或在这个平面内,故D不正确,综上可知只有C的说法是正确的,故选C.‎ ‎7. B 解:如图: ,‎ 取的中点,连接,,可得就是与所成的角,‎ 设,则,,‎ ‎,‎ ‎8. C 如图,取分别为与的中点,连接,设与的交点为,则平面平面,因为平面,点在线段上运动,,‎ 如果正方体的棱长为,要使取得最大值,最小,只需即可 此时点与点重合,,故选C.‎ ‎9.C 由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等,如图所示 ‎ ‎ 该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥.‎ 所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球,球的直径为正方体体对角线的长.‎ 即.所以外接球的表面积为.‎ ‎10.D 三棱柱为正三棱柱 为等边三角形且平面 平面 ‎ 把底面与侧面在同一平面展开,如下图所示:‎ 当三点共线时,取得最小值又,,‎ 周长的最小值为:‎ ‎11.A 如图所示,正方体中,为棱的中点,‎ ‎,则,,,‎ ‎,;又平面,‎ ‎,且,平面,且,‎ 即截该正方体所得截面图形的面积为.故选:.‎ ‎12.A 由题意在棱长为的正方体中,点分别是线段上的动点,‎ ‎ 且线段平行于平面, 设,即到平面的距离为, 所以四棱锥的体积为, 当时,体积取得最大值,故选A.‎ ‎ ‎ ‎13.‎ ‎∵,,∴,即,当且仅当,即时等号成立.‎ ‎14.‎ 因为所以又 所以数列为以 为首项,1为公差的等差数列。‎ 所以所以 ‎15.‎ 解:连结,则平面即为平面,过作于,则平面,即为与平面所成的角,设正方体棱长为2,则,. ‎ ‎16..①③④‎ 设中点,连接,,正方形,,,‎ 所以,,平面,,‎ 所以平面,而平面,所以,‎ 即异面直线与所成的角为定值.故①正确. ‎ 若,而,平面,‎ 所以平面,而平面,所以,‎ 而中,,所以不可能为直角,故假设错误,‎ 所以②错误.因为、分别是、的中点,所以,‎ 所以与平面所成的角等于与平面所成的角,‎ 在平面的射影在上,所以是与平面所成的角,‎ 而,所以一定存在某个位置满足,‎ 即存在某个位置,使得直线MN与平面所成的角为45°.故③正确;‎ ‎,底面,所以当平面平面时,到平面的距离最大,此时三棱锥的体积最大,,‎ 所以此时,‎ 故④正确.‎ ‎17.‎ ‎(1)由正弦定理可得:‎ 即:‎ ‎ ,由得:..................5分 ‎(2),的周长为 ‎ 由余弦定理可得:‎ 的面积:........................10分 ‎18.‎ ‎ (1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,q>0‎ 依题意得解得d=1,q=2.‎ 所以an=1+(n-1)×1=n,bn=1×2n-1=2n-1.....................................4分 ‎(2)由(1)知cn=anbn=n·2n-1,则 Tn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①‎ ‎2Tn=2·20+2·22+…+(n-1)·2n-1+n·2n,②‎ ‎①-②得:-Tn=1+21+22+…+2n-1-n·2n ‎=-n·2n=(1-n)·2n-1,‎ 所以Tn=(n-1)·2n+1.......................................................................10分 ‎19.‎ 因为E,F分别是AB,AA1的中点,‎ 所以EF∥A1B ‎ 因为EF⊄平面A1BD,A1B⊂平面A1BD,‎ 所以EF∥平面A1BD.............................. ......................... ......................... ............................4分 ‎(2)在直三棱柱ABCA1B‎1C1中,BB1⊥平面A1B‎1C1,‎ 因为A1D⊂平面A1B‎1C1,所以BB1⊥A1D. ‎ 因为A1B1=A‎1C1,且D是B‎1C1的中点,‎ 所以A1D⊥B1C1. ......................... ................... ............... ............... ............... ....................6分 因为BB1B1C1=B1,B1C1⊂平面BB1C1C,BB1⊂平面BB1C1C,‎ 所以A1D⊥平面BB‎1C1C. ........................ ............................................ ................. ............8分 因为A1D⊂平面A1BD,‎ 所以平面A1BD⊥平面BB‎1C1C............................ ............... ............... ..............................10分 ‎20.(Ⅰ)‎ 证明:取的中点,连接, ,‎ 则,且,‎ ‎∵且,‎ ‎∴且,‎ ‎∴四边形为平行四边形,‎ ‎∴中,,G为的中点,‎ ‎∴, ‎ ‎∴ ...........................................................5分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面,‎ 所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的,‎ 故转化为求点到平面的距离,设为.‎ 利用等体积法: ,‎ 即, ‎ ‎,‎ ‎∵, ‎ ‎∴,∴.......................................10分
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