2021高考数学大一轮复习单元质检十一计数原理理新人教A版

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单元质检十一　计数原理 ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第22页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)‎ ‎1.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有(　　)‎ A.16种 B.18种 C.22种 D.37种 答案:A 解析:从6个盒子中选出3个来装东西,有C‎6‎‎3‎=20(种)方法,甲、乙都未被选中的情况有C‎4‎‎3‎=4(种)方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16(种),故选A.‎ ‎2.若x‎2‎‎-‎‎1‎xn展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x2的系数为(　　)‎ A.-21 B.-35 C.35 D.21‎ 答案:C 解析:由已知得2n=128,n=7,所以Tr+1=C‎7‎rx2(7-r)·‎-‎‎1‎xr‎=‎C‎7‎r(-1)rx14-3r,令14-3r=2,得r=4,所以展开式中x2的系数为C‎7‎‎4‎(-1)4=35,故选C.‎ ‎3.(2019广东惠州调研)旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小明可选的旅游路线数为(　　)‎ A.24 B.18‎ C.16 D.10‎ 答案:D 解析:分两种情况,第一种:最后体验甲景区,则有A‎3‎‎3‎种可选的路线;第二种:不在最后体验甲景区,则有C‎2‎‎1‎‎·‎A‎2‎‎2‎种可选的路线.所以小李可选的旅游路线数为A‎3‎‎3‎‎+C‎2‎‎1‎·‎A‎2‎‎2‎=10.‎ ‎4.x‎2‎‎-‎‎1‎x‎6‎的展开式中常数项等于(　　)‎ A.15 B.10‎ 5‎ C.-15 D.-10‎ 答案:A 解析:x‎2‎‎-‎‎1‎x‎6‎的展开式的通项公式为Tr+1=C‎6‎r·(-1)r·x12-3r.令12-3r=0,解得r=4,故常数项为C‎6‎‎4‎=15.‎ ‎5.甲、乙、丙3名同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,若甲同学不值周一的班,则可以排出的不同值班表有(　　)‎ A.90种 B.89种 C.60种 D.59种 答案:C 解析:特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考虑甲,分步完成:①从除周一外的5天中任取2天安排甲,有C‎5‎‎2‎种;②从剩下的4天中选2天安排乙,有C‎4‎‎2‎种;③仅剩2天安排丙,有C‎2‎‎2‎种.由分步乘法计数原理,可得一共有C‎5‎‎2‎‎·C‎4‎‎2‎·‎C‎2‎‎2‎=60(种).‎ ‎6.5名大学生分配到三个村庄任职,每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为(　　)‎ A.14 B.35 C.70 D.100‎ 答案:C 解析:由题意可知分两步,第一步,甲村庄恰有一名大学生有5种分法;第二步,另外四名大学生分为两组,共有C‎4‎‎1‎C‎3‎‎3‎‎+‎C‎4‎‎2‎A‎2‎‎2‎=7(种),再分配到两个村庄,有7×A‎2‎‎2‎=14(种)不同的分法;故每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为5×14=70.‎ ‎7.若x+‎‎1‎xn的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中‎1‎x‎2‎的系数为(　　)‎ A.56 B.51 C.87 D.78‎ 答案:A 解析:由题意可得,Cn‎2‎‎=‎Cn‎6‎,解得n=8,‎ 故展开式的通项为Tr+1=C‎8‎rx8-r·‎1‎xr‎=‎C‎8‎rx8-2r.‎ 令8-2r=-2,可得r=5.‎ 5‎ 故‎1‎x‎2‎的系数为C‎8‎‎5‎=56.‎ ‎8.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,则a6等于(　　)‎ A.112 B.28 C.-28 D.-112‎ 答案:A 解析:∵(x-1)8=[(x+1)-2]8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a8(1+x)8,∴a6=C‎8‎‎2‎(-2)2=4C‎8‎‎2‎=112.‎ ‎9.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为(　　)‎ A.72 B.120 C.192 D.240‎ 答案:D 解析:由题意,末尾是2或6,不同的偶数个数为C‎2‎‎1‎A‎5‎‎3‎=120;末尾是4,不同的偶数个数为A‎5‎‎5‎=120,故共有120+120=240(个),故选D.‎ ‎10.已知a=2π‎0‎cosx+‎π‎6‎dx,则二项式x‎2‎‎+‎ax‎5‎的展开式中x的系数为(　　)‎ A.10 B.-10 C.80 D.-80‎ 答案:D 解析:a=2π‎0‎cosx+‎π‎6‎dx=2sinx+‎π‎6‎‎|‎π‎0‎=-2,‎ 则x‎2‎‎+‎ax‎5‎‎=‎x‎2‎‎-‎‎2‎x‎5‎,‎ 故Tr+1=C‎5‎rx2(5-r)‎-‎‎2‎xr=(-2)rC‎5‎rx10-3r.‎ 令10-3r=1,得r=3.‎ 故展开式中x的系数为(-2)3C‎5‎‎3‎=-80.‎ ‎11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(　　)‎ A.72 B.120 C.144 D.168‎ 答案:B 解析:由题意可知分两步,‎ 第一步,先将3个歌舞类节目全排列,有A‎3‎‎3‎=6(种)情况,排好后,有4个空位,‎ 5‎ 第二步,因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目,‎ 分2种情况讨论:①将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C‎2‎‎1‎A‎2‎‎2‎=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,‎ 此时同类节目不相邻的排法种数是6×4×2=48(种);‎ ‎②将中间2个空位安排2个小品类节目,有A‎2‎‎2‎=2(种)情况,‎ 排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,‎ 此时同类节目不相邻的排法种数是6×2×6=72;‎ 故同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选B.‎ ‎12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,则不同的染色方案共有(　　)种.‎ A.14 400 B.28 800‎ C.38 880 D.43 200‎ 答案:C 解析:从点P出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A‎6‎‎4‎=360(种)不同的方案,‎ 接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数:‎ ‎①不使用新的颜色,有2种染色分类方案.‎ ‎②使用1种新的颜色,分为2类:‎ 第一类,染一条边,有2×4×4=32(种)方案;‎ 第二类,染两条对边,有2×2×4=16(种)方案.‎ ‎③使用2种新的颜色,分为4类:‎ 第一类,染两条邻边,有4×2×3=24(种)方案;‎ 第二类,染两条对边,有2×2×4=16(种)方案;‎ 第三类,染三条边,有4×2×2=16(种)方案;‎ 第四类,染四条边,有2种方案.‎ 因此不同的染色方案种数为360×[2+(32+16)+(24+16+16+2)]=38880,故选C.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)‎ 5‎ ‎13.x-2+‎‎1‎x‎4‎展开式中的常数项为　　　　　. ‎ 答案:70‎ 解析:二项式x-2+‎‎1‎x‎4‎可化为x‎2‎‎-2x+1‎x‎4‎‎=‎‎(x-1‎‎)‎‎8‎x‎4‎,可知常数项为分子中含x4的项,为C‎8‎‎4‎x4,故常数项为C‎8‎‎4‎=70.‎ ‎14.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成　　　　　个没有重复数字的四位数.(用数字作答) ‎ 答案:1 260‎ 解析:若不取0,则有C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎A‎4‎‎4‎个;若取0,则有C‎5‎‎2‎C‎3‎‎1‎A‎3‎‎1‎A‎3‎‎3‎个,‎ 因此一共有C‎5‎‎2‎C‎3‎‎2‎A‎4‎‎4‎‎+‎C‎5‎‎2‎C‎3‎‎1‎A‎3‎‎1‎A‎3‎‎3‎=1260(个)没有重复数字的四位数.‎ ‎15.已知x‎3‎‎+‎‎2‎xn的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为　　　　　. ‎ 答案:40‎ 解析:由题意,得二项式x‎3‎‎+‎‎2‎xn的展开式中各项系数和为243,‎ 令x=1,则3n=243,解得n=5,‎ 所以二项式x‎3‎‎+‎‎2‎x‎5‎的展开式的通项为Tr+1=C‎5‎r(x3)5-r‎2‎xr=2rC‎5‎rx15-4r,‎ 令r=2,则T3=22C‎5‎‎2‎x15-4×2=40x7,即x7的系数为40.‎ ‎16.(2019河北衡水中学下学期高三大联考2)已知甲、乙、丙、丁4人同时到5个不同的地区参加扶贫活动,若每个地区最多有2人参加(2人到同一个地区,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙、丁4人参加扶贫活动的不同安排方式总数是　　　　　. ‎ 答案:540‎ 解析:分情况讨论:第一类,4个人去4个地方,有A‎5‎‎4‎=120(种)安排方式;第二类,4个人去2个地区,有‎1‎‎2‎C‎4‎‎2‎A‎5‎‎2‎=60(种)安排方式;第三类,4个人去3个地区,有C‎4‎‎2‎A‎5‎‎3‎=360(种)安排方式.因此,符合题意的安排方式共有120+60+360=540(种).‎ 5‎