上海市金山中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷【解析版】

上海市金山中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷【解析版】

上海市金山中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷 一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．（3分）已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．‎ ‎2．（3分）化简：=．‎ ‎3．（3分）三阶行列式的第3行第2列元素的代数余子式的值为．‎ ‎4．（3分）已知=（，﹣1），=（1，），则向量在方向上的投影为．‎ ‎5．（3分）已知直角坐标平面内的两个向量=（1，3），=（m，2m﹣3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成=+μ，则m的取值范围是．‎ ‎6．（3分）在等差数列{an}中，S10=140，其中奇数项之和为125，则a6=．‎ ‎7．（3分）下列命题中：‎ ‎（1）或；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）对任意向量，，都成立； ‎ ‎（5）对任意向量，，有（+）•（﹣）=（||+||）（||﹣||）．‎ 写出其中所有正确命题的序号．‎ ‎8．（3分）已知的单位向量为=（﹣，），若的起点坐标为（1，﹣2），模为4，则的终点坐标是．‎ ‎9．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为．‎ ‎[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎10．（3分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是．‎ ‎11．（3分）设函数f（x）=x（）x+，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量与向量=（1，0）的夹角为θn，则满足的最大整数n的值为．‎ ‎12．（3分）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=，y=．‎ 二、选择题（每题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）若=，则关于向量、、所组成的图形，以下结论正确的是（）‎ ‎ A． 一定可以构成一个三角形 ‎ B． 一定不可能构成一个三角形 ‎ C． 都是非零向量时不能构成一个三角形 ‎ D． 都是非零向量时可能构成一个三角形 ‎14．（3分）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）‎ ‎ A． B． 2 C． D． 4‎ ‎15．（3分）设数列{an}的前n项和Sn=n2，如果Pn=，则的值为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎16．（3分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）‎ ‎ A． A＞0，V=S﹣T B． A＜0，V=S﹣T C． A＞0，V=S+T D． A＜0，V=S+T 三、解答题（8分+8分+10分+12分+14分=52分）‎ ‎17．（8分）设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使，若=，试用、将表示出来．‎ ‎18．（8分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，﹣3）为△OAB的直角顶点，已知|，求向量的坐标与点B的坐标．‎ ‎19．（10分）平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．‎ ‎（1）当•取最小值时，求的坐标；‎ ‎（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2an﹣2n（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=，Tn为数列{bn}的前项n和，求Tn的值；‎ ‎（3）数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t）成等差数列？若存在．请求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由．‎ ‎21．（14分）已知，分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，=，=10，且=3（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上从下到上有点Bi（i=1，2，3，…），=，且=2（n=2，3，4，…）．‎ ‎（1）求A4A5； ‎ ‎（2）求与的表达式；‎ ‎（3）求四边形AnAn+1Bn+1Bn（n=1，2，3，4，…）面积的最大值．‎ 上海市金山中学2014-2015学年高二上学期第一次段考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）‎ ‎1．（3分）已知线性方程组的增广矩阵为，则其对应的方程组为．‎ 考点： 二阶矩阵． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 首先应理解线性方程组增广矩阵的涵义，由增广矩阵即可直接写出原二元线性方程组．‎ 解答： 解：由二元线性方程组的增广矩阵为，‎ 可得到线性方程组的表达式：．‎ 故答案为：．‎ 点评： 此题主要考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，计算量小，属于较容易的题型．‎ ‎2．（3分）化简：=﹣cos2θ．‎ 考点： 三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵． ‎ 专题： 三角函数的图像与性质；矩阵和变换．‎ 分析： 首先求出二阶矩阵的结果，然后再对函数进行三角变换求出结果．‎ 解答： 解：根据矩阵的变换公式：原式=sin2θ﹣cos2θ=﹣cos2θ 故答案为：﹣cos2θ 点评： 本题考查的知识点：二阶矩阵的运算，三角函数的恒等变换．‎ ‎3．（3分）三阶行列式的第3行第2列元素的代数余子式的值为14．‎ 考点： 三阶矩阵． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据余子式的定义可知，在行列式中划去第3行第2列后所余下的2阶行列式为第3行第2列元素的代数余子式，求出值即可．‎ 解答： 解：由题意得第3行第2列元素的代数余子式 M32=﹣=﹣2×7+3×0=﹣14‎ 故答案为：﹣14‎ 点评： 此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．‎ ‎4．（3分）已知=（，﹣1），=（1，），则向量在方向上的投影为．[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据平面向量投影的定义，求出在方向上的投影即可．‎ 解答： 解：∵=（，﹣1），=（1，），‎ ‎∴在方向上的投影为 ‎||cos＜，＞=||×‎ ‎=‎ ‎=[来源:学科网]‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了平面向量投影的应用问题，解题时应根据向量投影的定义进行计算即可，是基础题．‎ ‎5．（3分）已知直角坐标平面内的两个向量=（1，3），=（m，2m﹣3），使得平面内的任意一个向量都可以唯一的表示成=+μ，则m的取值范围是m∈R且m≠﹣3．‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 根据平面向量的基本定理知基底向量不共线，由向量共线的坐标表示求出m的范围．‎ 解答： 解：根据平面向量的基本定理知，与不共线，‎ 即2m﹣3﹣3m≠0，解得m≠﹣3，m的取值范围是m∈R且m≠﹣3．‎ 故答案为：m∈R且m≠﹣3．‎ 点评： 本题考查了平面向量的基本定理内容，利用向量共线的坐标表示进行求解，是对基础知识的考查．‎ ‎6．（3分）在等差数列{an}中，S10=140，其中奇数项之和为125，则a6=3．‎ 考点： 等差数列的性质． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 可设奇、偶数项和分别为S奇，S偶，可得S偶=15，又S偶=5a6，解之可得．‎ 解答： 解：可设奇数项和为S奇，偶数项和为S偶，‎ 由题意可得S奇+S偶=140，‎ 故S偶=140﹣125=15‎ 又可得S偶===5a6=15，‎ 解之可得a6=3‎ 故答案为：3‎ 点评： 本题考查等差数列的性质和求和公式的应用，属中档题．‎ ‎7．（3分）下列命题中：‎ ‎（1）或；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；‎ ‎（4）对任意向量，，都成立； ‎ ‎（5）对任意向量，，有（+）•（﹣）=（||+||）（||﹣||）．‎ 写出其中所有正确命题的序号（5）．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据平面向量的数量积运算性质，对每一个算式进行分析、判断，从而得出正确的结论．‎ 解答： 解：对于（1），•=0时，=，或，或⊥，∴（1）错误；‎ 对于（2），•=•，=，∴（2）错误；‎ 对于（3），==，∴（3）错误；‎ 对于（4），∵•、•是实数，∴对任意向量，，都成立是错误的； ‎ 对应（5），对任意向量，，有（+）•（﹣）=﹣=﹣，‎ ‎（||+||）（||﹣||）=﹣，∴二者相等，（5）正确．‎ 综上，正确的命题是（5）．‎ 故答案为：（5）．‎ 点评： 本题考查了平面向量的数量积的运算与性质的应用问题，解题时应对每一个算式进行分析，以便得出正确的结论，是基础题．‎ ‎8．（3分）已知的单位向量为=（﹣，），若的起点坐标为（1，﹣2），模为4，则的终点坐标是．‎ 考点： 平面向量的坐标运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 设的终点坐标是（x，y），可得=（x﹣1，y+2）．利用=即可得出．‎ 解答： 解：设的终点坐标是（x，y），‎ ‎∵的起点坐标为（1，﹣2），‎ ‎∴=（x，y）﹣（1，﹣2）=（x﹣1，y+2）．‎ ‎∵的单位向量为=（﹣，），模为4，‎ ‎∴==，‎ ‎∴x﹣1==﹣6，y+2==2．‎ 解得x=﹣5，y=﹣2+2．‎ ‎∴的终点坐标为：．‎ 故答案为：．‎ 点评： 本题考查了向量的坐标运算、单位向量的计算公式，属于基础题．‎ ‎9．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为BC的中点，若F为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为．‎ ‎[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ 考点： 向量在几何中的应用． ‎ 专题： 计算题；数形结合；转化思想．‎ 分析： 先设出点A以及点F的坐标，求出其它各点的坐标，并利用点的坐标表示出，把所求问题转化为在平面区域内求线性目标函数的最值问题求解即可．‎ 解答： 解；可设点A（0，0），则B（1，0），C（1，1），D（0，1），E（1，），‎ 设F（x，y），则，对应的平面区域如图：‎ 因为=（1，），=（x，y）．‎ 所以=x+y．‎ 借助于图象得当x+y过点C（1，1）时取最大值，此时x+y=．‎ 故答案为．‎ 点评： 本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用和转化思想的应用，是对基础知识和基本思想的考查，属于基础题．‎ ‎10．（3分）已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是（5，7）．‎ 考点： 数列的应用． ‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 把握数对的规律如下：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．‎ 解答： 解：规律是：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；…，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为 n．‎ 又∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66‎ ‎∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）；‎ 故答案为（5，7）．‎ 点评： 本题主要考查数列知识的拓展及应用．‎ ‎11．（3分）设函数f（x）=x（）x+，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*）的点，向量与向量=（1，0）的夹角为θn，则满足的最大整数n的值为3．‎ 考点： 数列与不等式的综合；数列的求和；平面向量的综合题． ‎ 专题： 计算题；压轴题；数形结合；转化思想．[来源:学#科#网]‎ 分析： 由题意，可设，得到，再由向量与向量=（1，0）的夹角为θn，解出tanθn的关于n的表达式，代入解出n所满足的条件，判断出符合条件的最大整数n的值 解答： 解：由题意，‎ 又向量与向量=（1，0）的夹角为θn，‎ ‎∴tanθn==‎ 又 ‎∴‎ ‎∴2‎ ‎∴＞，令n=1，2，3，4，分别代入验证知，n可取的最大值为3‎ 点评： 本题考查了由向量求夹角，数列的求和，不等式，解题的关键是认真审题得出tanθn的表达式，熟练掌握数列求和的技巧也是解题的关键 ‎12．（3分）如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则x=+1，y=．‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义． ‎ 专题： 综合题；平面向量及应用．‎ 分析： 首先根据向量之间的关系对已知条件进行转化，再利用向量的数量积确定x，y的值．向量等式两边同时乘以某一向量对等式进行化简是解决本题的关键．‎ 解答： 解：∵，‎ ‎∴+=x+y，‎ ‎∴=（x﹣1）+y．‎ 又∵⊥，‎ ‎∴•=（x﹣1）．‎ 设||=1，则由题意知：||=||=．‎ 又∵∠BED=60°，∴||=，显然与的夹角为45°．‎ ‎∴由•=（x﹣1）得×1×cos45°=（x﹣1）×1，∴x=+1． ‎ 同理，在=（x﹣1）+y中，两边同时乘以，‎ 由数量积公式可得：y=，‎ 故答案为：+1，．‎ 点评： 本题考查向量加法及向量数量积的应用．以及利用垂直向量化简等知识，属于中档题．‎ 二、选择题（每题3分，共12分）‎ ‎13．（3分）若=，则关于向量、、所组成的图形，以下结论正确的是（）‎ ‎ A． 一定可以构成一个三角形 ‎ B． 一定不可能构成一个三角形 ‎ C． 都是非零向量时不能构成一个三角形 ‎ D． 都是非零向量时可能构成一个三角形 考点： 向量的三角形法则． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 根据题意，画出图形，结合图形说明能成立的选项是什么即可．‎ 解答： 解：对于向量、、，满足=，‎ 若、、都是非零向量，且两两不共线时，‎ 则向量、、构成一个三角形；如图所示：‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意进行分析，从而得出正确的结论，是基础题．‎ ‎14．（3分）设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则=（）‎ ‎ A． B． 2 C． D． 4‎ 考点： 平面向量的综合题． ‎ 专题： 新定义．‎ 分析： 设的夹角为θ，由向量的数量积公式先求出cosθ==﹣，从而得到sinθ=，由此能求出．‎ 解答： 解：设的夹角为θ，‎ 则cosθ==﹣，‎ ‎∴sinθ=，‎ ‎∴‎ ‎=2×2×‎ ‎=2．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查平面向量的综合运用，解题时要正确理解向量积的概念，认真审题，注意向量的数量积的综合运用．‎ ‎15．（3分）设数列{an}的前n项和Sn=n2，如果Pn=，则的值为（）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 考点： 数列的求和． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： 利用公式法先求得an=2n﹣1．再求得==（﹣），利用裂项法求得pn，即可得出结论．‎ 解答： 解：∵Sn=n2，‎ ‎∴a1=s1=1，‎ n≥2时，an=sn﹣sn+1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1，对n=1时也成立，‎ ‎∴an=2n﹣1．‎ ‎∴==（﹣），‎ ‎∴Pn==（1+…+﹣）=（1﹣）=﹣，‎ ‎∴=（﹣）=．[来源:学科网ZXXK]‎ 故选C．‎ 点评： 本题主要考查利用公式法求数列的通项公式及利用裂项相消法求数列的和问题，属于基础题型，应熟练掌握．‎ ‎16．（3分）某店一个月的收入和支出总共记录了N个数据a1，a2，…aN，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）‎ ‎ A． A＞0，V=S﹣T B． A＜0，V=S﹣T C． A＞0，V=S+T D． A＜0，V=S+T 考点： 设计程序框图解决实际问题． ‎ 分析： 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知S表示月收入，T表示月支出，V表示月盈利，根据收入记为正数，支出记为负数，故条件语句的判断框中的条件为判断累加量A的符号，由分支结构的“是”与“否”分支不难给出答案，累加完毕退出循环后，要输出月收入S，和月盈利V，故在输出前要计算月盈利V，根据收入、支出与盈利的关系，不难得到答案．‎ 解答： 解析：月总收入为S，支出T为负数，‎ 因此A＞0时应累加到月收入S，‎ 故判断框内填：A＞0‎ 又∵月盈利V=月收入S﹣月支出T，‎ 但月支出用负数表示 因此月盈利V=S+T 故处理框中应填：V=S+T 故选A＞0，V=S+T 点评： 算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．‎ 三、解答题（8分+8分+10分+12分+14分=52分）‎ ‎17．（8分）设M、N、P是△ABC三边上的点，它们使，若=，试用、将表示出来．‎ 考点： 平面向量的基本定理及其意义． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 由得=，根据向量减法法则，结合题中数据得=﹣=﹣﹣，再由=﹣，化简得=﹣+．同理得到=﹣，进而得到=﹣（+）=（ +）．‎ 解答： 解：∵，[来源:学&科&网Z&X&X&K]‎ ‎∴=，‎ 由此可得，=﹣=﹣﹣，‎ ‎∵=﹣，‎ ‎∴=﹣﹣（﹣）=﹣=﹣+．‎ 同理可得=﹣，‎ ‎∴=﹣（+）=+．‎ 点评： 本题给出三角形ABC的边的四等分点M、N、P，要求用表示，着重考查了向量减法的三角形法则和向量的线性运算等知识，属于中档题．‎ ‎18．（8分）在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，﹣3）为△OAB的直角顶点，已知|，求向量的坐标与点B的坐标．‎ 考点： 平面向量的坐标运算． ‎ 专题： 平面向量及应用．‎ 分析： 设出，由题意得到，代入坐标后求得，然后利用向量的坐标减法运算求得点B的坐标．‎ 解答： 解：设，‎ 则由，得．‎ 解得或．‎ 即或．‎ 则（6，8）=（10，5）；‎ 或（﹣6，﹣8）=（﹣2，﹣11）．‎ 即B（10，5），（﹣2，﹣11）．‎ 点评： 本题考查了平面向量的坐标运算，考查了平面向量的数量积，是基础的计算题．‎ ‎19．（10分）平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点．‎ ‎（1）当•取最小值时，求的坐标；‎ ‎（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值．‎ 考点： 平面向量的综合题． ‎ 专题： 计算题．‎ 分析： （1）因为点X在直线OP上，向量 与 共线，可以得到关于 坐标的一个关系式，再根据 •的最小值，求得 的坐标，‎ ‎（2）cos∠AXB是 与 夹角的余弦，利用数量积的知识易解决．‎ 解答： 解：（1）设 =（x，y），‎ ‎∵点X在直线OP上，∴向量 与 共线．‎ 又 =（2，1），∴x﹣2y=0，即x=2y．‎ ‎∴=（2y，y）．又 =﹣，=（1，7），‎ ‎∴=（1﹣2y，7﹣y）．‎ 同样 =﹣=（5﹣2y，1﹣y）．‎ 于是 •=（1﹣2y）（5﹣2y）+（7﹣y）（1﹣y）=5y2﹣20y+12=5（y﹣2）2﹣8．[来源:学&科&网]‎ ‎∴当y=2时，•有最小值﹣8，此时 =（4，2）．‎ ‎（2）当 =（4，2），即y=2时，有 =（﹣3，5），=（1，﹣1）．‎ ‎∴||=，||=．‎ ‎∴cos∠AXB==﹣．‎ 点评： （1）中求最值问题可转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数；也可以利用 与 反向时，•有最小值进行求解．而（2）中即为数量积定义的应用．‎ ‎20．（12分）已知数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2an﹣2n（n∈N*）．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式an；‎ ‎（2）若数列{bn}满足bn=，Tn为数列{bn}的前项n和，求Tn的值；‎ ‎（3）数列{an}中是否存在三项ar，as，at（r＜s＜t）成等差数列？若存在．请求出一组适合条件的项；若不存在，说明理由．‎ 考点： 数列递推式． ‎ 专题： 等差数列与等比数列．‎ 分析： （1）由已知得{an+2}是首项为a1+2=4，公比为2的等比数列．由此能求出an=2n+1﹣2．‎ ‎（2）bn===，由此利用裂项求和法能求出Tn=，从而得到Tn=（）=．‎ ‎（3）假设存在这样3项，则有ar+at=2as，r＜s＜t，从而1+2t﹣r=2（s﹣r+1），由此推导出数列{an}中不存在三项ar，as，at（r＜s＜t）成等差数列．‎ 解答： 解：（1）a1=S1=2a1﹣2，a1=2．‎ an+1=Sn+1﹣Sn=2an+1﹣2﹣2an，‎ an+1=2an+2，‎ an+1+2=2（an+2），[来源:学科网ZXXK]‎ ‎{an+2}是首项为a1+2=4，公比为2的等比数列．‎ an+2=4•2n﹣1=2n+1，‎ an=2n+1﹣2．‎ ‎（2）bn===，‎ Tn=‎ ‎=‎ ‎=，‎ ‎∴Tn=（）=．‎ ‎（3）假设存在这样3项，则有 ar+at=2as，r＜s＜t，‎ ‎∴2r+1﹣2+2t+1﹣2=2（2s+1﹣2）‎ 整理得到 ‎2r+2t=2s+1，‎ 两边同时除以2r，‎ ‎1+2t﹣r=2（s﹣r+1），‎ 等式左边为奇数+偶数，其结果必然为奇数，[来源:Z+xx+k.Com]‎ 等式右边为偶数，故上述等式不能成立，‎ ‎∴数列{an}中不存在三项ar，as，at（r＜s＜t）成等差数列．‎ 点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的极限值的求法，考查等差数列的判断与求法，解题时要认真审题，注意等比数列和等差数列的性质的合理运用．‎ ‎21．（14分）已知，分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，=，=10，且=3（n=2，3，4，…），在射线y=x（x≥0）上从下到上有点Bi（i=1，2，3，…），=，且=2（n=2，3，4，…）．‎ ‎（1）求A4A5； ‎ ‎（2）求与的表达式；‎ ‎（3）求四边形AnAn+1Bn+1Bn（n=1，2，3，4，…）面积的最大值．‎ 考点： 平面向量数量积的运算． ‎ 专题： 等差数列与等比数列；平面向量及应用．‎ 分析： （1）由题意||=3||是等比关系，根据等比数列公式求出通项，从而求得结果；‎ ‎（2）由题意（1）中数列的前n项和即为An的纵坐标，再由在射线y=x（x≥0）上依次有点B1，B2，…，Bn，即可得出Bn的坐标；‎ ‎（3）根据四边形AnAn+1Bn+1Bn的几何特征，把四边形的面积分成两个三角形的面积和，即可求出面积的表达式，再作差Sn﹣Sn﹣1，确定其单调性，从而求出最大值．‎ 解答： 解：（1）∵=3，‎ ‎∴=；‎ ‎∴===‎ ‎=（﹣）=×（10﹣）=；‎ ‎（2）由（1）知，==，‎ ‎∴=++…+‎ ‎=+9+3+…+‎ ‎=+‎ ‎=；‎ 又∵||=2，且Bn﹣1、Bn均在射线y=x（x≥0）上，‎ ‎∴=2+2；‎ ‎∴=+++…+=‎ ‎3+3+（n﹣1）（2+2）；‎ ‎（3）∵||=，‎ ‎∴△AnAn+1Bn+1的底面边的上高为h1=2n+3，‎ 又∵||=2，‎ ‎∴An（0，）到直线y=x的距离是h2=；‎ ‎∴Sn=•（2n+3）•‎ ‎=×2×‎ ‎=+，‎ 而Sn﹣Sn﹣1=﹣＜0，‎ ‎∴S1＞S2＞…＞Sn＞…；‎ ‎∴Smax=S1=+=+9=．‎ 点评： 本题考查了等比数列与平面向量的综合应用问题，解题时需要做正确的转化和归纳，才能探究出正确的解决方法，是较难的综合题目．‎