数学理卷·2017届广东省揭阳市高中毕业班高考第二次模拟考试（2017

数学理卷·2017届广东省揭阳市高中毕业班高考第二次模拟考试（2017

揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题 数学（理科）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.函数的定义域为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知复数（，是虚数单位）是纯虚数，则为（ ）‎ A． B． C．6 D．3‎ ‎3.“为真”是“为真”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分要件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（ ）‎ A．14 B． C． D．‎ ‎7.设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用表示），则判断框中应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.某微信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知实数满足不等式组，若的最小值为，则的值为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎10.函数的大致图象是（ ）‎ ‎11.已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（ ）‎ A．64 B．128 C．192 D．384‎ ‎12.已知函数，，若在区间内有零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，满足，则 ．‎ ‎14.已知直线与圆（）相切，则的值为 ．‎ ‎15.在中，已知与的夹角为，，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知双曲线（）的离心率为，是双曲线的两个焦点，为左顶点，，点在线段上，则的最小值为 ．‎ 三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知数列中，，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和为.‎ ‎18. 已知图3中，四边形是等腰梯形，，，分别为线段的中点，与的交点为，，，现将梯形沿 折起，使得，连结，得一几何体如图4所示 ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若图3中，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎19. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关，规定第一关没过者没奖励，过（）关才奖励件小奖品（奖品都一样），图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率.‎ ‎（1）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；‎ ‎（2）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数；‎ ‎（3）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率.‎ ‎20. 已知椭圆（）与抛物线（）共焦点 ‎，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足.‎ ‎（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；‎ ‎（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于两点，设线段的中点为，求的取值范围.‎ ‎21. 设函数（），，‎ ‎（1）试求曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围.‎ ‎（附：当，趋近于0时，趋向于）‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，已知直线（），抛物线（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求直线和抛物线的极坐标方程；‎ ‎（2）若直线和抛物线相交于点（异于原点），过原点作与垂直的直线，和抛物线相交于点（异于原点），求的面积的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）当时，证明：‎ 揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题 数学(理科)参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ 四、只给整数分数．‎ 一、选择题：‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A C C B B D A B C D 解析：（6）易得该几何体为一底面半径为、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： .‎ ‎（8）3个红包分配给四人共有种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为．‎ ‎（9）如图，当直线过点时，z取得最小值，即.‎ ‎（10）由可排除（D），由，，可排（A）（C），故选（B）. ‎ ‎（11）以投影面为底面，易得正方体的高为，设长方体底面边长分别为，则，．‎ ‎(12) ，由令得函数有一零点，排除（B）、（C），令得函数在上的零点从小到大为：，显然，可排除（A），故答案为（D）‎ ‎【法二：，由得，当时，，由题意知存在，，即，所以，由知，当时，，，，…，所以选D．】‎ 二、填空题：‎ 题号 ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 答案 解析：‎ ‎(15) 由与的夹角为150°知,由正弦定理得：‎ ‎,又得.‎ ‎（16）易得，设则，‎ 显然，当时，取得最小值，‎ 由面积法易得，故的最小值为.‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（I）证法1：由已知得，‎ ‎∴，‎ 又，得，∴，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．‎ 证法2：由得，‎ 由及递推关系，可知，所以，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．‎ ‎（II）由（I）得，∴，‎ ‎，‎ 设，-------------①‎ 则，---------②‎ ‎①式减去②式得 ‎，‎ 得，‎ 又，‎ ‎∴． ‎ ‎（18）解：(Ⅰ)证明：在图中，四边形为等腰梯形，分别为线段的中点，‎ ‎∴为等腰梯形的对称轴，又//，‎ ‎∴、，①‎ 在图中，∵，∴‎ 由①及，得⊥平面，∴，‎ 又，∴ 平面，‎ 又平面，∴平面平面；‎ ‎(Ⅱ)在图中，由 ，，易得，，‎ 以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 则、、‎ 得，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 则，得，‎ 取，得 同理可得平面的一个法向量 设所求锐二面角的平面角为，‎ 则=‎ 所以平面ADE与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎（19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为，则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ P ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 的期望值；‎ ‎(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，‎ 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X，可知，‎ 则X的平均次数；‎ ‎(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次和两次，恰好二次，恰好三次，‎ ‎，‎ ‎=，‎ 所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为．‎ ‎（20）解：（I）∵抛物线上的点到轴的距离等于，‎ ‎∴点M到直线的距离等于点到焦点的距离，‎ 得是抛物线的准线，即，‎ 解得，∴抛物线的方程为；‎ 可知椭圆的右焦点，左焦点，‎ 由得，又，解得，‎ 由椭圆的定义得，‎ ‎∴，又，得，‎ ‎∴椭圆的方程为．-‎ ‎（II）显然，，‎ 由，消去，得，‎ 由题意知，得，‎ 由，消去，得，‎ 其中，‎ 化简得，‎ 又，得，解得，‎ 设，则<0，‎ 由，得，∴的取值范围是．‎ ‎（21）解：（Ⅰ）∵，，‎ 切线的斜率为，‎ ‎∴切线的方程为，即，‎ 联立，得；‎ 设，则，‎ 由及，得或，‎ ‎∴在和上单调递增，可知在上单调递减，‎ 又，，所以，，‎ ‎∴方程有两个根：1和，从而切线与曲线有两个公共点．‎ ‎(Ⅱ)由题意知在至少有两不同根，‎ 设，‎ ‎①当时，是的根，‎ 由与（）恰有一个公共点，可知恰有一根，‎ 由得，不合题意，‎ ‎∴当且时，检验可知和是的两个极值点；‎ ‎②当时，在仅一根，所以不合题意；--9分 ‎③当时，需在至少有两不同根，‎ 由，得，所以在上单调递增，‎ 可知在上单调递减，‎ 因为，趋近于0时，趋向于，且时，，‎ 由题意知，需，即，解得，‎ ‎∴．‎ 综上知，．‎ 选做题：‎ ‎（22）解：（Ⅰ）可知是过原点且倾斜角为的直线，其极坐标方程为 抛物线的普通方程为，‎ 其极坐标方程为，‎ 化简得．‎ ‎（Ⅱ）解法1：由直线和抛物线有两个交点知，‎ 把代入，得，‎ 可知直线l2的极坐标方程为，‎ 代入，得，所以，‎ ‎ ，‎ ‎∴的面积的最小值为16．‎ 解法2：设的方程为，由得点，‎ 依题意得直线的方程为，同理可得点，‎ 故 ‎，（当且仅当时，等号成立）‎ ‎∴的面积的最小值为16‎ ‎（23）解：（Ⅰ）由，得，即，‎ 解得，所以；‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ ‎ ‎ 因为，故，，，，‎ 故，‎ 又显然，故．‎ 法二：因为，故，，‎ 而 ‎，‎ 即，故．‎