数学理卷·2018届湖北省荆门市高二上学期期末考试（2017-01）

数学理卷·2018届湖北省荆门市高二上学期期末考试（2017-01）

荆门市2016-2017学年度上学期期末质量检测 高二数学（理科）‎ 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.‎ ‎3. 填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．倾斜角为且在轴上的截距为-2的直线方程为 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D．‎ ‎2．抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为 ‎ A．至多有1件次品 B．至多有2件次品 ‎ C．至多有1件正品 D．至多有2件正品 ‎3．某校拟从高一年级、高二年级、高三年级学生中抽取一定比例的学生调查对“荆马”（荆门国际马拉松）的了解情况，则最合理的抽样方法是 ‎ A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法 ‎4．若直线，互相平行，则实数等于 ‎ A．-3 B．1 C．-3或1 D．0‎ ‎5．已知变量x服从正态分布，且，则等于 ‎ A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4‎ ‎6．圆关于直线对称的圆的方程为 ‎ A． B．‎ ‎ C． D． ‎ 7． 运行如下程序框图输出的是 ‎ 否 是 输出S 开始 S=2‎ k=1‎ 结束 ‎ A．2 B． C． D．-3‎ ‎8．下列说法中，错误的一个是 ‎ A．将23（10）化成二进位制数是10111（2）‎ ‎ B．在空间坐标系点关于x轴的对称点为 ‎ C．数据：2，4，6，8的方差是数据：1，2，3，4的方差的2倍 ‎ ‎ D．若点在圆的外部，则 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7 8‎ ‎0 7 x 9‎ ‎3 1‎ 运动员 第9题图 ‎9．如图是某位篮球运动员8场比赛得分的茎叶图，其中一个数据 ‎ 染上污渍用代替，则该运动员这8场比赛的得分平均数不小 ‎ 于得分中位数的概率为 ‎ A．0.2 B．0.3 ‎ ‎ C．0.6 D．0.7‎ ‎10．设P为直线上的动点，过点P作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为 ‎ A．1 B． C． D．   ‎ ‎11．在以“菊韵荆门，荣耀中华”为主题的“中国·荆门菊花展”上，工作人员要将6盆不同品种的菊花排成一排，其中甲，乙在丙同侧的不同排法种数为 ‎ A．120 B．240 C．360 D．480‎ ‎12．已知等边△ABC的边长为，动点P、M满足，，则的最小值是 ‎ A． B． C． D．‎ 第13题图 INPUT x IF x≥0 THEN ELSE ‎ END IF PRINT ‎ END 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分）‎ ‎13．执行右图程序，若输出的结果是4，则输入的x的值是 ▲ .‎ ‎14．把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件 B=“第二次出现正面”，则P(B|A)= ▲ .‎ ‎15．以点为圆心且与直线 相切的所有圆中，面积最大的圆的标准方程为 ▲ .‎ 16． 由计算机产生2n个0～1之间的均匀随机数……，‎ ‎ 构成n个数对…其中两数能与1构成钝角三 ‎ 角形三边的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 ‎ 似值为 ▲ .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求n的值；‎ ‎（Ⅱ）此展开式中是否有常数项？为什么？‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知△ABC中，，B C边所在的直线方程为，AB边上的中线所在的直线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求B，C点的坐标；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的外接圆方程．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ x ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 某站对“爱飞客”飞行大会的日关注量x（万人）与日点赞量y（万次）进行了统计对比，得到表格如下：‎ 由散点图象知，可以用回归直线方程来近似刻画它们之间的关系．‎ ‎（Ⅰ）求出y关于x的回归直线方程，并预测日关注量为10万人时的日点赞量；‎ ‎（Ⅱ）一个三口之家参加“爱飞客”亲子游戏，游戏规定：三人依次从装有3个白球和2个红球的箱子中不放回地各摸出一个球，大人摸出每个红球得奖金10元，小孩摸出1个红球得奖金50元．求该三口之家所得奖金总额不低于50元的概率．‎ 参考公式：； 参考数据： ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知圆.‎ ‎(Ⅰ) 若直线过点且被圆截得的弦长为，求直线l的方程； ‎ ‎(Ⅱ) 若直线过点与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 男生成绩 频率/组距 ‎0.01‎ ‎0.02‎ ‎0.03‎ ‎40 50 60 70 80 90 100‎ 女生成绩 ‎4 4‎ ‎5 1 2‎ ‎6 0 5‎ ‎7 4 4 5 6‎ ‎8 1 2 4 4 5 7 9‎ ‎9 0 0 1 2 ‎ 为了研究某成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高二年级抽取了30名男生和20名女生的该成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）．‎ ‎（Ⅰ）（i）请根据图示，将2×2列联表补充完整；‎ 优分 非优分 总计 男生 女生 总计 ‎50‎ ‎ （ii）据列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“成绩与性别 有关”？‎ ‎（Ⅱ）将频率视作概率，从高二年级该成绩中任意抽取3名学生的成绩，求成绩为优分人数X的分布列与数学期望． ‎ 参考公式：． ‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考数据：‎ ‎22．（本小题满分12分） ‎ 已知长为2的线段A B两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）点是曲线C上的动点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）已知定点，探究是否存在定点和常数满足：对曲线C上任意一点，都有成立？若存在，求出和；若不存在，请说明理由．‎ 荆门市2016-2017学年度上学期期末质量检测 高二数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ BACAD CDCBC DA x O y A B C 第12题图 ‎12．提示：由题△ABC为边长为的正三角形，如图建立平面坐标系，‎ ‎ ,‎ ‎ 由得点P的轨迹方程为①，‎ ‎ 设，由得，‎ ‎ 代入①式得M的轨迹方程为 ‎ 记圆心为，，‎ ‎ 故选A 二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13. 2 14. 15. 16. ‎ ‎16．提示：由题意，n对0～1之间的均匀随机数x，y，满足，相应平面区域面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对，满足且 面积为，所以，得.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（1）由题意：， ……………………………2分 ‎ 即解得n=7（n=2舍） ……………………………5分 ‎ （2）展开式的通项公式为， …………8分 ‎ 令，解得（舍去），故展开式无常数项．……………………………10分 ‎18．（Ⅰ）由解得； ………………………………3分 设，则AB的中点，由点D在AB边的中线上得，解得 ………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）法一：易知，故△ABC的外接圆的直径为BC，圆心为BC的中点，‎ ‎ ………………………………………………8分 ‎ 又半径， ………………………………………………10分 ‎ ∴所求外接圆的方程为 ………………………………………………12分 法二：设△ABC的外接圆方程为则将三点 ‎ 的坐标代入可得 ………………………………………………8分 ‎ 解得， ………………………………………………10分 ‎ 即△ABC的外接圆方程为.……………………………………12分 ‎19．（Ⅰ）中心点坐标为， ……………………………………………… 2分 ‎ ，‎ ‎ ∴回归直线方程为=0.5x+0.4； ………………………………………………4分 ‎ 当x=10时，，即日关注量为10万人时的日点赞量5.4万次．………………6分 ‎（Ⅱ）设奖金总额为则 ， …………………………………8分 ‎ ………………………………………………10分 ‎ ∴奖金总额不低于50元的概率为 …………………………………………12分 ‎20．（Ⅰ）圆C的圆心坐标为，半径R=2,‎ ‎ ∵直线l被圆E截得的弦长为，∴圆心C到直线l的距离 ……………………2分 ‎ (1)当直线l的斜率不存在时，l：，显然满足； ………………………………3分 ‎ (2)当直线l的斜率存在时，设l：，即，‎ ‎ 由圆心C到直线l的距离得：，解得，故l：； ………5分 ‎ 综上所述，直线l的方程为或 …………………………………………6分 ‎(Ⅱ)法一：∵直线与圆相交，∴的斜率一定存在且不为，设直线方程：,‎ ‎ 即，则圆心C到直线的距离为， ………………………8分 ‎ 又∵的面积 ‎ …………………………………10分 ‎ 当时，取最大值.由，得或，‎ ‎ ∴直线的方程为或. ………………………………………12分 ‎ 法二：设圆心C到直线的距离为，则 ‎ （取等号时）‎ ‎ 以下同法一.‎ ‎ 法三：‎ ‎ 取“=”时，为等腰直角三角形，则圆心C到直线的距离，‎ ‎ 以下同法一.‎ ‎21．（Ⅰ）根据图示，将2×2列联表补充完整如下：‎ 优分 非优分 总计 男生 ‎9‎ ‎21‎ ‎30‎ 女生 ‎11‎ ‎9‎ ‎20‎ 总计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎…………………………2分 ‎ 的观测值：，‎ ‎ ………………………………………………5分 ‎ 所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该成绩与性别有关； ……………6分 ‎（Ⅱ）由于有较大的把握认为该成绩与性别有关，因此可将男女生成绩的优分频率 ‎ 视作概率；从高二年级中任意抽取3名学生的该成绩中，优分人数X服从 ‎ 二项分布， ………………………………………………………8分 ‎ P（X=k）=‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎………………10分 ‎3‎ p ‎ X的分布列为：‎ ‎ 数学期望 ………………………………………………12分 ‎22．（Ⅰ）法一：设，则 ①‎ ‎∵点M为线段AB的中点 ∴m=2x，n=2y；代入①式得，‎ ‎ 即点M的轨迹曲线C的方程为． ………………………………………………3分 法二：设O为坐标原点，则，故点M的轨迹曲线C是以原点O为圆心，‎ ‎ 半径等于1的圆，其方程为． ………………………………………………3分 ‎ ‎（Ⅱ）法一；∵，∴可令，‎ ‎ . ………………………………7分 ‎ 法二：设，则由题直线与圆C：有公共点，‎ ‎ ∴，解得 ………………………………………7分 ‎（Ⅲ）假设存在满足题意的和，则设，由得：‎ ‎ ，展开整理得：‎ ‎ ，又，故有 ‎ ， ……………………………‎ ‎9分 ‎ 由题意此式对满足的任意的y都成立，‎ ‎ ∴且，解得：（）‎ ‎ 所以存在满足题意要求. ………………………………………12分 命题：邓金辉 王成钧 ‎ 审校：方延伟 郑 胜 王玉龙