河南省2020届高三6月大联考数学试卷理科8001C

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文档介绍

河南省2020届高三6月大联考数学试卷理科8001C

‎ ‎ 绝密★启用前 高三数学试卷(理科)‎ ‎(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)‎ 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.已知复数,,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.“”是“”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.今年5月25日工信部部长在“两会部长通道”表示,中国每周大概增加1万多个5G基站,4月份增加5G用户700多万人,5G通信将成为社会发展的关键动力,下图是某机构对我国未来十年5G用户规模的发展预测图,阅读下图 ‎ ‎ 关于下列说法:‎ ‎①2022年我国5G用户规模年增长率最高;‎ ‎②2022年我国5G用户规模年增长户数最多;‎ ‎③从2020年到2026年,我国的5G用户规模增长两年后,其年增长率逐年下降;‎ ‎④这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差.‎ 其中正确的个数为( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5已知函数,若,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为360,则框图中空格处应填入( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的部分图象大致为 A .B. C. D.‎ ‎8.在锐角中角,,所对的边分别为,,,,则角的大小为 ‎ ‎ ‎( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.函数的图象的一条对称轴方程为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.饕餮(tāo tiè)纹,青铜器上常见的花纹之一,盛行于商代至西周早期,最早出现在距今五千年前长江下游地区的良渚文化玉器上.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上,如图所示,每个小方格的边长为1,有一点从点出发每次向右或向下跳一个单位长度,且向右或向下跳是等可能性的,那么它经过4次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在正方体中,,分别为棱,的中点,过点,,作该正方体的截面,截面将正方体分成两部分,则较小部分与较大部分的体积的比值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知双曲线的左右焦点分别为,,点是双曲线右支上一点,点是线段上一点,且,,则该双曲线的离心率为( )‎ A. B.2 C. D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.‎ ‎13.在中,已知,,,则_______.‎ ‎14.对任意的函数的图象恒过定点,则曲线在点处的切线的斜率为_______.‎ ‎ ‎ ‎15.已知抛物线:,倾斜角为的直线过抛物线的焦点,且与抛物线相交于、两点,为坐标原点,,则的面积为________.‎ ‎16.如图,在矩形中,,为的中点,将沿翻折成(平面),为线段的中点,则在翻折过程中给出以下四个结论:‎ ‎①与平面垂直的直线必与直线垂直;‎ ‎②线段的长为;‎ ‎③异面直线与所成角的正切值为;‎ ‎④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积是.‎ 其中正确结论的序号是_______.(请写出所有正确结论的序号)‎ 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.‎ ‎(一)必考题:共60分 ‎17.(12分)‎ 已知等差数列满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设,求数列的前项和.‎ ‎18.(12分)‎ 新冠肺炎疫情期间,各地均响应“停课不停学,停课不停教”的号召,开展了网课学习.为了检查网课学习的效果,某机构对2000名学生进行了网上调查,发现有些学生上网课时有家长在旁督促,而有些没有.将这2000名学生网课学习后通过考试分成“成绩上升”和“成绩没有上升”两类,对应的人数如下表所示:‎ ‎ ‎ 成绩上升 成绩没有上升 合计 有家长督促的学生 ‎500‎ ‎300‎ ‎800‎ 没有家长督促的学生 ‎700‎ ‎500‎ ‎1200‎ 合计 ‎1200‎ ‎800‎ ‎2000‎ ‎(1)是否有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联?‎ ‎(2)从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升,采用分层抽样的方法抽出8人,再从这8人中随机抽取3人做进一步调查,记抽到一名成绩上升的学生得1分,抽到一名成绩没有上升的学生得分,抽取3名学生的总得分用表示,求的分布列和数学期望.‎ 附:,其中.‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19.(12分)‎ 如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面平面,为的中点,,,.‎ ‎(1)证明:平面平面.‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)‎ 已知函数,.‎ ‎(1)当时,求的单调区间;‎ ‎(2)对于任意的,,恒成立,求的取值范围.‎ ‎21.(12分)‎ ‎ ‎ 已知圆:过点,且右焦点为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设过定点的直线(与轴不重合)与椭圆交于不同的两点,,且点关于原点的对称点为,,试求的最大值.‎ ‎(二)选考题共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,曲线的参数方程为,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线:上,点在曲线:上,且为正三角形.‎ ‎(1)分别求出点,的极坐标(其中,);‎ ‎(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点求的最大值.‎ ‎23.[选修4-5:不等式选讲](10分 设函数,‎ ‎(1)解不等式;‎ ‎(2)对于实数,,若,,证明:.‎ 高三数学试卷参考答案(理科)‎ ‎1.C【解析】本题考查集合的交集运算,考查运算求解能力.‎ 因为,,所以.‎ ‎2.D【解析】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力.‎ 因为,所以,,从而.‎ ‎3.A【解析】本题考查常用逻辑用语,考查推理论证能力.‎ 若,则,当且仅当时取等号;若,则.‎ ‎4.B【解析】本题考查学生对柱形图和折线图的理解,考查数据处理能力.‎ 由图可以看出:2022年增长率最高,①正确;2022年比2021年增加用户20498.1万人,而2023年比2022‎ ‎ ‎ 年增加用户37499.9万人,②错误;从2023年起年增长率逐年下降,③正确;这十年我国的5G用户数规模,后5年的平均数大于前5年的平均数,但是方差小,④错误.‎ ‎5.D【解析】本题主要考查函数的单调性及不等式的解法,考查化归与转化的数学思想.‎ 函数在上为减函数,因此,不等式等价于,解得.‎ ‎6.B【解析】本题考查程序框图的知识,考查运算求解能力.‎ ‎,;,;,;,;,;,.所以填入“”,输出的结果为360.‎ ‎7.B【解析】本题考查函数的奇偶性,考查识图能力与推理论证能力.‎ 因为的定义域为,且为偶函数,排除A,C.又当时,,排除选项D,故选B.‎ ‎8.A【解析】本题考查解三角形的知识,考查运算求解能力.‎ 因为,所以,所以,即.又为锐角三角形,所以.‎ ‎9.C【解析】本题考查三角恒等变换,三角函数的对称性,考查运算求解能力.‎ 因为,所以其图象的对称轴方程为解得,当时,.‎ ‎10.A【解析】本题考查数学文化与古典概型,考查数据处理能力.‎ 点从点出发,每次向右或向下跳一个单位长度,共有16种不同的跳法(线路),符合题意的只有先向右跳两次,再向下跳两次这一种,所以4次跳动后,恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为.‎ ‎11.D【解析】本题考查 立体几何的截面及体积问题,考查空间想象能力.‎ 如图,可以作出截面,设正方体的棱长为6,则其体积为216,延长交的延长线于点,连接,延长交的延长线于点,连接.因为,分别为棱,的中点,,分别为两棱的三等分点,所以,,‎ ‎ ‎ ‎,,所以正方体被截面分成两部分,其中一部分的体积为,另外一部分的体积为,所以体积比值为.‎ ‎12.B【解析】本题考查双曲线的性质,考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.‎ 设,,则.由余弦定理得,‎ 即,‎ 所以,从而.‎ 因为,且,所以,代入,整理得,解得或(舍去),所以.‎ ‎13.4【解析】本题考查向量的数量积,考查运算求解能力.‎ 因为,,所以.‎ ‎14.【解析】本题考查导数的计算及其几何意义,考查运算求解能力.‎ 令,得,所以.又,所以.‎ ‎15.【解析】本题考查抛物线的性质,考查运算求解能力.‎ 根据题意知设直线的方程为,代入抛物线得,所以,解得,所以直线的方程为.又原点到直线的距离为,所以.‎ ‎ ‎ ‎16.①②④【解析】本题考查折叠问题以及点、线、面的位置关系,考查空间想象能力.‎ 如图,取的中点为,的中点为,连接,,,,则四边形为平行四边形,直线平面,所以①正确;‎ ‎,所以②正确;‎ 因为,异面直线与的所成角为,,所以③错误;‎ 当三棱锥的体积最大时,平面与底面垂直,可计算出,,,所以,同理,所以三棱锥外接球的球心为,半径为1,外接球的表面积是,④正确.‎ ‎17.解:(1)设数列的公差为,因为 所以……………………………………………………………………………………2分 解得………………………………………………………………………………………………………4分 所以.…………………………………………………………………………………………………6分 ‎(2)由(1)知,…………………………………………………………………………7分 因为,…………………………………………………………………………………9分 ‎ ‎ 所以,…………………………………………………11分 即. ………………………………………………………………………………12分 评分细则:‎ ‎(1)第一问中,只要列出得2分,求出累计得4分,正确写出通项公式累计得6分;‎ ‎(2)第二问中,写到这一步累计得9分,写出累计得1分,最后结果写成不扣分;‎ ‎(3)其他情况根据评分标准酌情给分.‎ ‎18.解:(1),3分 因为,‎ 所以有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联.5分 ‎(2)由题意知,从有家长督促的800名学生中按分层抽样法抽出8人,其中成绩上升的有5人,成绩没有上升的有3人,再从这8人中随机抽取3人,随机变量所有可能取的值为,,1,3,…………6分则,7分 ‎,8分 ‎,‎ ‎.10分.‎ 所以的分布列为 ‎1‎ ‎3‎ ‎ ‎ ‎11分 所以.12分 评分细则:‎ ‎(1第一问中写成或3.4不扣分,计算正确,结论写错扣分;‎ ‎(2)第二问中,写出的所有可能取值为,,1,3得1分,每计算出一个概率得1分,写出分布列得1分,写出期望得1分;‎ ‎(3)其他情况根据评分标准酌情给分.‎ ‎19.(1)证明:因为是矩形,所以.‎ 因为平面平面,平面平面,平面,‎ 所以平面.…………………………………………………………………………………………1分 又二平面,所以.……………………………………………………………………2分 因为,所以,又为的中点,所以.…………………………3分 又,所以平面.…………………………………………………………………4分 由于平面,所以平面平面.……………………………………………………5分 ‎(2)解:如图,在平面内作的垂线,建立空间直角坐标系,‎ 因为,,所以.‎ 所以,,,,…………………………………………………6分 所以,.………………………………………………………………………7分 ‎ ‎ 设平面的法向量为 所以即令,得,,所以.……9分 因为平面,所以平面的一个法向量为,………………………10分 所以,‎ 故二面角的余弦值为.…………………………………………………………………12分 评分细则:‎ ‎(1)第一问中,也可以先建立空间直角坐标系,用向量方法证明,不管用哪种方法,证出得5分;‎ ‎(2)第二问中,建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,得1分,计算出相关向量坐标,得1分,计算出平面的法向量得2分,算出二面角的余弦值得2分;‎ ‎(3)若用传统做法,作出二面角的平面角得1分,简单证明得2分,整个题完全正确得满分.‎ ‎20.解:(1)当时,,,………………………………………2分 令,得;令,得,……………………………………………………………3分 所以在上单调递减,在上单调递增. …………………………………………………4分 ‎(2)对于任意的,,恒成立,‎ 所以.…………………………………………………………………………………………5分 ‎.……………………………………………………………6分 ‎①当时,令,得.‎ 当时,即时,,在上单调递增,‎ 所以.‎ 因为,,‎ 所以恒成立. ……………………………………………………………………………………8分 当时,即时,在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎ ‎ 所以,‎ 此时不恒成立. ………………………………………………………………………………10分 ‎②当时,函数在上单调递减,‎ 所以,‎ 进而可知不恒成立. …………………………………………………………………………11分 综上所述,的取值范围是.…………………………………………………………………………12分 评分细则:‎ ‎(1)在第一问中,如果求导正确得2分,求出和的解集得1分,正确写出单调区间累计得4分;‎ ‎(2)第二问中只要得到得1分,①中两步分类讨论各得2分,②中讨论得1分,只要是正确讨论就得这1分,正确解完本题得满分;‎ ‎(3)采用其他方法,参照本评分标准依步骤给分.‎ ‎21.解:(1)因为椭圆:过点,且右焦点为,‎ 所以解得……………………………………………………………………………3分 所以椭圆的方程为.………………………………………………………………………………4分 ‎(2)设直线:,,,则.‎ 联立方程组得,……………………………………………………6分 此时,,由,得.…………………7分 因为,即所以,故.……………………………8分 ‎ ‎ 因为,所以,‎ 令,则,由对勾函数得.得.………………9分 可得.…………………10分 令,则,,‎ 所以,…………………………………………11分 故当时,取得最大值.……………………………………………………………………12分 评分细则:‎ ‎(1)第一问中,正确联立方程组,求出,得3分,正确求出标准方程共得4分;‎ ‎(2)第二问中,做到这一步累计得6分,写出韦达定理和判别式累计得7分,写出的表达式累计得10分,全部正确做完得满分;‎ ‎(3)第二问中,若用其他方法,参照上述步骤给分.‎ ‎22.解:(1)因为点在曲线:上,即点在直线上,………………………………2分 又点在曲线:上,且为正三角形,‎ 所以在极坐标系中,,.…………………………………………………………………4分 ‎(2)由(1)知点的直角坐标为,………………………………………………………………5分 设点的直角坐标为,所以点.…………………………………………………6分 ‎ ‎ 因为曲线的参数方程为即为圆,…………………………………………7分 所以,即点在上,………………………………8分 又点的直角坐标为,所以的最大值为.………………………………10分 评分细则:‎ ‎(1)第一问中,写出曲线的直角坐标方程得2分,正确写出,在指定范围内的极坐标方程累计得4分;‎ ‎(2)第二问中,求出点的直角坐标为,得1分,写出点,得1分,求出的标准方程,得1分,全部正确解完本题得满分;‎ ‎(3)采用其他方法,参照本评分标准依步骤给分.‎ ‎23.(1)解:设,则,…………………………………………2分 因为,‎ 所以或或………………………………………………………………3分 解得或或,即,………………………………………………………4分 所以不等式的解集为.…………………………………………………………………5分 ‎(2)证明:因为,,所以,.………………………………………6分 又,……………………………………………8分 所以.……………………………………………10分 评分细则:‎ ‎(1)第一问中,写出的解析式得2分,正确求出三个不等式组的解集累计得4分,写出不等式的解集为累计得5分;‎ ‎(2)第二问中,写出,累计得6分,会利用绝对值的性质求出 ‎ ‎ 累计得8分,最后证出累计得10分.‎
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