河南省全国1卷6月联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学试题

河南省全国1卷6月联考2019-2020学年高中毕业班阶段性测试（四）文科数学试题

‎ ‎ ‎2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（四）‎ 文科数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知向量，，且，则（ ）‎ A．4 B．3 C． D．‎ ‎4．下列选项中正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎5．函数在上的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．2020年新型冠状病毒肺炎疫情发生后，党中央、国务院高度重视，及时做出防控部署，坚决打赢这场疫情战役，下面是武汉某医院2月6号到15号每天新接收的发热病人数的统计图，下列叙述错误的是（ ）‎ ‎ ‎ A．从8号到10号，每天新接收的发热病人数逐渐增加 B．这10天中每天新接收的发热病人数的平均数是49.3‎ C．从这10天中随机选一天，这一天新接收的发热病人数小于35的概率是 D．这10天中每天新接收的发热病人数的中位数是45‎ ‎7．已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，此时所有点的坐标都满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率，过左焦点引一条渐近线的垂线，垂足为，的面积是2，则双曲线的实轴长为（ ）‎ A．4 B．2 C． D．1‎ ‎10．已知等比数列的公比，且，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎11．已知椭圆的左焦点是，左顶点为，直线交椭圆于，两点（在第一象限），直线与直线交于点，且点为线段的中点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值 ‎ ‎ 范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题 ‎13．若关于的不等式成立的充要条件是，则______．‎ ‎14．已知，满足约束条件，则目标函数的最小值为______．‎ ‎15．已知三棱锥的各顶点都在球的球面上，底面为直角三角形，斜边，直角边，且面，若该三棱锥的体积为，则球的表面积为______．‎ ‎16．设数列的前项和为，且．若存在正整数，使得不等式成立，则实数的取值范围是______．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题 ‎17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．‎ ‎（Ⅰ）求角；‎ ‎（Ⅱ）若，，的面积为35，求边．‎ ‎18．如图所示，在三棱锥中，平面，，，．‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）若为棱的中点，点为棱上一点，且三棱锥的体积为，通过计算判断点的位置．‎ ‎19．随着网络和智能手机的普及与快速发展，许多可以解答各学科问题的搜题软件走红．有教育工作者认为：用搜题软件搜索答案可以起到拓展思路的作用，但是对多数学生来讲，容易产生依赖心理，对学习能力造成损害．为了了解搜题软件在学生中的使用情况，某校对200名本校的高二学生在一周内用搜题软件搜题的次数进行了问卷调查，调查结果如下表：‎ 一周内用搜题软件搜题的次数区间 人数 ‎20‎ ‎36‎ ‎44‎ ‎50‎ ‎40‎ ‎10‎ 将一周内用搜题软件搜题的次数在的学生评价为“有搜题软件依赖症”，在的学生评价为“有搜题软件过度依赖症”．‎ ‎（Ⅰ）若在这200名高二学生中男生有90人，且男生中有30人“有搜题软件过度依赖症”，请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表，并通过计算，判断是否有的把握认为该校高二学生是否“有搜题软件过度依赖症”与性别有关；‎ 有搜题软件依赖症 有搜题软件过度依赖症 合计 男 ‎30‎ ‎90‎ 女 合计 ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中“有搜题软件过度依赖症”的学生中，按男女学生比例用分层抽样方法抽出5人，进行手机软件搜题问题交流，再从这5人中随机选出3人作重点发言，求选出的这3人中至少有1名女生的概率．‎ 参考公式：，其中．‎ 参考数据：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20．已知直线与抛物线交于，两点，点为抛物线的焦点且 ‎ ‎ ‎．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）过点作不垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，问：在轴上是否存在一点，使得轴总是平分?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在，使得，证明：．‎ ‎（二）选考题：请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）在曲线上取一点 （异于原点），直线绕原点逆时针旋转号，交曲线于点，求的最大值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲]‎ 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎2019—2020学年高中毕业班阶段性测试（四）‎ 文科数学（全国版）·答案 一、选择题 ‎1．【答案】C ‎ ‎ ‎【命题意图】本题考查指数函数、绝对值不等式的解法、交集的运算，考查计算能力．‎ ‎【解析】，或，‎ ‎∴．‎ ‎2．【答案】A ‎【命题意图】本题考查复数的乘除运算，考查计算能力．‎ ‎【解析】由，得，∴．‎ ‎3．【答案】A ‎【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算，考查计算能力．‎ ‎【解析】因为，，又因为，所以．‎ ‎4．【答案】B ‎【命题意图】本题考查不等式的性质，幂函数、指数函数的单调性．‎ ‎【解析】对于A选项，是单调递增的函数，故，故A错；‎ 对于B，和均大于0，且，所以，故B正确；‎ 对于C，，，∴，故C错误；‎ 对于D，幂函数是单调递增的函数，∴，故D错误．故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【命题意图】本题考查函数的性质及应用，考查学生的数形结合思想．‎ ‎【解析】是偶函数，排除B，C；，排除D．故选A．‎ ‎6．【答案】D ‎【命题意图】本题考查折线统计图，考查数据处理能力．‎ ‎【解析】由图易知A的叙述正确；，枚B的虚数正确；一共10个数据，小于35的数据有4个，故该数据小于35的概率是，故C的叙述正确；中位数是．故D错误，故选D．‎ ‎7．【答案】B ‎ ‎ ‎【命题意图】本题考查空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查空间中的平行关系的应用问题．‎ ‎【解析】连接，，在四棱柱，求即可，易求得，，在，根据余弦定理可得 ‎．‎ ‎8．【答案】C ‎【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换、函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，考查学生的运算能力和转化思想．‎ ‎【解析】曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到，所以．令，得．当时，有，所以．‎ ‎9．【答案】B ‎【命题意图】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力．‎ ‎【解析】若过双曲线左焦点引渐近线的垂线，则该垂线的斜率为，对应方程为．由消去得，即点的纵坐标为，从而有的面积．‎ ‎∵，∴，则，得，代入，‎ 得，，∴双曲线的实轴长为2．‎ ‎ ‎ ‎10．【答案】C ‎【命题意图】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的求和公式，考查运算能力．‎ ‎【解析】由，可得，又．解得，则，，‎ ‎，‎ 当时，，取得最小值．‎ ‎11．【答案】D ‎【命题意图】本题考查椭圆的相关概念及直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力．‎ ‎【解析】设椭圆的半焦距为．由题意知，，设，则由题意知．因为线段的中点为，则．又因为点在直线上，故，即，整理得，，∴椭圆的离心率．‎ ‎12．【答案】C ‎【命题意图】本题考查不等式恒成立问题解法，考查运算能力和推理能力．‎ ‎【解析】不等式对任意恒成立，即为对任意恒成立，设，，则．设，则，由在上单调递减，可得，则在上单调递减，则有，可得在上单调递减，可得，则，即的取值范围是．‎ 二、填空题 ‎13．【答案】2‎ ‎【命题意图】本题考查不等式的解法、简易逻辑，考查推理能力与计算能力．‎ ‎ ‎ ‎【解析】由充分性可知，由必要性可知，故．‎ ‎14．【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想．‎ ‎【解析】由约束条件，作出可行域，如图中阴影部分所示，化目标函数：为，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最小，的最小值为．‎ ‎15．【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查几何体的外接球的表面积，考查逻辑推理能力以及运算求解能力．‎ ‎【解析】由题可知，所在截面阴的圆心在上，该圆的半径为．设球的半径为，三棱锥的高为，∵，∴，∴，∴，∴球的表面积．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【命题意图】本题考查数列与函数的综合应用、数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎【解析】由①，可得②．由②-①可得，即，由可得，，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，即，所以，设 ‎ ‎ ‎，则，当，即时，递增，当，即时，递减，故的最大值为．故，故实数的取值范围．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式等知识的综合应用，考查运算求解能力．‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵，‎ ‎∴由正弦定理可得，‎ 整理得，‎ ‎∴，∴．‎ 又∴，∴，‎ 又，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，∴是边的中点，．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即，．‎ 由余弦定理可得，‎ ‎∴．‎ ‎18．【命题意图】本题考查线面垂直的证明、二棱锥的体积的求法，考查运算求解能力．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可得，又，，‎ 由余弦定理可得．‎ ‎ ‎ ‎∴，∴．‎ 又平面，∴，‎ 又，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）在中，由勾股定理，易求得．‎ 设．‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴点为棱上靠近点的三等分点．‎ ‎19．【命题意图】本题考查分层抽样、独立性检验及古典概型概率的求法，考查数据处理能力及计算能力．‎ ‎【解析】（Ⅰ）列联表如下:‎ 有搜题软件依赖症 有搜题软件过度依赖症 合计 男 ‎60‎ ‎30‎ ‎90‎ 女 ‎90‎ ‎20‎ ‎110‎ 合计 ‎150‎ ‎50‎ ‎200‎ 则，‎ ‎∴有的把握认为该校高二学生是否“有搜题软件过度依赖症”与性别有关．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，在“有搜题软件过度依赖症”的50名学牛中，男、女生人数比为，‎ ‎∴用分层抽样的方法抽出5人，男生有人，女生有人．‎ 将3名男生记为，，，2名女生记为，，从中随机选出3人作重点发言，一共有，，，，，，，，，10种不同的选法，‎ ‎ ‎ 选出的这3人中至少有l名女生的不同选法有，，，，，，，，9种不同的选法，‎ ‎∴所求的概率为．‎ ‎20．【命题意图】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系，考查学生的运算能力及分类讨论思想．‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据条件可得点的坐标为．‎ 由可得．‎ 设，，则，．‎ 根据点，在抛物线上可得．‎ 则，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知抛物线的方程为．‎ 当直线的斜率不存在时，轴上的除外的任一点均满足使轴平分．‎ 当斜率存在时，由题可设直线的方程为，，．‎ 联立消去得，∴，．‎ 假设在轴上存在一点，使得轴平分，则，‎ ‎∴，∴．‎ 又，，∴．‎ 把（*）式代入上式化简得，∴，‎ ‎∴点．‎ ‎ ‎ 综上可知，在轴上存在一点，使得轴总是平分．‎ ‎21．【命题意图】本题主要考查导数的综合应用，考查学生的运算能力及转化思想．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可知．‎ 令，得．‎ 当时，，在上单调递减；‎ 当时，，在上单调递增．‎ 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为．‎ ‎（Ⅱ）当时，．‎ ‎．‎ 令，‎ 则．‎ ‎∴在上单调递增．‎ 又，∴当时，，即．‎ ‎∵，∴．‎ ‎∵，∴．‎ 而由知，‎ ‎∵，由（Ⅰ）知在上单调递减，‎ ‎∴，∴．‎ ‎22．【命题意图】本题考查参数方程与极坐标方程的互化，考查计算能力．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由曲线的参数方程是（是参数），消去得：‎ ‎ ‎ 曲线的普通方程为．‎ 所以的极坐标方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）不妨设，，，‎ 则．‎ 当时，取得最大值，最大值为．‎ ‎23．【命题意图】本题考查绝对值不等式的解法及求参数的取值范围，考查计算能力．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，‎ 当时，即，解得；‎ 当时，即，解得；‎ 当时，即，解得．‎ 故不等式的解集为．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴．‎ 当，即或时，不等式显然成立；‎ 当，即时，有，解得．‎ 故的取值范围为．‎