数学理卷·2019届广东省佛山市高二上学期期末教学质量检测（2018-01）

数学理卷·2019届广东省佛山市高二上学期期末教学质量检测（2018-01）

2018 年佛山市普通高中高二教学质量检测 数学（理科） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若命题 ，则 为（ ） A． B． C． D． 2．“ ”是“关于 的方程 有实数根”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．两条平行直线 与 间的距离为（ ） A． B． C． D． 4．已知抛物线 上点 到其焦点的距离为 6，则该抛物线的准线方 程为（ ） A． B． C． D． 5．直线 关于 轴对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知双曲线一条渐近线方程为 ，则双曲线方程可以是（ ） A． B． C． D． 7．若圆 与圆 相切，则 等于（ ） A．16 B．7 C．-4 或 16 D．7 或 16 2 0 0 0: , 2 2 0p x x x∃ ∈ + + ≤R p¬ 2 0 0 0, 2 2 0x x x∃ ∈ + + >R 2 0 0 0, 2 2 0x x x∃ ∉ + + >R 2, 2 2 0x x x∀ ∈ + + ≥R 2, 2 2 0x x x∀ ∈ + + >R 1a = x 2 2x a x+ = 3 4 12 0x y+ − = 8 11 0ax y+ + = 13 10 13 5 7 2 23 5 ( )2 2 0y px p= > ( )4,M m 4x = − 2x = − 2x = 4x = 2 3 2 0x y− + = x 2 3 2 0x y+ + = 2 3 2 0x y+ − = 2 3 2 0x y− − = 2 3 2 0x y− + = 4 3y x= 2 2 13 4 x y− = 2 2 13 4 y x− = 2 2 116 9 x y− = 2 2 116 9 y x− = ( )2 2 1 : 1 1C x y− + = 2 2 2 : 8 8 0C x y x y m+ − + + = m 8．已知曲线 的方程为 ，给定下列两个命题： ：若 ，则曲线 为椭圆； ：若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则 . 那么，下列命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 9．若直线 与曲线 有公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知椭圆 的右焦点为 ，过点 的直线 交 于 两点.若过原点 与线段 中点的直线的倾斜角为 135°，则直线 的方程为（ ） A． B． C． D． 11．在直角梯形 中， ， ， 分别是 的中点， 平面 ，且 ，则异面直线 所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 12．已知双曲线 ，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆 与双曲线的两条渐近线相交于 四点，四边形 的面积为 ，则双曲线的离 心率为（ ） A． B．2 C． D．4 第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．过点 且与直线 垂直的直线方程 ． C 2 2 125 9 x y k k + =− − p 9 25k< < C q C x 9k < p q∧ ( )p q∧ ¬ ( )p q¬ ∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ 3 0x y m− + = ( )24 3y x= − − m 5 3,4 3 3 − −  4 3 3,4 3 3 − − −  4 3 3, 5 3 − − −  5 3, 3 − −  2 2 : 118 9 x yE + = F F l E ,A B AB l 2 3 0x y− − = 2 3 0x y+ − = 3 0x y− − = 2 3 0x y− − = ABCD AD BC∥ AB AD⊥ ,E F ,AB AD PF ⊥ ABCD 1 22AB BC PF AD= = = = ,PE CD ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > , , ,A B C D ABCD ab 2 5 ( )1,1 3 4 2 0x y+ + = 14．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ． 15．《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马， 一为鳖臑.”这里所谓的“鳖臑（biē nào）”，就是在对长方体进行分割时所产生的四个面都 为直角三角形的三棱锥.已知三棱锥 是一个“鳖臑”， 平面 ， ，且 ， ，则三棱锥 的外接球的表面积 为 ． 16． 是双曲线 右支上一点， 分别是圆 和 上的点，则 的最大值为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤．） 17．已知平行四边形 的三个顶点坐标为 ， ， . （Ⅰ）求顶点 的坐标； （Ⅱ）求四边形 的面积. 18．已知 为圆 上的动点， 的坐标为 ， 在线段 上， 满足 . （Ⅰ）求 的轨迹 的方程. （Ⅱ）过点 的直线 与 交于 两点，且 ，求直线 的方程. 19．如图，直四棱柱 的所有棱长均为 2， 为 中点. A BCD− AB ⊥ BCD AC CD⊥ 2AB = 1BC CD= = A BCD− P 2 2 115 yx − = ,M N ( )2 24 4x y+ + = ( )2 24 1x y− + = PM PN− ABCD ( )1,2A − ( )0, 1B − ( )4,1C D ABCD A ( )2 2: 4 36x yΓ − + = B ( )2,0− P AB 1 2 BP AP = P C ( )1,3− l C ,M N 2 3MN = l 1 1 1 1ABCD A B C D− E 1CC （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的大小. 20．已知抛物线 的顶点在原点 ，对称轴是 轴，且过点 . （Ⅰ）求抛物线 的方程； （Ⅱ）已知斜率为 的直线 交 轴于点 ，且与曲线 相切于点 ，点 在曲线 上， 且直线 轴， 关于点 的对称点为 ，判断点 是否共线，并说明理由. 21．如图，在四棱锥 中， 、 、 均为等边三角形， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. 22．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，且经过点 . （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ） 的顶点都在椭圆 上，其中 关于原点对称，试问 能否为正三角 形？并说明理由. 1 1AC ∥ 1BED 60DAB∠ = ° 1BED ABCD C O x ( )3,2 3 C k l y P C A B C PB x∥ P B Q , ,A Q O P ABCD− PAB∆ ACD∆ PBC∆ AB BC⊥ BD ⊥ PAC CD PBC Γ ( )1 2,0F − ( )2 2,0F 5 3,2 2P −   Γ ABC∆ Γ A B、 ABC∆ 2017~2018 年佛山市普通高中高二教学质量检测 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题 1-5：DACBA 6-10：DCCAD 11、12：BB 二、填空题 13． 14． 15． 16．5 三、解答题 17．解：(Ⅰ)如图，设 ， 因为四边形 为平行四边形，所以对角线互相平分， 又 ， ，所以 ， 又 ，所以顶点 的坐标为 . (Ⅱ)依题意可得 ， 故直线 的方程为 ，即 ， 又 ， 点 到直线 的距离 . 所以四边形 的面积 . 4 3 1 0x y− − = 312 2 π+ 4π AC BD M= ABCD ( )1,2A − ( )4,1C 3 3,2 2M      ( )0, 1B − D ( )3,4 1 1 1 4 0 2BCk += =− BC 1 12y x= − 2 2 0x y− − = ( ) ( )2 24 0 1 1 2 5BC = − + − − = A BC ( )22 1 2 2 2 7 5 51 2 d − − × −= = + − ABCD 7 52 5 145S BC d= = × = 18．解：(Ⅰ)设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， 依题意得 ，即 ， 所以 ，解得 ， 又 ，所以 ，即 又 ，所以点 的轨迹 的方程为 . (Ⅱ)因为直线 与曲线 交于 两点，且 ， 所以原点 到直线 的距离 . 若 斜率不存在，直线 的方程为 ，此时符合题意； 若 斜率存在，设直线 的方程为 ，即 ， 则原点 到直线 的距离 ，解得 ， 此时直线 的方程为 所以直线 的方程为 或 . 19．解：(Ⅰ)连结 交 于 ，取 中点 ，连结 . 因为 ，所以 是平行四边形，故 . 又 是 的中位线，故 ，所以 ， 所以四边形 为平行四边形. 所以 ，所以 ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 . P ( ),x y A ( )0 0,x y 2AP PB=  ( ) ( )0 0, 2 2 ,x x y y x y− − = − − − ( )0 0 2 2 2 x x x y y y − = − − − = − 0 0 3 4 3 x x y y = +  = ( )2 2 0 04 36x y− + = 2 29 9 36x y+ = 2 2 4x y+ = 0AP ≠ P C ( )2 2 4 2x y x+ = ≠ − l C ,M N 2 3MN = O l 4 3 1d = − = l l 1x = − l l ( )3 1y k x− = + 3 0kx y k− + + = O l 2 3 1 1 kd k += = + 4 3k = − l 4 3 5 0x y+ − = l 4 3 5 0x y+ − = 1x = − AC BD O 1BD F ,EF FO 1 1AA CC∥ 1 1ACC A 1 1AC AC∥ OF 1BDD∆ 1 1 2OF DD∥ OF EC∥ OCEF OC EF∥ 1 1AC EF∥ 1 1AC ⊄ 1BED EF ⊂ 1BED 1 1AC ∥ 1BED (Ⅱ)以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示， 则 ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 则 ，即 ， 解得 ， 令 ，得 ， 显然平面 的一个法向量 ， 所以 ， 所以平面 与平面 所成锐二面角的大小为 45°. 20．解：(Ⅰ)根据题意，可设抛物线 的标准方程为 ， 所以 ，解得 ， 所以抛物线 的方程为 . (Ⅱ)点 共线，理由如下： 设直线 ，联立 得 () 由 ，解得 ， O O xyz− ( )0,1,0B ( )3,0,1E − ( )1 0, 1,2D − ( )3, 1,1BE = − − ( )1 0, 2,2BD = − 1BED ( )1 , ,n x y z= 1 1 1 0 0 n BE n BD  ⋅ = ⋅ =     3 0 2 2 0 x y z y z − − + =− + = 0x z y =  = 1y = ( )1 0,1,1n = ABCD ( )2 0,0,1n = 1 2 1 2 1 2 1 2cos , 22 1 n nn n n n ⋅= = = ×      1BED ABCD C ( )2 2 0y px p= > ( )2 2 3 2 3p= ⋅ 2p = C 2 4y x= , ,A Q O :l y kx m= + 2 4y x y kx m  =  = + ( )2 2 22 4 0k x mk x m+ − + = ( ) ( )2 2 22 4 4 16 1 0mk m k mk∆ = − − = − = 1m k = 则直线 ，得 ， ， 又 关于点 的对称点为 ，故 ， 此时，()可化为 ，解得 ， 故 ，即 ， 所以 ，即点 共线. 21．解：(Ⅰ)因为 ， ， 为公共边， 所以 ， 所以 ，又 ， 所以 ，且 为 中点. 又 ，所以 ， 又 ，所以 ，结合 ， 可得 ， 所以 ， 即 ，又 ， 故 平面 ，又 平面 ，所以 . 又 ，所以 平面 . (Ⅱ)以 为原点，建立空间直角坐标系 如图所示， 不妨设 ，易得 ， ， 则 ， ， ， ， 1:l y kx k = + 10,P k      2 1 1,4B k k      P B Q 2 1 1,2Q k k      2 2 2 12 0k x x k − + = 2 1x k = 1 2y kx k k = + = 2 1 2,A k k      2OA OQk k k= = , ,A Q O AB CB= AD CD= BD ABD CBD∆ ≅ ∆ ABD CBD∠ = ∠ AB BC= AC BD⊥ O AC PA PC= PO AC⊥ AB BC⊥ OA OB OC= = PA PB= Rt RtPOA POB∆ ≅ ∆ 90POB POA∠ = ∠ = ° PO OB⊥ OA OB O= PO ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD PO BD⊥ PO AC O= BD ⊥ PAC O O xyz− 1OA = 1OP = 3OD = ( )0,0,1P ( )1,0,0B − ( )0,1,0C ( )3,0,0D 所以 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，解得 ， 令 得 ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 ， 所以 与平面 所成角的正弦值为 . 22．解：(Ⅰ)设椭圆 的标准方程为 ， 依题意得 ， ， 所以 ， ， 故椭圆 的标准方程为 . (Ⅱ)若 为正三角形，则 且 ， 显然直线 的斜率存在且不为 0， 设 方程为 ， ( )0,1, 1PC = − ( )1,1,0BC = ( )3, 1,0CD = − PBC ( ), ,n x y z= 0 0 n PC n BC  ⋅ = ⋅ =     0 0 y z x y − =  + = x y z y = −  = 1y = ( )1,1,1n = − CD PBC θ sin cos , n CD n CD n CD θ ⋅ = =       3 1 3 3 62 3 + += = × CD PBC 3 3 6 + Γ ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2c = 2 2 1 2 5 32 22 2a PF PF    = + = + + −       2 25 32 2 102 2    + − + − =       10a = 2 2 2b a c= − Γ 2 2 110 6 x y+ = ABC∆ AB OC⊥ 3OC OA= AB AB y kx= 则 的方程为 ，联立方程 ， 解得 ， ， 所以 ， 同理可得 . 又 ，所以 ， 化简得 无实数解， 所以 不可能为正三角形. OC 1y xk = − 2 23 5 30 y kx x y =  + = 2 2 30 5 3x k = + 2 2 2 30 5 3 ky k = + ( )2 2 2 2 30 1 5 3 k OA x y k + = + = + ( )22 2 2 130 1 30 1 1 3 55 3 kkOC k k  +  + = = +× + 3OC OA= ( ) ( )2 2 2 2 30 1 30 1 33 5 3 5 k k k k + + = ⋅+ + 2 3k = − ABC∆