高考数学专题复习：合情推理

高考数学专题复习：合情推理

‎2．1.1　合情推理 一、选择题 ‎1、已知函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(8)＝3，对任意的正实数x1，x2，f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，猜想f(x)的表达式为(　　)‎ A．f(x)＝2x B．f(x)＝2x C．f(x)＝log2x D．f(x)＝0‎ ‎2、当a，b，c∈(0，＋∞)时，由≥，≥，运用归纳推理，可猜测出的合理结论是(　　)‎ A.≥(ai>0，i＝1,2，…n)‎ B.≥(ai>0，i＝1,2，…n)‎ C.≥(ai∈R，i＝1,2，…n)‎ D.≥(ai>0，i＝1,2，…n)‎ ‎3、已知a1＝1，an＋1>an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，计算a2，a3，猜想an等于(　　)‎ A．n B．n‎2 ‎‎ C．n3 D.－ ‎4、设n是自然数，则(n2－1)[1－(－1)n]的值(　　)‎ A．一定是零 B．不一定是偶数 C．一定是偶数 D．是整数但不一定是偶数 ‎5、数列2,5,11,20，x,47，…中的x的值为(　　)‎ A．28 B．‎32 C．33 D．27‎ 二、填空题 ‎6、对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“________________”；这个类比命题的真假性是__________．‎ ‎7、设n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝－，T4＝0，T5＝－，…，Tn，…，其中Tn＝________.‎ ‎8、观察下列等式：‎ ‎1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3,1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，由此推测第n个等式为__________________________．‎ 三、解答题 ‎9、设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用f(n)表示这n条直线交点的个数．‎ ‎(1)求f(4)；‎ ‎(2)当n>4时，用n表示出f(n)．‎ ‎10、观察下列等式：‎ ‎①cos 2α＝2cos2α－1；‎ ‎②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；‎ ‎③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；‎ ‎④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；‎ ‎⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1.‎ 可以推测，m－n＋p＝________.‎ ‎11、观察①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1.②tan 5°tan 10°＋‎ tan 10°tan 75°＋tan 75°tan 5°＝1.由以上两式成立得到一个由特殊到一般的推广，‎ 此推广是什么？并证明你的推广．‎ ‎12、平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，若f(n)表示这n个圆把平面分割的区域数，试求f(n)．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C　[由于log28＝log223＝3，‎ 即满足f(8)＝3.‎ log2(x1·x2)＝log2x1＋log2x2，‎ 即满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．]‎ ‎2、D　[≥(ai>0，i＝1,2，…n)是基本不等式的一般形式，这里 等号当且仅当a1＝a2＝…＝an时成立．结论的猜测没有定式，但合理的猜测是有目标的．]‎ ‎3、B　[计算得a2＝4，a3＝9，∴猜想an＝n2.]‎ ‎4、C　[(1)当n为偶数时，(n2－1)[1－(－1)n]＝0为偶数．‎ ‎(2)当n为奇数时(n＝2k＋1，k∈N)，‎ (n2－1)[1－(－1)n]＝(4k2＋4k)·2＝k(k＋1)为偶数．‎ 由①②知，(n2－1)[1－(－1)n]的值一定为偶数．]‎ ‎5、B　[∵5－2＝3,11－5＝6,20－11＝9，‎ ‎∴x－20＝12，∴x＝32.]‎ 二、填空题 ‎6、夹在两个平行平面间的平行线段相等　真命题 ‎7、 解析　观察Tn表达式的特点可以看出T2＝0，T4＝0，……，∴当n为偶数时，Tn＝0；‎ 又∵T3＝－，T5＝－，……，∴当n为奇数时，Tn＝－.‎ ‎8、12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2‎ ‎＝(－1)n－1(1＋2＋3＋…＋n)‎ 三、解答题 ‎9、解　(1)‎ 如图所示，可得f(4)＝5.‎ ‎(2)∵f(3)＝2；‎ f(4)＝5＝f(3)＋3；‎ f(5)＝9＝f(4)＋4；‎ f(6)＝14＝f(5)＋5；‎ ‎……‎ ‎∴每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数．‎ ‎∴f(n)＝f(n－1)＋n－1，‎ 累加得f(n)＝f(3)＋3＋4＋5＋…＋(n－1)‎ ‎＝2＋3＋4＋5＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．‎ ‎10、962‎ 解析　观察得：式子中所有项的系数和为1，‎ ‎∴m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，‎ ‎∴m＋n＋p＝162，又p＝10×5＝50，m＝29＝512，‎ ‎∴n＝－400，∴m－n＋p＝962.‎ ‎11、解　观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°.猜想此推广为α＋β＋γ＝且 α，β，γ都不为kπ＋ (k∈Z)，‎ 则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.‎ 证明：①γ＝0时，等式显然成立．‎ ‎②当γ≠0时，由α＋β＋γ＝，‎ 得α＋β＝－γ，‎ 所以tan(α＋β)＝.‎ 又因为tan(α＋β)＝，‎ 所以tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan α·tan β)‎ ‎＝(1－tan α·tan β)，‎ 所以tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α ‎＝tan αtan β＋tan γ(tan α＋tan β)‎ ‎＝tan αtan β＋tan γ·(1－tan αtan β)＝1.‎ 综上所述，等式成立．‎ ‎12、解　∵f(n)表示n个圆把平面分割成的区域数，如果再有一个圆和这n个圆相交，则 增加2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区 域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n，‎ 亦即f(n＋1)－f(n)＝2n，‎ 又f(1)＝2，由递推公式得 f(2)－f(1)＝2×1，‎ f(3)－f(2)＝2×2，‎ f(4)－f(3)＝2×3，‎ ‎……，‎ f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．‎ 将以上n－1个等式累加得 f(n)＝2＋2[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝n2－n＋2.‎