安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（理）试题

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二上学期第一次段考数学（理）试题

六安一中2019～2020年度高二年级第一学期第一次阶段检测 数学试卷（理科）‎ 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知命题，则命题的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称命题的否定是特称命题，可直接得出结果.‎ ‎【详解】命题“”的否定是“”.‎ 故选C ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，只需改量词和结论即可，属于基础题型.‎ ‎2.若，则下列不等式不一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】本试题主要是考查了不等式性质的运用，和均值不等式的判定．‎ 因为，根据不等式取倒数性质可知 ，成立，选项B中，根据对数函数y=log2x递增性质可知成立，选项C中，,当成立，否则不成立，选项D中根据均值不等式可知成立，故选C.‎ 解决该试题的关键是不等式性质的准确运用．‎ ‎3.设，则函数的最小值为（ ）‎ A. 0 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，根据基本不等式，直接求最值即可.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由基本不等式求函数的最值，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎4.不等式表示的平面区域是一个（ ）‎ A. 三角形 B. 直角三角形 C. 梯形 D. 矩形 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可先将不等式解出，再在平面直角坐标系中做出图形，最后得出结果．‎ ‎【详解】不等式① ②，‎ 以上不等式组①表示的平面区域如图，‎ 不等式组②中的几个二元一次不等式表示的平面区域无公共部分，‎ 所以原不等式组表示的平面区域是图中的梯形.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】在解不等式时，如果出现多种情况，可以分类讨论．‎ ‎5.已知向量，且为正实数，若满足，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量的数量积结合基本不等式即可．‎ ‎【详解】由题意得，因为，为正实数，则 当且仅当时取等．所以选择A ‎【点睛】本题主要考查了向量的数量积以及基本不等式，在用基本不等式时要满足一正二定三相等．属于中等题 ‎6.方程(x2＋y2－4))＝0的曲线形状是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由可得：‎ ‎ 或 它表示直线和圆在直线右上方的部分 故选 ‎7.已知实数，满足约束条件，若的最小值为3，则实数（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由约束条件，作出可行域，再由目标函数可化为，得到表示直线在轴截距，根据题中条件，结合图像，即可得出结果.‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如下：‎ 又目标函数可化为，‎ 因此表示直线在轴截距，‎ 由图像可得，当直线过点时，截距最小，‎ 由解得，‎ 又最小值为3，‎ 所以，解得.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查由目标函数的最值求参数的问题，通常需要由约束条件作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.‎ ‎8.若满足约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A. -2 B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，因为目标函数表示区域内上的点与点连线的斜率．由图知当区域内的点与点的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得或（舍），所以，故选C．‎ ‎9.若对于任意的,关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设，根据已知条件知：，该不等式表示的平面区域如图所示，设，所以，所以该方程表示以原点为圆心，半径为的圆，原点到直线的距离为，所以该圆的半径，解得，故选A.‎ 考点：简单的线性规划求最值.‎ ‎10.已知函数，若关于的方程有三个不同实数解的充要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求关于的方程有三个不同实数解的充要条件，即是由已知条件求的范围，根据方程，先求出或；先由函数解析式，求出的实数解，再由题意，讨论和两种情况，即可得出结果.‎ ‎【详解】由解得或；‎ 因为，‎ 当时，由或，所以或；共3个实根；‎ 又关于的方程有三个不同实数解，‎ 当时，显然满足题意；‎ 当，无解；‎ 又，所以只需即可；‎ 综上，.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查由函数零点求参数的问题，灵活运用转化与化归的思想，以及分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.‎ ‎11.对函数，如果存在使得，则称与为函数图像的一组奇对称点.若（为自然数的底数）存在奇对称点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意，函数存在奇对称点，即函数图像上存在两点关于原点对称，可设两点为，，即，，因为关于原点对称，所以，即，因为，所以，故选B．‎ ‎12.下列命题正确的个数是（ ）‎ ‎①命题已知或，，则是的充分不必要条件；‎ ‎②“函数最小正周期为”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③在上恒成立在上恒成立；‎ ‎④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件是“”‎ ‎⑤命题函数的值域为，命题函数是减函数.若或为真命题，且为假命题，则实数的取值范围是.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充分条件与必要条件的概念，可判断①②④的真假；根据不等式恒成立，利用分类讨论的思想，可判断③；由复合命题真假，求出参数，即可判断⑤的真假.‎ ‎【详解】对于①，命题“若或，则”的逆否命题为“若，则”显然是假命题，因此原命题也是假命题，由不能推出，所以不是的充分条件；①错；‎ 对于②，因为，若其最小正周期为，则，解得；因此由“函数最小正周期为”不能推出“”；由“”能推出“函数的最小正周期为”，所以“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；②正确；‎ 对于③，由在上恒成立，‎ 可得在上恒成立，所以；‎ 又易知在单调递增，所以；‎ 当时，在上显然成立；‎ 当时，在单调递增，所以；‎ 由得，所以；‎ 当时，在单调递减，所以；‎ 由得，所以；‎ 综上；‎ 即“在上恒成立”，与“在上恒成立”不等价；故③错.‎ 对于④，若平面向量与的夹角是钝角，则，所以；‎ 反之，若，则，可能使，此时向量反向，夹角不是钝角.‎ 所以“平面向量与的夹角是钝角”是“”的充分不必要条件，故④错误；‎ 对于⑤，假设为真命题，则要取尽大于0的所有实数，因此只需，所以；假设为真命题，则，解得；‎ 因为或为真命题，且为假命题，所以、一真一假；‎ 即真假，或假真，所以有或，解得；故⑤正确.‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查命题真假的判断，熟记充分条件与必要条件的概念，以及复合命题的真假的判断即可，属于常考题型.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.近来猪肉价格起伏较大，假设第一周、第二周猪肉价格分别为元/斤、元/斤，家庭主妇甲和乙买猪肉的方式不同：家庭主妇甲每周买3斤猪肉，家庭主妇乙每周买50元钱的猪肉，试比较谁购买方式更实惠（两次平均价格低视为实惠）__________（在横线上填甲或乙即可）．‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到甲乙两人两周购买猪肉的平均价格，利用基本不等式比较大小，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意，甲两周购买猪肉的平均价格为；当且仅当时，取等号；‎ 乙两周购买猪肉的平均价格为，当且仅当时，取等号；‎ 因此.当且仅当时，取等号；‎ 因此，乙的购买方式更实惠.‎ 故答案为乙 ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎14.若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意得到，恒成立，推出，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】因为命题“，使得”为假命题，‎ 所以，恒成立，‎ 所以只需，解得.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数的问题，熟记一元二次不等式恒成立的判定条件即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知，若对，使成立，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，求出在上的值域，再由，使成立，得到在上恒成立即可，利用基本不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】因为在上是减函数，所以；‎ 又对，使成立，‎ 所以只需在上恒成立；‎ 即上恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ 因为，‎ 当且仅当，即时，取等号；‎ 所以只需即可.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎16.已知R，且满足，若存在R使得成立，则点构成的区域面积为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：对应的区域为三角形OAB，‎ 若存在R使得成立，‎ 则，‎ 令,则,‎ 则方程等价为，‎ 即，‎ ‎∵存在R使得成立，‎ ‎∴,即x2+y2⩾1，‎ 则对应的区域为单位圆的外部，‎ 由,解得,即，‎ A(4,0),则三角形OAB的面积，‎ 直线的倾斜角为，‎ 则,即扇形的面积为，‎ 则P(x,y)构成的区域面积为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.给定两个命题：p：对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0恒成立，q：函数y＝3x－a在x∈[0,2]上有零点，如果(p)∧q为假命题，q为假命题，求a的取值范围．‎ ‎【答案】[1,4)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出，为真命题的的范围，由为假命题，为假命题，得到与都是真命题，由此能求出的取值范围 ‎【详解】若为真命题，则有或，即，‎ 故当为真命题时，‎ 若为真命题时，方程在上有根 当时，有 ，，‎ 即当为真命题时，‎ 为假命题，中至少有一个为假命题 又为假命题，为真命题 为假命题，为真命题 当都为真时，即 故所求的取值范围是 故答案为 ‎【点睛】本题考查了含有联结词“非”命题的真假性，在求解过程中先求出真命题的解集，然后再求出参数范围，注意本题的解法．‎ ‎18.（1）已知，求的最大值；‎ ‎（2）已知，求的最大值；‎ ‎（3）已知，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1） ;(2) ；（3）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式，由，结合题中条件，即可得出结果；‎ ‎（2）由，利用基本不等式，即可求出结果；‎ ‎（3）根据，利用基本不等式，得到，解不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）,‎ ‎，‎ 当且仅当，‎ 即时，. ‎ ‎（2）,‎ ‎,‎ 当且仅当，即时取等号，‎ 的最大值为.‎ ‎（3）由，‎ 得,‎ 当且仅当，即，时，取等号.‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎,‎ 即的最小值为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值的问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型.‎ ‎19.已知曲线上任意一点到的距离与到点的距离比为.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）设在轨迹上，若恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设曲线上的任意一点为，根据题意列出等量关系，化简整理，即可得出结果；‎ ‎（2）根据点在圆上，设,得到，将恒成立转化为恒成立，即可求出结果.‎ ‎【详解】（1）设曲线上的任意一点为，‎ 由题意得，‎ 整理得：，‎ 即曲线方程是：.‎ ‎（2）因为在圆上，设,‎ ‎（其中）,‎ ‎.‎ 恒成立，‎ 即恒成立，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程，以及圆的参数方程，熟记轨迹方程的求法，以及圆的参数方程即可，属于常考题型.‎ ‎20.解关于的不等式 ‎【答案】当时，不等式的解集是或；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将不等式化为，当时，分，，三种情况讨论，求出解集；当，化简原不等式，直接求出结果；当时，化简不等式，解对应一元二次不等式，即可求出结果.‎ ‎【详解】不等式可化为.‎ ‎①当时，原不等式可以化为，‎ 根据不等式的性质，这个不等式等价于.‎ 因为方程的两个根分别是2，，‎ 所以当时，，‎ 则原不等式的解集是；‎ 当时，原不等式的解集是；‎ 当时，，则原不等式的解集是.‎ ‎②当时，原不等式为，解得，‎ 即原不等式的解集是.‎ ‎③当时，原不等式可以化为，根据不等式的性质，‎ 这个不等式等价于，由于，‎ 故原不等式的解集是或.‎ 综上所述，当时，不等式的解集是或；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为；‎ 当时，不等式的解集为.‎ 当时，不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.‎ ‎21.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为6，‎ ‎（1）求实数应满足的关系式；‎ ‎（2）当为何值时，取得最小值，并求出此最小值.‎ ‎【答案】(1) .(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由约束条件，作出可行域，由求出；‎ ‎（1）结合图像，由目标函数的几何意义，确定在点处取得最大值，从而可得到满足的关系式；‎ ‎（2）根据（1）的结果，将化为，进而可求出结果.‎ ‎【详解】由约束条件画出的可行域，如图中阴影部分所示.‎ 由，‎ 解得，‎ 即.‎ ‎（1）因为，‎ 所以由图知在点处取得最大值，‎ 即.‎ ‎（2）由得，所以.‎ 因为，‎ 所以当时，取得最小值.‎ 将代入，‎ 得，‎ 于是，当，时，‎ 取得最小值，最小值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查由目标函数最值求参数的问题，以及二次函数最值的问题，处理线性规划问题，一般先由约束条件作出可行域，结合目标函数的几何意义与图像即可求解，属于常考题型.‎ ‎22.如图,有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD,在点A处有一个可转动的探照灯,其照射角始终为（其中点P，Q分别在边BC，CD上）,设．‎ ‎（Ⅰ）用t表示出PQ的长度,并探求的周长l是否为定值；‎ ‎（Ⅱ）问探照灯照射在正方形ABCD内部区域阴影部分的面积S最大为多少（平方百米）?‎ ‎【答案】（1）定值；（2）平方百米.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎---2分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=定值 ‎ ‎-‎ 所以探照灯照射在正方形内阴影部分的面积最大为平方百米.‎