数学卷·2018届湖南师大附中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届湖南师大附中高二上学期期中数学试卷（文科） （解析版）

‎2016-2017学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若用系统抽样法抽样：先用简单随机抽样从883人中剔除n人，剩下的人再按系统抽样的方法进行，则抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为（　　）‎ A．11，3 B．3，11 C．3，80 D．80，3‎ ‎2．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎3．已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若实数λ使得λ+与垂直，则λ=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎4．函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎5．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数，满分为100），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（　　）‎ A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b C．b⊂β，若b⊥α则β⊥α D．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c ‎7．下列命题中正确的有（　　）‎ ‎①命题∃x∈R，使sin x+cos x=的否定是“对∀x∈R，恒有sin x+cos x≠”；‎ ‎②“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的充要条件；‎ ‎③R2越小，模型的拟合效果越好；‎ ‎④十进制数66化为二进制数是1 000 010（2）．‎ A．①②③④ B．①④ C．②③ D．③④‎ ‎8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎9．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知x，y∈[﹣2，2]，任取x、y，则使得（x2+y2﹣4）≤0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎11．1 887与2 091的最大公约数是　　．‎ ‎12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是　　．‎ ‎13．若椭圆+=1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎14．从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：‎ 分组（重量）‎ ‎[80，85）‎ ‎[85，90）‎ ‎[90，95）‎ ‎[95，100）‎ 频数（个）‎ ‎10‎ ‎50‎ m ‎15‎ 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的土鸡蛋的根底为 ‎（1）求出n，m的值及该样本的众数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1，g2，求|g1﹣g2|≥10的概率？‎ ‎15．已知命题p：方程x2﹣2mx+7m﹣10=0无解，命题q：x∈（0，+∞），x2﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题，求m的取值范围．‎ ‎16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎17．f（x）是定义在R的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则函数f（x）在区间[﹣3，3]内的零点个数的最小值是（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．9‎ ‎18．点P是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎19．已知实数x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，则x+2y的最小值等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC ‎1）求角C大小；‎ ‎（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．‎ ‎21．已知等差数列{an}满足：a2=3，a5﹣2a3+1=0．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足：{bn}=（﹣1）nan+n（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn．‎ ‎22．如图，已知焦点在x轴上的椭圆=1（b＞0）有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥（O为原点）．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证：⊥，并求||的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年湖南师大附中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．某学校为了了解高二年级学生对教师教学的意见，打算从高二年级883名学生中抽取80名进行座谈，若用系统抽样法抽样：先用简单随机抽样从883人中剔除n人，剩下的人再按系统抽样的方法进行，则抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为（　　）‎ A．11，3 B．3，11 C．3，80 D．80，3‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样方法的定义，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵883=80×11+3，‎ ‎∴抽样间隔和随机剔除的个体数n分别为11，3．‎ 故选A ‎　‎ ‎2．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】要注意三角形内角和是180度，不要丢掉这个大前提．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，‎ ‎∵A＞30°，‎ ‎∴30°＜A＜180°，‎ ‎∴0＜sin A＜1，‎ ‎∴可判断它是sinA＞的必要而不充分条件．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．已知向量=（1，﹣3），=（4，﹣2），若实数λ使得λ+与垂直，则λ=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．‎ ‎【分析】利用向量的垂直的充要条件，列出方程，求解即可．‎ ‎【解答】解：λ+=（λ+4，﹣3λ﹣2），代入（λ+）•=0，‎ 即：λ+4+9λ+6=0，解得λ=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．函数f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）的最大值为（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】利用两角和与差的三角函数，化简三角函数为一个角的一个三角函数的形式，然后求解最大值．‎ ‎【解答】解：f（x）=sin（x+）+cos（x﹣）=sin x+cos x=2sin（x+），知其最大值为2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩（成绩为整数，满分为100），其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图．‎ ‎【分析】由已知的茎叶图，我们可以求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率，得到答案．‎ ‎【解答】解：记其中被污损的数字为x．‎ 依题意得甲的5 次综合测评的平均成绩为90，‎ 乙的5 次综合测评的平均成绩为，‎ 令≥90，由此解得x≥8，‎ 即x的可能取值为8和9，‎ 由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为： =，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．设a、b、c表示三条直线，α、β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是（　　）‎ A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β B．b⊂β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b C．b⊂β，若b⊥α则β⊥α D．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】A：由面面平行的性质定理可得：若c⊥α，α∥β，则c⊥β；B：由三垂线定理得；C：当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；D：由线面平行的判定定理判断得；‎ ‎【解答】解：对于A正确，c⊥α，α∥β，则c⊥β；‎ 对于B正确，由三垂线定理得；‎ 对于C不正确，当b⊂β，若β⊥α，则由面面垂直的性质定理得，未必有b⊥α；‎ 对于D正确，由线面平行的判定定理判断得；‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．下列命题中正确的有（　　）‎ ‎①命题∃x∈R，使sin x+cos x=的否定是“对∀x∈R，恒有sin x+cos x≠”；‎ ‎②“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的充要条件；‎ ‎③R2越小，模型的拟合效果越好；‎ ‎④十进制数66化为二进制数是1 000 010（2）．‎ A．①②③④ B．①④ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】利用命题的否定形式，判断①的正误；利用充要条件判断②的正误；利用独立检验判断③的正误；利用进位制求解判断④的正误．‎ ‎【解答】解：①命题∃x∈R，使sin x+cos x=的否定是“对∀x∈R，恒有sin x+cos x≠”；满足命题的否定形式，所以①正确；‎ ‎②“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的充要条件；不是充要条件，所以②不正确；‎ ‎③R2越小，模型的拟合效果越好；不满足独立检验的判断，所以不正确；‎ ‎④1 000 010（2）=1×26+1×2=66（10）．十进制数66化为二进制数是1 000 010（2）．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（　　）‎ A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据程序框图，进行运行，得到S的取值具备周期性，利用周期即可得到程序终止的条件，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：据程序框图，可看做是：已知a1==﹣2，an+1=，求a2016，‎ 由已知有=﹣1，求出通项an=﹣（或由前几项归纳），‎ 故a2016=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．椭圆（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2．若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；等比关系的确定．‎ ‎【分析】由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，由|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列可得到e2==，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：设该椭圆的半焦距为c，由题意可得，|AF1|=a﹣c，|F1F2|=2c，|F1B|=a+c，‎ ‎∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，‎ ‎∴（2c）2=（a﹣c）（a+c），‎ ‎∴=，即e2=，‎ ‎∴e=，即此椭圆的离心率为．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎10．已知x，y∈[﹣2，2]，任取x、y，则使得（x2+y2﹣4）≤0的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】把（x2+y2﹣4）≤0转化为不等式组，画出图形求出图中阴影部分占正方形的面积比即可．‎ ‎【解答】解：（x2+y2﹣4）≤0等价于 不等式，‎ 画出图形，如图所示；‎ 则不等式组表示的是图中的阴影部分，‎ 所求的概率为P==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎11．1 887与2 091的最大公约数是　51　．‎ ‎【考点】用辗转相除计算最大公约数．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是辗转相除法，根据辗转相除法的步骤，将1 887与2 091代入易得到答案．‎ ‎【解答】解：∵2091=1×1887+204，‎ ‎1887=9×204+51，‎ ‎204=4×51，‎ 故1 887与2 091的最大公约数是51，‎ 故答案为：51．‎ ‎　‎ ‎12．一个多面体内接于一个旋转体，其正视图、侧视图及俯视图都是一个圆的正中央含一个正方形，如图，若正方形的边长是1，则该旋转体的表面积是　3π　．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，则球的直径是，即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：原几何体是一个棱长为1的正方体内接于一个球，‎ 则球的直径是，故球的表面积是4π•=3π．‎ 故答案为3π．‎ ‎　‎ ‎13．若椭圆+=1（a＞b＞0）上的任意一点P到右焦点F的距离|PF|均满足|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，则该椭圆的离心率e的取值范围为　（0，]　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由题意可知：|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，即|PF|2﹣2a|PF|+a2﹣b2≤0，解得：a﹣b≤|PF|≤a+b，由椭圆的图象可知：a﹣c≤丨PF丨≤a+c，列不等式组，即可求得c≤b，根据椭圆的性质求得a≥2c，由椭圆的离心率公式，可得e=≤，由0≤e≤1，即可求得椭圆的离心率e的取值范围．‎ ‎【解答】解：由椭圆方程可得： +=1（a＞b＞0），‎ 可得a2﹣b2=c2，‎ ‎∵|PF|2﹣2a|PF|+c2≤0，‎ ‎|PF|2﹣2a|PF|+a2﹣b2≤0，‎ ‎∴a﹣b≤|PF|≤a+b，‎ 而椭圆中，a﹣c≤丨PF丨≤a+c，‎ 故，‎ ‎∴c≤b，‎ ‎∴c2≤a2﹣c2，即2c2≤a2，‎ ‎∴a≥2c，‎ ‎∴e=≤，‎ ‎∵0≤e≤1，‎ ‎∴e∈（0，]，‎ 故答案为：（0，]．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎14．从一批土鸡蛋中，随机抽取n个得到一个样本，其重量（单位：克）的频数分布表如表：‎ 分组（重量）‎ ‎[80，85）‎ ‎[85，90）‎ ‎[90，95）‎ ‎[95，100）‎ 频数（个）‎ ‎10‎ ‎50‎ m ‎15‎ 已知从n个土鸡蛋中随机抽取一个，抽到重量在[90，95）的土鸡蛋的根底为 ‎（1）求出n，m的值及该样本的众数；‎ ‎（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的土鸡蛋中共抽取5个，再从这5个土鸡蛋中任取2 个，其重量分别是g1，g2，求|g1﹣g2|≥10的概率？‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）依频数分布表性质列出方程组，能求出n，m的值及该样本的众数．‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个，则重量在[80，85）的有职有2个，在[95，100]的个数有3个，从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有10种情况，要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”，由此能求出从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|≥10的概率．‎ ‎【解答】解：（1）依题意可得，，‎ 解得m=20，n=95．‎ 众数是： =87.5．‎ ‎（2）若采用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100]的土鸡蛋中共抽取5个，‎ 则重量在[80，85）的个数为，记为x，y，‎ 在[95，100]的个数为=3，记为a，b，c，‎ 从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个共有：‎ ‎（x，a），（x，b），（x，c），（a，b），（a，c），（b，c），（y，a），（y，b），（y，c），（x，y）10种情况．‎ 要|g1﹣g2|＞10，则必须是“重量在[80，85）和[95，100]中各有一个”，‎ 这样的情况共有（x，a），（x，b），（x，c），（y，a），（y，b），（y，c）6种．‎ 设事件A表示“抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|＞10”，‎ 则P（A）=，‎ ‎∴从抽出的5个土鸡蛋中，任取2个，重量满足|g1﹣g2|≥10的概率为．‎ ‎　‎ ‎15．已知命题p：方程x2﹣2mx+7m﹣10=0无解，命题q：x∈（0，+∞），x2﹣mx+4≥0恒成立，若p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题，求m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】由p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题得：p与q为一真一假；分别求出命题p，q为真假时参数m的范围，可得答案．‎ ‎【解答】解：当命题p为真时，有：△=（﹣2m）2﹣4（7m﹣10）＜0，‎ 解得：2＜m＜5；‎ 当命题q为真时，有：m≤=x+，对x∈（0，+∞）恒成立，‎ 即m≤（x+）min，‎ 而x∈（0，+∞）时，（x+）min=4，当x=2时取等号．‎ 即m≤4．‎ 由p∨q是真命题，且￢（p∧q）也是真命题得：p与q为一真一假；‎ 当p真q假时，，即4＜m＜5；‎ 当p假q真时，，即m≤2或m≥5，‎ 综上，所求m的取值范围是（﹣∞，2]∪（4，5）．‎ ‎　‎ ‎16．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点M在圆x2+y2=1上，求m的值．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）由椭圆的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），由，得3x2+4mx+2m2﹣8=0，由此利用要根的判别式、韦达定理、中点坐标公式能求出m的值．‎ ‎【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，其中左焦点为F（﹣2，0），‎ ‎∴由题意得，‎ 解得a=2，b=2，‎ ‎∴椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（x0，y0），‎ 由，消去y得3x2+4mx+2m2﹣8=0，‎ ‎△=96﹣8m2＞0，‎ ‎∴﹣2＜m＜2，‎ ‎∵x0==﹣，‎ ‎∴y0=x0+m=，‎ ‎∵点M（x0，y0）在圆x2+y2=1上，‎ ‎∴（﹣）2+（）2=1，‎ ‎∴m=±．‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共2个小题，每小题5分，满分10分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎17．f（x）是定义在R的以3为周期的奇函数，且f（2）=0，则函数f（x）在区间[﹣3，3]内的零点个数的最小值是（　　）‎ A．4 B．5 C．7 D．9‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】利用函数的周期以及奇函数求解函数的零点即可．‎ ‎【解答】解：f（2）=0，f（﹣2）=0，f（1）=0，f（﹣1）=0，‎ f（0）=0，f（3）=0，f（﹣3）=0，‎ f（）=f（﹣+3）=f（），又f（﹣）=﹣f（），则f（）=f（﹣）=0，‎ 故至少可得9个零点．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎18．点P是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当P在第一象限时，P点的纵坐标为（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆方程求出a，c，△PF1F2的内切圆半径为1，利用三角形的面积公式，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：|PF1|+|PF2|=10，|F1F2|=6，‎ 点P是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，‎ ‎=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）×1=8=|F1F2|•yP，‎ yP=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共1个小题，每小题5分，共5分．请把答案填在答题卷对应题号后的横线上．‎ ‎19．已知实数x，y使得x2+4y2﹣2x+8y+1=0，则x+2y的最小值等于　﹣2﹣1　．‎ ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】将x2+4y2﹣2x+8y+1=9化简为（x﹣1）2+4（y+1）2=4，利用换元法，令，通过三角函数的有界性，求出最小值即可．‎ ‎【解答】解：由题意：x2+4y2﹣2x+8y+1=0，化简为（x﹣1）2+4（y+1）2=4，‎ 令，θ∈[0，2π）．‎ 则：x=2cosθ+1，y=sinθ﹣1．‎ 所以：x+2y=2cosθ+1+2sinθ﹣2=2cos θ+2sin θ﹣1=2sin（）﹣1‎ ‎∵sin（）的最小值为﹣1，‎ ‎∴x+2y的最小值﹣2﹣1．‎ 故答案为：﹣2﹣1．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC ‎1）求角C大小；‎ ‎（2）求sinA﹣cos（B+）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；三角函数的最值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=．‎ ‎（2）B=﹣A，化简sinA﹣cos（B+），通过0＜A＜，推出＜A+＜，求出2sin（A+）取得最大值2．得到A，B．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC，‎ 因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，‎ 又cosC≠0，所以tanC=1，C=．‎ ‎（2）有（1）知，B=﹣A，于是 sinA﹣cos（B+）=sinA+cosA ‎=2sin（A+）．‎ 因为0＜A＜，所以＜A+＜，‎ 从而当A+=，即A=时 ‎2sin（A+）取得最大值2．‎ 综上所述sinA﹣cos（B+）的最大值为2，此时A=，B=．‎ ‎　‎ ‎21．已知等差数列{an}满足：a2=3，a5﹣2a3+1=0．‎ ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）若数列{bn}满足：{bn}=（﹣1）nan+n（n∈N*），求{bn}的前n项和Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）由已知得bn=（﹣1）n（2n﹣1）+n，对n分类讨论即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）令等差数列{an}的公差为d，由a2=3，a5﹣2a3+1=0，得，‎ 解得a1=1，d=2，‎ 故数列{an}的通项公式为an=2n﹣1（n∈N*）．‎ ‎（2）由已知得bn=（﹣1）n（2n﹣1）+n，‎ 若n为偶数，结合an﹣an﹣1=2，得 Sn=（﹣a1+a2）+（﹣a3+a4）+…+（﹣an﹣1+an）+（1+2+…+n）=2•+=；‎ 若n为奇数，则Sn=Sn﹣1+bn=﹣（2n﹣1）+n=．‎ ‎　‎ ‎22．如图，已知焦点在x轴上的椭圆=1（b＞0）有一个内含圆x2+y2=，该圆的垂直于x轴的切线交椭圆于点M，N，且⊥（O为原点）．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）设内含圆的任意切线l交椭圆于点A、B．求证：⊥，并求||的取值范围．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设出M，N的坐标，利用⊥知|y1|=，即点（，）在椭圆上，代入椭圆方程，即可求b的值；‎ ‎（2）分类讨论，当l⊥x轴时，由（1）知⊥；当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用韦达定理证明x1x2+y1y2=0即可，利用弦长公式，结合换元、配方法，即可确定|AB|的取值范围．‎ ‎【解答】（1）解：当MN⊥x轴时，MN的方程是x=±，‎ 设M（±，y1），N（±，﹣y1），‎ 由⊥知|y1|=，‎ 即点（，）在椭圆上，代入椭圆方程得b=2．‎ ‎（2）证明：当l⊥x轴时，由（1）知⊥；‎ 当l不与x轴垂直时，设l的方程是：y=kx+m，即kx﹣y+m=0‎ 则=，即3m2=8（1+k2）‎ y=kx+m代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，‎ ‎△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=（4k2+1）＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2==0，即⊥．‎ 即椭圆的内含圆x2+y2=的任意切线l交椭圆于点A、B时总有⊥．‎ 当l⊥x轴时，易知|AB|=2=‎ 当l不与x轴垂直时，|AB|==•‎ 设t=1+2k2∈[1，+∞），∈（0，1]‎ 则|AB|=•=•‎ 所以当=即k=±时|AB|取最大值2，‎ 当=1即k=0时|AB|取最小值，‎ 综上|AB|∈．‎ ‎　‎ ‎2016年12月10日