【推荐】专题2-6 对数及对数函数-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题2-6 对数及对数函数-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学

‎2.6对数与对数函数 真题回放 ‎1.【2017天津，理6】已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】 ‎【解析】因为是奇函数且在上是增函数，所以在时，，‎ 从而是上的偶函数，且在上是增函数，‎ ，‎ ，又，则，所以即，‎ ，‎ 所以，故选C．‎ ‎【考点】指数、对数、函数的单调性 ‎【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.‎ ‎2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质 的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是 ‎（参考数据：lg3≈0.48）‎ ‎（A）1033 （B）1053  （C）1073 （D）1093‎ ‎【答案】D ‎【考点】对数运算 ‎【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是时，两边取对数，对数运算公式包含，，.‎ ‎3.【2016高考全国卷理第11题】设x、y、z为正数，且，则（ ）‎ A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z ‎【答案】D ‎4.【2017高考浙江卷理第12题】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= .‎ ‎【答案】， ‎ 5.【2015高考新课标2，理5】设函数,( )‎ A．3 B．6 C．9 D．12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．‎ ‎【考点定位】分段函数．‎ ‎【名师点睛】本题考查分段函数求值，要明确自变量属于哪个区间以及熟练掌握对数运算法则，属于基础题．‎ ‎6.【2015高考天津，理7】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为( )‎ ‎（A）（B）（C）（D） ‎【答案】C ‎【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 指数与对数 B 指数函数的图像与性质 B 对数函数的图像与性质 B 幂函数 A 融会贯通 题型一　对数式计算 典例1 (2016~2017学年山东省德州市高一上学期期末检测) __________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意得， ‎ ‎ ‎ ‎【变式训练1】(河南省郑州市第一中学2016-2017学年高一下学期入学摸底)若，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【变式训练2】(2017届江西抚州市七校高三理上学期联考)设函数，则 _____________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】,.‎ 考点：分段函数与对数运算.‎ 知识链接：‎ 对数的运算：‎ ‎①log＝log ‎②log ‎③（M、N＞0, ＞0, 1）‎ 推广： ‎④换底公式：（，＞0，1，1）‎ 典例2 (四川省简阳市2016-2017学年高一上学期期末)已知， ， ，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】， ，所以.‎ ‎【变式训练1】(浙江省诸暨市牌头中学高一练习)已知，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【变式训练2】(2015-2016学年福建省漳州一中高二上学期期末理设，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】 故选A．‎ 考点：对数值比较大小 知识链接：‎ 利用对数函数比较大小问题的处理方法：‎ ‎①看类型 ②同底用单调性 ③其它类型找中间量．‎ 零和负数无对数，是求函数定义域的又一条原则．‎ 典例3 (浙江省诸暨市牌头中学高一练习)，则________‎ ‎【答案】 ‎【变式训练】 (必修1P63习题5改编)若log34·log48·log8m=log416，则m=　　　　.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】由已知有··=2lg m=2lg 3m=9. ‎ 题型二　对数函数的图像与性质 命题点1 对数函数的图像 典例1 (2016~2017高一数学人教A版)已知函数的图像恒过定点，则点的坐标是________‎ ‎【答案】 ‎【解析】的图像恒过点，令则 令，则，所以的坐标是 考点：对数函数图像恒过定点 知识链接：‎ 对数函数 ‎（1）对数函数定义：形如＝（＞0且≠1，＞0）的函数，叫做对数函数．‎ ‎（2）对数函数的图象与性质 的范围 图象 性质 ‎0＜＜1‎ ‎①过点(1,0)； ‎ ‎②当0＜＜1时, ＞0；‎ 当＞1时, ＜0；‎ ‎③在(0,＋∞)上是减函数 ＞1‎ ① 过点(1,0)；‎ ② ‎0＜＜1时, ＜0；‎ 当＞1时, ＞0；‎ ③ 在(0,＋∞)上是增函数.‎ ‎【变式训练】(必修1P75习题5改编)函数的图象过定点　　　　.‎ ‎【答案】(1，-1)‎ 典例2 (2016-2017学年甘肃省武威一中高一上学期第一次阶段考)函数的图像关于（ ）‎ A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】 其定义域为， 为奇函数，‎ 奇函数的图象关于点（0，0）对称 考点：函数奇偶性 ‎ 解题技巧与方法总结 利用图象解题具有形象直观性.作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象 ‎【变式训练】(海南省海南中学、文昌中学2017届高三下学期联考数文）)函数满足，那么函数的图象大致是（ ）‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数的定义域为，可知选项为C.‎ 典例3 (2015-2016学年江苏徐州沛县中学高二下学期质检二数理）)已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】 解题技巧与方法总结 对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合来求解.一些含对数的方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数的图象问题，利用数形结合法求解.‎ ‎【变式训练1】(2016-2017年安徽阜阳临泉县一中高一理12月考)已知函数．‎ ‎（1）若定义域为，求实数的取值范围； ‎ ‎（2）若值域为，求实数的取值范围； ‎ ‎（3）是否存在，使在上单调递增，若存在，求出的取值范围；不存在，说明理由． ‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）不存在这样的实数．‎ 考点：对数函数的图象与性质．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了对数函数的图象与性质及其应用，其中解答中涉及到对数函数的定义域、值域，对数函数的单调性及其应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理列出不等式是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．‎ ‎【变式训练2】已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).‎ ‎(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.‎ ‎(2)若f(1)=1，求函数f(x)的单调区间.‎ ‎(3)是否存在实数a，使得函数f(x)的最小值为0?若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.‎ 知识链接：‎ 对数函数图象特征 时，与的图象关于轴对称；‎ ，与的图象关于轴对称；‎ 对数函数＝（＞0且≠1，＞0）都以轴为渐近线（当 时，图象向上无限接近轴，当时，图象向下无限接近轴）．‎ 命题点2对数函数的性质 典例 (2016~2017南京第二十九中学高一周测)若函数在区间上是减函数，则的取值范围是________‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题意是复合函数，由同增异减得在上单调减，所以 ‎ 在上有意义 ‎ 在上恒成立 ‎ 即，所以 ‎ 综上 考点：对数函数的单调性 ‎ ‎【变式训练1】(2016~2017浙江省诸暨市牌头中学练习17)已知函数，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性 ‎【答案】 奇函数 在是减函数 ‎【变式训练2】函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数，都有成立．已知当时， ‎(1)求时，函数f(x)的表达式；‎ ‎(2)求时，函数的解析式；‎ ‎(3)若函数的最大值为，在区间上，解关于x的不等式 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由，且是R上的偶函数 得 ‎(2)当时，．‎ 同理，当时，．‎ 所以 ‎(3)由于函数以2为周期，故考察区间[－1,1]．‎ 若，即.‎ 若，则，舍去，故.‎ 由(2)知所求不等式的解集为(－2＋，2－)∪(，4－)．‎ 命题点3对数函数的图像与性质 典例1 (2016~2017高一数学人教A版)已知是上的增函数，则的取值范围为_________‎ ‎【答案】 考点：分段函数的单调性 ‎【变式训练1】(2017届河北省武邑中学高三上学期周考文若函数在区间上的最大值是最小值的3倍，则等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】因,故函数是单调递减函数,所以 ,由题设可得,即,故,应选A.‎ 考点：对数函数的图象和性质及运用.‎ ‎【易错点晴】指数函数对数函数是高中数学中重要的基本初等函数,指数函数与对数函数的图象和性质不仅是高中数学的重要内容,也是解答数学问题的重要思想和方法.解答本题时,要充分运用题设条件,借助当因,故对数函数是单调递减函数这一性质,分别求出函数的最大值和最小值.再依据题设建立方程,最后通过解方程求得.‎ ‎【变式训练2】(2015-2016学年重庆市八中高二下期中文函数 在区间上递减，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C 考点：对数函数的图象与性质.‎ 典例2 已知函数若，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】∪(1，＋∞)‎ ‎【解析】画图象可得是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由，得，即，解得.‎ 解题技巧与方法总结 解函数不等式时，要充分利用函数的单调性和奇偶性，转化为代数不等式(组)，从而求解.对于不等式恒成立问题，通常利用分离参数的方法，转化为研究函数的最值(值域)‎ ‎【变式训练1】已知函数若，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】(－2,1)‎ ‎【变式训练2】已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】 题型三　对数函数的综合运用 典例1(北京市西城区2017届高三4月统一测试（一模）理)函数的零点个数为( )‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】令， ，在同一直角坐标系，作出函数与的图像，如下图 由图像可知，函数的零点个数为2个.‎ ‎【变式训练】(2017~2018学年高中数学章末分层突破) 是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点的个数是________‎ ‎【答案】3‎ 典例2(2016~2017高一数学人教A版)函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎ 的值域为 考点：指数、对数函数值域、复合函数值域 ‎【变式训练】函数log在上的最大值与最小值之和为，则的值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】 ∵与y=log单调性相同且在上的最值分别在两端点处取得.‎ 最值之和: ‎ f(0)loglog ‎ ‎∴log. ‎ ‎∴. ‎ 典例3设函数，若对任意，都存在，使，则实数的取值范围为________‎ ‎【答案】 ‎【解析】，令，则，设值域为A，因为对任意都存在使，所以，设的值域为，则，显然当时，上式成立；当时，解得，当时，即恒成立，综上 知识链接：‎ 对数函数与指数函数的关系 对数函数＝（＞0且≠1，＞0）是指数函数 的反函数．互为反函数的两个函数的图象关于直线对称．‎ 知识交汇 ‎1.(2017届河北省武邑中学高三上学期周考理函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A 考点：基本不等式和对数函数的性质.‎ ‎【交汇技巧】‎ 本题考察基本不等式，复合函数的值域、对数函数的图像与性质等等，解答本题的关键是将真数部分凑成基本不等式的形式，求出真数部分所对应的值域，再求出整个复合函数的值域，本题需要注意运用基本不等式等号是否能取以及对数函数中真数大于零 ‎2.(2016-2017学年四川省乐山市高一上学期期末考试)已知，函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考点：对数函数的图象与性质；二次函数的图象．‎ ‎【交汇技巧】‎ 本题主要考察二次函数的图像、对数函数的图像与性质，解答本题的关键是根据二次函数图像与x轴交点的分布，从而得到a，b的范围，再由对数函数的图像和性质确定函数图像单调性及渐近线 ‎3.(2017届山西运城市高三文上学期期中)已知函数（）与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：两个函数存在关于轴的对称点，即有实根，即有实根，即左右两个函数在有交点，结合两个函数的图象可知当时有交点，故的取值范围是.‎ 考点：函数的图象与性质.‎ ‎【交汇技巧】本题主要考查函数图象换和零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查数形结合的数学思想方法.首先将已知“两个函数图象存在关于轴的对称点”，转 化为有实根来求解，化简后得到有实根.先画出函数的图象，当时，，所以函数中的最大值为，由此求得.‎ ‎4.(河北省定州市2016-2017学年高一上学期期末)已知，且 ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）在恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎①当时，有，得， ‎ ‎②当时，有，得， ‎ 故实数的取值范围.‎ ‎【交汇技巧】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查对数不等式的解法，考查恒成立问题的解法，考查分类讨论的数学思想方法.第一问由于是已知的，利用一元二次不等式的解法，求得，解这个对数不等式可求得不等式的解集.第二问同样利用一元二次不等式的解法，求得，由于的范围不确定，故要对分成两类，结合单调性来讨论.‎ ‎5.已知函数，函数，，则下列判断不正确的是( )‎ A．若，则有四个零点 B．若，则有三个零点 C．若，则有两个零点 D．若，则有一个零点 ‎【答案】A ‎【交汇技巧】本题重点考察根的存在性即根的分布问题，对于复合函数根的个数问题应“由表及里”，先探究外函数的根的分布，再根据外函数的根探究的根的个数 练习检测 ‎1．（1）已知 值.‎ ‎（2）已知，求．‎ ‎【答案】（1） （2）1-a ‎ ‎ ‎2.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)函数，当成立时，的取值范围是_________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】 ‎ 函数，时，单调递增，时，单调递减 ‎ 当成立时，‎ ‎ ‎3.(山东高密市第三中学2017届高三一轮理)不等式的解集是___________________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】 ‎ ‎ ‎4.(2016-2017学年广东省清远市三中高一理上学期第二次月考)已知函数,且,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：或 考点：函数求值 ‎5.(2016-2017学年海南省海南中学高二下学期期末文)函数的递减区间为（ ）‎ A．（1，＋∞） B. ‎ C．（－∞，1） D. ‎【答案】A 考点：复合函数的单调性 ‎6.的定义域为,则实数的取值范围是（ ）‎ A . B. C. D. ‎【答案】D ‎7．已知函数，若，则实数x的取值范围　　．‎ ‎【答案】（﹣，﹣2）∪（2，）‎ ‎8.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为________‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎9.函数的图像恒过点，若点在直线上（其中），则的最小值为_________‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】当时，恒成立 ‎ 故函数的图像恒过点 ‎ 若点在直线上，‎ ‎ 则，故=()=4+=8‎ ‎10.(2016-2017学年江西省南城一中高二上学期期中考试理已知，则的最小值是（ ）‎ A． B．3 C．2 D．4‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎11.已知=，若，则实数的取值范围是　　．‎ ‎【答案】 ‎12.已知函数，2≤x≤8.‎ ‎(1)令，求关于的函数关系式，并写出的范围；‎ ‎(2)求该函数的值域．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：(1) ‎ ‎＝，‎ 令t＝log2x，得 ‎，‎ 又2≤x≤8，‎ ‎∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，‎ 即1≤t≤3.‎ ‎(2)由(1)得，1≤t≤3，‎ 当时，；‎ 当t＝3时，ymax＝1，∴，‎ 即该函数的值域为.‎ ‎13.已知函数是偶函数 ‎（1）求的值 ‎（2）若方程有解，求的取值范围 ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎