2019学年高二数学上学期期中试题 理（新版）新人教版

2019学年高二数学上学期期中试题 理（新版）新人教版

1 2019 学年度第一学期期中考试卷 高二数学（理科） 考试时间：120 分钟；满分 150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题; 共 60 分） 一、选择题（共 12 题，每题 5 分共 60 分） 1．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ）． A．（1）是棱台 B．（2）是圆台 C．（3）是棱锥 D．（4）不是棱柱 2.如果直线 a⊂平面α，直线 b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则( ) A．l⊂α B．l⊄ α C．l∩α＝M D．l∩α＝N 3.已知向量 =（1，x，-3）， =（2，4，y），且 // ，那么 x+y 等于（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 4． 为空间任意一点，若 ，则 四点 ( ) A. 一定不共面 B. 一定共面 C. 不一定共面 D. 无法判断 5．长方体的一个顶点上三条棱的长分别是 3、4、5，且它的八个顶点都在同一个球面上， 则这个球的表面积是( ) A.π B．25π C．50π D．200π 6．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如右图所示的直观图，其中 B′O′＝C′ O′＝1，A′O′＝ 3 2，那么原△ABC 是一个( )． 2 A．等边三角形 B．直角三角形 C．三边中有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形 7．直线 被圆 所截得的弦长等于 ，则 的值为 （ ） A、-1 或-3 B、 C、1 或 3 D、 8． 8. 已知空间向量 =（1，n，2）， =（-2，1，2），若 与 垂直，则 等于（ ） A. B. C. D. 9．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的 侧视图可能为( )． 10．下列命题中错误．．的是（ ） A.如果平面 平面 ，平面 平面 ， ，那么 B.如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 C.如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 D.如果平面 平面 ，过 内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于 11．如图，四面体 中， ，且 ， 分别是 的中点， 则 与 所成的角为（ ） A. B. C. D. 3 12．圆 上的点到直线 的最大距离与最小距离的差是 A．36 B. 18 C. D. 第 II 卷（非选择题 ;共 90 分） 二、填空题（共 4 题，每题 5 分共 20 分） 13 ． 已 知 ， 点 在 轴 上 ， 且 ， 则 点 的 坐 标 为 ____________. 14．长方体 中， ，则 与平面 所 成的角的大小为 15．已知在长方 ABCD 中， ,点 是边 上的中点，则 __________． 16．如图所示，正方体 的棱长为 1， 分 别 是 棱 的 中 点 ， 过 直 线 的 平 面 分 别 与 棱 交于 ，恰出以下四个命题： ① 平 面 一 定 为 矩 形 ； ② 平 面 平 面 ； ③当 为 的中点时， 的面积最小； ④四棱锥 的体积为常数. 以上命题中正确命题的序号为__________. 三、解答题（共 6 题，70 分） 17．某个几何体的三视图如图所示(单位：m)， (1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)． 4 18．已知圆经过 两点，并且圆心在直线 上。 (1)求圆的方程； (2)求圆上的点到直线 的最小距离。 19．已知曲线是与两个定点 A（－4，0），B（2，0）距离比为 2 的点的轨迹，求此曲线的 方程 20.如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，F，F1 分别是 AC，A1C1 的中点． 求证：(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF； (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 21．在直三棱柱 中， ∠ACB=90° Ｍ是 的中点，Ｎ是 的中点。 （１）求证：MN∥平面 ； （２）求点 到平面 BMC 的距离。 22．如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD，AF∥DE，DE=3AF， BE 与平面 ABCD 所成角为 60°． （Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE；（Ⅱ）求二面角 F-BE-D 的余弦值； （Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF， 并证明你的结论． 5 2017-2018 学年度第一学期期中考试卷 高二数学（理科）答案 一、选择题：1-5CAABC 6-10ACDCD 11-12BC 二、填空题：13 0 0 3，， . 14. 6  15. 4 16．②③④ 三、计算题：17 解 由三视图可知：该几何体的下半部分是棱长为 2 m 的正方体，上半部 分是半径为 1 m 的半球． (1)几何体的表面积为 S＝1 2 ×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π(m2)． (2)几何体的体积为 V＝23＋1 2 ×4 3 ×π×13＝8＋2π 3 (m3)． 18. 【解析】试题分析：（1）设出圆的一般方程，利用待定系数法求解；（2）结合几何图 形，先求出圆心到直线的距离，再减去半径的长度即可。 试题解析： （1）设圆的方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ， 由已知条件有   2 2 2 2 2 5 2 5 0 { 2 1 2 0 1 2 2 2 D E F D E F E D                   ， 解得 4 { 2 11 D E F       所以圆的方程为 2 2 4 2 11 0,x y x y        2 22 1 16x y   即 . （2）由（1）知，圆的圆心为  2,1 ，半径 r=4, 所以圆心到直线3 4 23 0x y   的距离  22 3 2 4 1 23 5 3 4 d        则圆上点到直线3 4 23 0x y   的最小距离为 1d r  。 19. 设 M（x,y）是曲线上任意点，点 M 在曲线上的条件是 MA MB =2 6 则 2 2 2 2 ( 4) ( 2) x y x y     =2 整理得(x－4) 2 +y 2 =16 所求曲线是圆心为(4,0)，半径为 4 的圆 .20. 证明：(1)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中， ∵F，F1 分别是 AC，A1C1 的中点， ∴B1F1∥BF，AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F， ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AA1⊥平面 A1B1C1， ∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1， ∴B1F1⊥平面 ACC1A1，而 B1F1⊂平面 AB1F1， ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1. 21. （1）如图所示，取 B1C1 中点 D，连结 ND、A1D ∴DN∥BB1∥AA1 又 DN＝ MAAABB 111 2 1 2 1  ∴四边形 A1MND 为平行四边形。 ∴MN∥A1 D 又 MN  平面 A1B1C1 AD1  平面 A1B1C1 ∴MN∥平面 111 CBA --------------------------6 分 (2)因三棱柱 111 CBAABC  为直三棱柱， ∴C1 C ⊥BC，又∠ACB=90° ∴BC⊥平面 A1MC1 在平面 ACC1 A1 中，过 C1 作 C1H⊥CM，又 BC⊥C1H，故 C1H 为 C1 点到 平面 BMC 的距离。 在等腰三角形 CMC1 中，C1 C=2 2 ,CM=C1M= 6 ∴ 3 341 1  CM ACCCHC .--------------------------8 分 22. (1)证明 ∵DE⊥平面 ABCD，∴DE⊥AC，∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，又 DE∩BD＝D， 7 ∴AC⊥平面 BDE. (2)解 DE⊥平面 ABCD， ∴∠EBD 就是 BE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EBD＝60°. ∴ ＝ .由 AD＝3，得 BD＝3 ，DE＝3 ，AF＝ . 如图，分别以 DA，DC，DE 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 A(3,0,0)， F(3,0， )，E(0,0，3 )，B(3,3,0)，C(0，3,0)． ∴ ＝(0，－3， )， ＝(3,0，－2 )． 设平面 BEF 的法向量为 n＝(x，y，z)，则 即 令 z＝ ，则 n＝(4,2， ) ∵AC⊥平面 BDE， ∴ ＝(3，－3,0)为平面 BDE 的一个法向量， ∵cos〈n， 〉＝ ＝ ＝ ， ∴结合图形知二面角 F-BE-D 的余弦值为 . (3)解 依题意，设 M(t，t,0)(0≤t＜3)，则 ＝(t－3，t,0)， ∵AM∥平面 BEF，∴ ·n＝0， 即 4(t－3)＋2t＝0，解得 t＝2. 8 ∴点 M 的坐标为(2,2,0)，此时 ＝ ， ∴点 M 是线段 BD 上靠近 B 点的三等分点