专题4-1 三角函数的图象与性质-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

专题4-1 三角函数的图象与性质-3年高考2年模拟1年原创备战2017高考精品系列之数学（理）（解析版）

2017 年高考备考之 3 年高考 2 年模拟 1 年原创 【三年高考】 1. 【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 为 的零点, 为 图像的对称轴,且 在 单调,则 的最大值为( ) （A）11 （B）9 （C）7 （D）5 【答案】B 2．【2016 高考新课标 2 理数】若将函数 的图像向左平移 个单位长度，则平移 后图象的对称轴为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由题意，将函数 的图像向左平移 个单位得 ，则平移后函数的对称轴为 ，即 ( ) sin( )( 0 ),2 4f x x+ x π πω ϕ ω ϕ= > ≤ = −， ( )f x 4x π= ( )y f x= ( )f x 5 18 36 π π    ， ω 2sin 2y x= 12 π ( )2 6 kx k Z π π= − ∈ ( )2 6 kx k Z π π= + ∈ ( )2 12 kx k Z π π= − ∈ ( )2 12 kx k Z π π= + ∈ 2sin 2y x= 12 π 2sin 2( ) 2sin(2 )12 6y x x π π= + = + 2 ,6 2x k k Z π π π+ = + ∈ ，故选 B. 3．【2016 年高考北京理数】将函数 图象上的点 向左平移（ ） 个单位长度得到点 ，若 位于函数 的图象上，则（ ） A. ，的最小值为 B. ，的最小值为 C. ，的最小值为 D. ，的最小值为 【答案】A 4．【2016 高考江苏卷】定义在区间 上的函数 的图象与 的图象的交点 个数是 . 【答案】7 【解析】由 ，因为 ，所以 共 7 个 5．【2016 高考天津理数】已知函数 f(x)=4tanxsin( )cos( )- . (Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期； （Ⅱ）讨论 f(x)在区间 ]上的单调性. 【解析】 解： 的定义域为 . .所以, 的最小正周 期 ,6 2 kx k Z π π= + ∈ sin(2 )3y x π= − ( , )4P t π 0s > 'P 'P sin 2y x= 1 2t = 6 π 3 2t = 6 π 1 2t = 3 π 3 2t = 3 π [0,3 ]π sin 2y x= cosy x= 1sin 2 cos cos 0 sin 2x x x x= ⇒ = =或 [0,3 ]x π∈ 3 5 5 13 17, , , , , , ,2 2 2 6 6 6 6x π π π π π π π= 2 x π − 3x π− 3 ,4 4 π π− ( )Ι ( )f x ,2x x k k Z π π ≠ + ∈    21 3=4sin cos sin 3 2sin cos 2 3sin 32 2x x x x x x  + − = + −    ( ) ( )=sin 2 3 1-cos2 3 sin 2 3 cos2 =2sin 2 3x x x x x π+ − = − − ( )f x 2 .2T π π= = 解：令 函数 的单调递增区间是 由 ,得 设 ，易知 .所以, 当 时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减. 6. 【2015 高考陕西，理 3】如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 ，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】C 7.【2015 高考安徽，理 10】已知函数 （ ， ， 均为正的常数） 的最小正周期为 ，当 时，函数 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】由题意， ， ，所以 ，则 ，而当 时， ，解得 3sin( )6y x k π ϕ= + + ( ) ( )sinf x xω ϕ= Α + Α ω ϕ π 2 3x π= ( )f x ( ) ( ) ( )2 2 0f f f< − < ( ) ( ) ( )0 2 2f f f< < − ( ) ( ) ( )2 0 2f f f− < < ( ) ( ) ( )2 0 2f f f< < − ( ) ( )sin ( 0, 0, 0)f x x Aω ϕ ω ϕ= Α + > > > 2 2 | |T π π πω ω= = = 2ω = ( ) ( )sin 2f x x ϕ= Α + 2 3x π= 2 32 2 ,3 2 k k Z π πϕ π× + = + ∈ ( )ΙΙ 2 ,3z x π= − 2siny z= 2 , 2 , .2 2k k k Z π ππ π − + + ∈   2 2 22 3 2k x k π π ππ π− + ≤ − ≤ + 5 , .12 12k x k k Z π ππ π− + ≤ ≤ + ∈ 5, , ,4 4 12 12A B x k x k k Z π π π ππ π  = − = − + ≤ ≤ + ∈      ,12 4A B π π = −   ,4 4x π π ∈ −   ( )f x ,12 4 π π −   4 12 π π − −  ， ，所以 ，则当 ，即 时， 取得最大值.要比较 的大小，只需判断 与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知 与 比较近， 与 比较近，所以，当 时， ，此时 ， ，当 时， ，此时 ，所以 ，故选 A. 8.【2015 高考湖南，理 9】将函数 的图像向右平移 个单位后得到 函数 的图像，若对满足 的 ， ，有 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D. 9.【2015 高考福建，理 19】已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得 到：先将 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得到的图像 向右平移 个单位长度. (Ⅰ)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程； (Ⅱ)已知关于的方程 在 内有两个不同的解 ． （1)求实数 m 的取值范围； （2)证明： 【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)（1） ；（2）详见解析． 【解析】解法一：(1)将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） 2 ,6 k k Z πϕ π= + ∈ ( ) sin 2 ( 0)6f x x A π = Α + >   2 26 2x k π π π+ = + ,6x k k Z π π= + ∈ ( )f x | 0 | 0.526 π−  | 2 | 1.476 π−  1k = − 5 6x π= − 5| 2 ( ) | 0.66 π− − −  (2) ( 2) (0)f f f< − < ( ) sin 2f x x= (0 )2 πϕ ϕ< < ( )g x 1 2( ) ( ) 2f x g x− = 1x 2x 1 2 min 3x x π− = ϕ = 5 12 π 3 π 4 π 6 π f( )x ( ) cosg x x= ( )g x 2 p f( )x f( ) g( )x x m+ = [0,2 )p ,a b 22cos ) 1.5 ma b- = -( f( ) 2sinx x= (k Z).2x k pp= + Î ( 5, 5)- ( ) cosg x x= ( ) ( ) ( )2 , 2 , 0f f f− 2, 2,0− 0,2 6 π 2− 5 6 π− 0k = 6x π= 得到 的图像，再将 的图像向右平移 个单位长度后得到 的图像，故 ，从而函数 图像的对称轴方程为 (2)1) （其中 ），依题意， 在区间 内有两个不同的解 当且仅当 ，故 m 的取值范围是 . 2)因为 是方程 在区间 内有两个不同的解，所以 ， .当 时， 当 时, 所以 y 2cos x= y 2cos x= 2 p y 2cos( )2x p= - f( ) 2sinx x= f( ) 2sinx x= (k Z).2x k pp= + Î 2 1f( ) g( ) 2sin cos 5( sin cos ) 5 5 x x x x x x+ = + = + 5 sin( )x j= + 1 2sin ,cos 5 5 j j= = sin( )= 5 mx j+ [0,2 )p ,a b | | 1 5 m < ( 5, 5)- ,a b 5 sin( )=mx j+ [0,2 )p sin( )= 5 ma j+ sin( )= 5 mb j+ 1 m< 5£ + =2( ), 2( );2 pa b j a b p b j- - = - + 5 > ( )cosy A x hω ϕ= + + ( )0, 0A ω> > 2T π ω= A cos tany x x= 2 2xp p- < < 2 2xp p- < < cos 0x > sincos tan cos sin , ( , )cos 2 2 xy x x x x xx p p = = = Î - 2π ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= + ( ) lg | sin |f x x= π 2π π 把函数 向右平移 个单位，得到函数 的图像; 把函数 向上平移 个单位，得到函数 的图像; 把函数 向下平移 个单位，得到函数 的图像. 伸缩变换: 把函数 图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 ，得到函数 的图像; 把函数 图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 ，得到函数 的 图像; 把函数 图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 ，得到函数 的 图像; 把函数 图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的 ，得到函数 的图像. 2.由 的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这 两个途径，才能灵活进行图象变换.利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩 后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图象变换要看“变 量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将 的图象向左 或向右 平移 个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍( )，便得 的 图象 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将 的图象上各点的横坐标变为原来的 倍( )，再沿轴向左( )或向右( )平移 个单位，便得 的 图象. 注意：函数 的图象，可以看作把曲线 上所有点向左(当 时) 或向右(当 时)平行移动 个单位长度而得到. ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= − ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= + ( )y f x= ( )0ϕ ϕ > ( )y f x ϕ= − ( )y f x= 1 ω ( )( )0 1y f xω ω= < < ( )y f x= 1 ω ( )( )1y f xω ω= > ( )y f x= A ( )( )1y Af x A= > ( )y f x= A ( )( )0 1y Af x A= < < siny x= ( )siny xω ϕ= + ( )0ω > siny x= ( )0ϕ > ( )0ϕ < ϕ 1 ω 0ω > ( )siny xω ϕ= + siny x= 1 ω 0ω > 0ϕ > 0ϕ < ω ϕ || ( )siny xω ϕ= + sin( ) y xω ϕ= + siny xω= 0ϕ > 0ϕ < ϕ ω 【规律方法技巧】 1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的 变换”的原则，写出每 一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错． 2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图 像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平 移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． 3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误． 4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身. 【考点针对训练】 1. 【2016 年江西师大附中高三上学期期末】已知函数 向右平移 个单位后 所得的图像与原函数图像关于轴对称，则 的最小正值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 【2016 年江西师大附中高三二模】已知函数 向右平移 个单位后，所得 的图像与原函数图像关于轴对称，则 的最小正值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】原函数向右平移 个单位后所得函数为 其与原函数关于轴对 称，则必有 ，由三角函数诱导公式可知 的最小正值为， 故本题的正确选项为 D. 【考点 3】求三角函数解析式 【备考知识梳理】 ,x y sin 3y x πω = +   3 π ω 5 2 sin 3y x πω = +   3 π ω 5 2 3 π )33sin( ωππ −+= wxy )3sin(-)33sin( πωππ +=−+ wxwx ω 1. 由 的图象求其函数式： 已知函数 的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低 点或特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把 第一个零点 作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 2.利用图象变换求解析式： 由 的图象向左 或向右 平移 个单位，，得到函数 ， 将图象上各点的横坐标变为原来的 倍( )，便得 ，将图象上各点的纵 坐标变为原来的 倍( )，便得 . 【规律方法技巧】 1.根据 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面 来考虑： (1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 A＝ 最高点－最低点 2 ； (2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即 k＝ 最高点＋最低点 2 ； (3) 的确定：结合图象，先求出周期 T，然后由 T＝2π ω (ω>0)来确定 ω； (4)φ 的确定：由函数 最开始与 x 轴的交点的横坐标为 (即令 ， )确定 .将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的 哪一个点.“第一点”（即图象上升时与 x 轴的交点）为 ，其他依次类推即可. 2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量 x 而言的，如果 x 的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【考点针对训练】 1. 【2016 届邯郸市第一中学高三十研】已知 的部分图像如图所示，则 的表达式为（ ） ( )siny A xω ϕ= + ( )siny A xω ϕ= + ω ϕ ,0 ϕ ω  −   siny x= ( )0ϕ > ( )0ϕ < ϕ ( )siny x ϕ= + 1 ω 0ω > ( )siny xω ϕ= + A 0A > ( )siny A xω ϕ= + ( )siny A x hω ϕ= + + ( )0, 0A ω> > ω ( )siny A x kω ϕ= + + ϕ ω− 0xω ϕ+ = x ϕ ω= − ϕ 0 0 2x kω ϕ π+ = + ( ) 2sin( )f x xω ϕ= + ( )f x A． B． C． D． 【答案】B 2. 【2016 届山东省东营市胜利一中高三最后一卷】定义 矩阵 ．若 ，则 的图象向右平移 个单位得到的函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考点 4】三角函数的单调性 【备考知识梳理】 1.三角函数的单调区间： 的递增区间是 ，递减区间是 ； 的递增区间是 ，递减区间是 ， xy sin=     +− 2222 ππππ kk ， )( Zk ∈     ++ 2 3222 ππππ kk ， )( Zk ∈ xy cos= [ ]πππ kk 22 ，− )( Zk ∈ [ ]πππ +kk 22 ， )( Zk ∈ 3( ) 2sin( )2 4f x x π= + 3 5( ) 2sin( )2 4f x x π= + 4 2( ) 2sin( )3 9f x x π= + 4 25( ) 2sin( )3 18f x x π= + 2 2× 1 2 1 4 2 3 3 4 a a a a a aa a   = −   ( ) ( ) ( ) sin 3 cos 1 xf x x π π  −=   +  ( )f x 3 π 22sin 3y x π = −   2sin 3y x π = +   2cosy x= 2siny x= 的递增区间是 ， 2.复合函数的单调性 设 ， 都是单调函数，则 在 上也 是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数， “里外”函数增减性相反，复合函数为减函数，如下表 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 【规律方法技巧】 1. 求形如 或 (其中 A≠0， )的函数的单调区间， 可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ( )”视为一个“整 体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ( )， ( )的单调区间 对应的不等式方向相同(反)． 2. 如何确定函数 当 时函数的单调性 对于函数 求其单调区间，要特别注意 的正负，若为负值，需要利用诱导 公式把负号提出来，转化为 的形式，然后求其单调递增区间，应把 放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把 放在正弦函数的递 增区间之内. 3.求函数 (或 ，或 )的单调区间的步 骤： (1)将 化为正． (2)将 看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 5．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“ ”. 【考点针对训练】 xy tan=      +− 22 ππππ kk ， )( Zk ∈ ( )y f u= ( ) [ ] [ ], , , ,u g x x a b u m n= ∈ ∈ ( )y f g x=    [ ],a b ( )y f u= ( )u g x= ( )y f g x=    ( )siny A xω ϕ= + ( )cosy A xω ϕ= + 0ω > xω ϕ+ 0ω > siny x= x R∈ cosy x= x R∈ cos( )y A xω ϕ= + tan( )y A xω ϕ= + ω xω ϕ+ k z∈ sin( )( 0)y A x Aω ϕ= + > 0ω < sin( )y A xω ϕ= + ω sin( )y A xω ϕ= − − − xω ϕ− − xω ϕ− − sin( )y A xω ϕ= + 1. 【2016 年安庆市高三二模】已知函数 （ , , ）的 部分图象如图所示,则 的递增区间为（ ） A． , B． , C． , D． , 【答案】B 【解析】由图象可知 , ,所以 ,故 .由 ,得 （ ）. ∵ ∴ ,所以 . 由 （ ）,得 （ ）.或： ,所以 , , ,所以 的 单增区间是 , .故选 B. 2. 【2016 年河南八市高三联考】已知函数 ，将函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右 平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的一个单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( ) ( )sinf x A xω ϕ= + 0A > 0ω > π 2 ϕ < ( )f x π 5π2 π, 2 π12 12k k − + +   k ∈Ζ π 5ππ, π12 12k k − + +   k ∈Ζ π 5π2 π, 2 π6 6k k − + +   k ∈Ζ 5,6 6k k π ππ π − + +   k ∈Ζ 2A = 3 11π π 3π 4 12 6 4T = − = πT = 2ω = 11( π) 212f = − π2 π 3kϕ = − k ∈Z π 2 φ = π 3 φ = − π( ) 2sin(2 )3f x x= − π π π2 (2 π 2 π )3 2 2x k k− ∈ − +， k ∈Z π 5π( π π )12 12x k k∈ − +， k ∈Z 3 11π π 3π 4 12 6 4T = − = πT = π π π π 6 4 6 4 12 T− = − = − π π π 5π 6 4 6 4 12 T+ = + = ( )f x π 5ππ, π12 12k k − + +   k ∈Ζ 2( ) cos(4 ) 2cos (2 )3f x x x π= − + ( )y f x= 6 π ( )y g x= ( )y g x= [ , ]3 6 π π− [ , ]4 4 π π− 2[ , ]6 3 π π 3[ , ]4 4 π π 【考点 5】三角函数的奇偶性 【备考知识梳理】 1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有 = ，则函数是偶函数，如果 有 =- ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 2．奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； 3． 为偶函数 ． 4．若奇函数 的定义域包含，则 ． 5. 为奇函数， 为偶函数， 为奇函数. 【规律方法技巧】 1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关 于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求 ；最后比较 和 的关系，如果有 = ，则函数是偶函数，如果有 =- ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数. 2. 如何判断函数 的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数 的奇偶性，常见的结论如下： ( )f x− ( )f x ( )f x− ( )f x y ( )f x ( ) (| |)f x f x⇔ = ( )f x (0) 0f = siny x= cosy x= tany x= ( )f x− ( )f x− ( )f x ( )f x− ( )f x ( )f x− ( )f x ( )f xω ϕ+ ( )f xω ϕ+ (1)若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 ； (2)若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 ； (3)若 为奇函数则有 . 【考点针对训练】 1. 【2016 届湖北省沙市中学高三考前最后一卷】已知函数 是偶函数， 则下列结论可能成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2. 【2016 年淮南高三二模】已知函数 满足 对 恒成立， 则函数（ ） A． 一定为奇函数 B． 一定为偶函数 C． 一定为奇函数 D． 一定为偶函数 【答案】D 【解析】由题意得， 时，则 ， ，所以 ，此时函数为偶函数，故选 D． 【考点 6】三角函数的周期性 【备考知识梳理】 1. 周期函数的定义 一般地，对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得定义域内的每一个值，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期． 2.最小正周期 对于一个周期函数 ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正数 ( )f x T ( ) ( )f x T f x+ = ( )f x T ( )f x sin( )y A xω ϕ= + ( )2k k Z πϕ π= + ∈ ( )k k Zϕ π= ∈ cos( )y A xω ϕ= + ( )k k Zϕ π= ∈ ( )2k k Z πϕ π= + ∈ tan( )y A xω ϕ= + ( )k k Zϕ π= ∈ sin( ), 0( ) cos( ), 0 x a xf x x b x + ≤=  + > ,4 4a b π π= = − ,3 6a b π π= = 2 ,3 6a b π π= = 5 2,6 3a b π π= = ( ) sin(2 )f x x ϕ= + ( ) ( )f x f a≤ x R∈ ( )f x a− ( )f x a− ( )f x a+ ( )f x a+ ( ) sin(2 ) 1f x a ϕ= + = 2 2 2a k πϕ π+ = + k ∈Ζ ( ) sin(2 2 ) sin(2 2 ) cos22f x a x a x k x πϕ π+ = + + = + + = 就叫做 的最小正周期． 2. , 周期为 , 周期为 . 【规律方法技巧】 1.求三角函数的周期的方法 （1）定义法：使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值 进行验证的思路，非常适合选择题； （2）公式法： 和 的最小正周期都是 ， 的周期为 .要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判 断，但是能够容易画出函数草图的函数； (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方， 其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性 不变，其它不定. 如 的周期都是 , 但 的周期为 ，而 ， 的周期不变. 2.使用周期公式，必须先将解析式化为 或 的形式； 正弦余弦函数的最小正周期是 ，正切函数的最小正周期公式是 ；注意一定要 注意加绝对值. 【考点针对训练】 1. 【2016 届辽宁大连八中、二十四中高三模拟】函数 的最小正 周期是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ( )f x siny x= cosy x= 2π tany x= π sin( )y A x hω ϕ= + + cos( )y A x hω ϕ= + + 2T π ϖ= T π ϖ= ( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( ) cos( )f x A xω ϕ= + 2 | |T π ω= ( ) tan( )f x A xω ϕ= + T π ω= xyxy sin,sin 2 == π siny x= cos x+ 2 π 1| 2sin(3 ) |, | 2sin(3 ) 2 |6 2 6y x y x π π= − + = − + | tan |y x= )6cos()3sin()( xxxf −+= ππ π2 π 2 π π4 ，所以最小正周期为 ，故选 B. 2. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三月考（三）】已知函数 的图象关于直线 对称，其中 为 常数，且 ． （1）求函数 的最小正周期； （2）若存在 ，使 ，求 的取值范围． 【考点 7】三角函数的最值 【备考知识 , 的值域为 , 的值域为 . 【规律方法技巧】 掌握三种类型，顺利求解三角最值:三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点， 其类型丰富，解决的方法比较多.但是归纳起来常见的有下面三种类型： （1）可化为 型函数值域： 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到 的形式，然后借助 题目中给定的的范围，确定 的范围，最后利用 的图象确定函数的值域. 如： siny x= cosy x= [ ]1,1− tany x= R 2 1 cos2( )3( ) sin( )cos( ) sin( )cos ( ) sin ( )3 6 3 2 3 3 2 x f x x x x x x π π π π π π π + + = + − = + − + = + =   2 1cos(2 )3 2x π= + + 2 2T π π= = 2( ) sin (2 3sin cos )cosf x x x x xω ω ω ω λ= + − − x π= ,ω λ 1 ,12 ω  ∈   ( )f x 0 30, 5x π ∈   0( ) 0f x = λ sin )y A x Bω ϕ= + +（ sin )y A x Bω ϕ= + +（ xω ϕ+ siny x= ① ，设 化为一次函数 在闭区间 上的最值求之； ② ，引入辅助角 ，化为 求解方法同类型①； (2)可化为 型求函数的值域： 首先借助三角公式，把函数化成 型，然后采用换元法，即令 ， 构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如： , 化为二次函数 在 上的最值求之； ,设 化为二次函数 在闭区间 上的最值求之； ， 可转化为对号函数求值域. (3)利用数性结合思想求函数的值域： 此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数 图象画出来，直接观察确定函数的值域.如 ，设 化为 用 法求值；当 时，还可用平均值定理求最值； 根据正弦函数的有界 性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形结合”，转化为直线的斜率的几何含义求解. 易错提示]　(1)在求三角函数的最值时，要注意自变量 x 的范围对最值的影响，往往结合图象 求解．(2)求函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，只有当 ω＞0 时，才可整体代入并求其解， 当 ω＜0 时，需把 ω 的符号化为正值后求解． 【考点针对训练】 1. 【2016 届浙江省杭州市高三第二次质检】函数 （ ） 的最大值等于（ ） A．5 B． C． D．2 sint x= y at b= + [ 1,1]t ∈ − 2 2 2 2 (cos ,sin )a b a b a b ϕ ϕ ϕ= = + + 2 2 sin( )y a b x cϕ= + + + 2y at bt c= + + [ 1,1]t ∈ − sin cost x x= ± 2( 1) 2 a ty bt c −= + +± [ 2, 2]t ∈ − tant x= 2at by t += ∆ 0ab > sin sin a x by c x d += + siny a x b= + sin cosy a x b x c= + + (sin )y f x= (sin )y f x= sin [ 1,1]t x= ∈ − 2sin siny a x b x c= + + sin cos (sin cos )y a x x b x x c= + ± + x axy sinsin += tan coty a x b x= + tan coty a x b x= + 2( ) 3sin cos 4cos2 2 2 x x xf x = + x R∈ 9 2 5 2 【答案】B 【解析】 ， ， .故选 B. 2. 【河北省衡水中学 2016 届高三七调】已知函数 的最小正周期为 ，则 在区间 上的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【考点 8】求函数 的对称性（对称轴和对称中心） 【备考知识梳理】 1.对称轴与对称中心： 的对称轴为 ，对称中心为 ； 的对称轴为 ，对称中心为 ； 对称中心为 . 2.对于 和 来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值 点联系. 的图象有无穷多条对称轴，可由方程 解出；它还 有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由 ，解得 siny x= 2x k ππ= + ( ,0) k k Zπ ∈ cosy x= x kπ= 2( ,0)k ππ + k Z∈ tany x= ,02 kπ     k Z∈ sin( )y A xω φ= + cos( )y A xω φ= + sin )y A xω ϕ= +（ ( ) 2x k k Z πω ϕ π+ = + ∈ ( )x k k Zω ϕ π+ = ∈ 2( ) 3sin cos 4cos2 2 2 x x xf x = + 3 1 cos 3sin 4 sin 2cos 22 2 2 xx x x += + × = + + ( )5 sin 22 x φ= + + Rx ∈ ( ) 2 922 5 max =+=∴ xf ( ) ( )2sin 3sin sin 02f x x x x πω ω ω ω = + + >   π ( )f x 20, 3 π     30, 2      1 3,2 2  −   1 ,12  −   3 1,2 2  −   sin )y A x Bω ϕ= + +（ ，即其对称中心为 ． 3.相邻两对称轴间的距离为T 2 ，相邻两对称中心间的距离也为T 2,函数的对称轴一定经过图象的 最高点或最低点． 【规律方法技巧】 先化成 的形式再求解．其图象的对称轴是直线 ， 凡是该图象与直线 的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图 象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心． 【考点针对训练】 1. 【湖北省八校 2016 高三第二次联考】若 的图像关于直线 对称，且当取最小值时， ，使得 ，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016 年江西高三三校联考】函数 的图像的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ，令 ，所以函数 的图像的一个对称中心为 ,选 C. 【应试技巧点拨】 1．如何判断函数 的奇偶性 根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数 的奇偶性，常见的结论如下： ( )kx k Z π ϕ ω −= ∈ ( ),0k k Z π ϕ ω −  ∈   sin )y A xω ϕ= +（ )(2 Zkkx ∈+=+ ππϕω By = ( ) ( )( )2cos 2 + 0f x x ϕ ϕ= > 3x π= 0 0, 2x π ∃ ∈   ( )0f x a= ( ]1,2− [ )2, 1− − ( )1,1− [ )2,1− 2siny x= (0,0) ( ,0)4 π 1( , )4 2 π ( ,1)2 π 2 1 cos2sin 2 xy x −= = 2 , ,2 4 2 kx k k Z x k Z π π ππ= + ∈ ∴ = + ∈ 2siny x= 1( , )4 2 π ( )f xω ϕ+ ( )f xω ϕ+ (1)若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 ； (2)若 为偶函数，则有 ;若为奇函数则有 ； (3)若 为奇函数则有 . 2.如何确定函数 当 时函数的单调性 对于函数 求其单调区间，要特别注意 的正负，若为负值，需要利用诱导 公式把负号提出来，转化为 的形式，然后求其单调递增区间，应把 放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把 放在正弦函数的递 增区间之内. 3.求三角函数的周期的方法 （1）定义法：使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值 进行验证的思路，非常适合选择题； （2）公式法： 和 的最小正周期都是 ， 的周期为 .要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判 断，但是能够容易画出函数草图的函数； (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方， 其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性 不变，其它不定. 如 的周期都是 , 但 的周期为 ，而 ， 的周期不变. 4.掌握三种类型，顺利求解三角最值 三角函数的最值既是高考中的一个重点，也是一个难点，其类型丰富，解决的方法比较多.但 是归纳起来常见的有下面三种类型： （1）可化为 型函数值域： 利用三角公式对原函数进行化简、整理，最终得到 的形式，然后借助 sin( )y A xω ϕ= + ( )2k k Z πϕ π= + ∈ ( )k k Zϕ π= ∈ cos( )y A xω ϕ= + ( )k k Zϕ π= ∈ ( )2k k Z πϕ π= + ∈ tan( )y A xω ϕ= + ( )k k Zϕ π= ∈ sin( )( 0)y A x Aω ϕ= + > 0ω < sin( )y A xω ϕ= + ω sin( )y A xω ϕ= − − − xω ϕ− − xω ϕ− − ( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( ) cos( )f x A xω ϕ= + 2 | |T π ω= ( ) tan( )f x A xω ϕ= + T π ω= xyxy sin,sin 2 == π siny x= cos x+ 2 π 1| 2sin(3 ) |, | 2sin(3 ) 2 |6 2 6y x y x π π= − + = − + | tan |y x= sin )y A x Bω ϕ= + +（ sin )y A x Bω ϕ= + +（ 题目中给定的的范围，确定 的范围，最后利用 的图象确定函数的值域. 如： 、 等. (2)可化为 型求函数的值域： 首先借助三角公式，把函数化成 型，然后采用换元法，即令 ， 构造关于的函数，然后根据具体的结构，采取相应的方法求解.如： 、 可转化为二次函数求值域； ， 可转化为对号函数求值域. (3)利用数性结合思想求函数的值域： 此类题目需分析函数的结构特征，看能否转化为有几何含义的式子结构，有时也可以把函数 图象画出来，直接观察确定函数的值域.如 ，常转化为直线的斜率的几何含义 求解. 1. 【河南省商丘市 2016 年高三第三次模拟】 函数 的部 分图象如图所示，则 的解析式可以为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知周期 ,故 ;由于 ,即 ,故选 D. xω ϕ+ siny x= siny a x b= + sin cosy a x b x c= + + 2 2sin sin cos cosy a x b x x c x= + + (sin )y f x= (sin )y f x= sin [ 1,1]t x= ∈ − 2sin siny a x b x c= + + sin cos (sin cos )y a x x b x x c= + ± + x axy sinsin += tan coty a x b x= + sin cos a x by c x d += + )0,0)(sin()( >>+= ωϕω AxAxf )(xf )42sin(3)( π−= xxf )42sin(3)( π+= xxf )4 3 2sin(3)( π−= xxf )4 3 2sin(3)( π+= xxf 3 42 2T π π π = + ⋅ =   2 1 2T πω = = ( ) 02f π = 3,2 4 4 x π πϕ ϕ π ϕ+ = + = = 2. 【2016 届云南省昆明一中高三第七次高考仿真模拟】将函数 的图象向右平移 个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短 为原来的 倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为 ，则 的值分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 3. 【2016 届湖北省级示范高中联盟高三模拟】已知函数 在 上有两个零点，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因 ,故 ,由于函数 在 上单调 递增；在 上单调递减,且 ,故当 时,函数 的图象 与直线 有两个交点,应选 B. 4. 【2016 届福建省泉州市高三 5 月质检】已知函数 , 若 ,则函数 的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D sin( )( 0,| | )2y x πω ϕ ω ϕ= + > < 3 π 1 2 siny x= ,ω ϕ 1 ,2 6 πω ϕ= = 1 ,2 6 πω ϕ= = − 2, 6 πω ϕ= = 2, 6 πω ϕ= = − ( ) sin 2 6f x x m π = − −   0, 2 π     m 1 ,12      1 ,12     1 ,12  −   1 ,12  −   20 π≤≤ x 6 5 626 πππ ≤−≤− x )62sin( π−= xy ]2,6[ ππ− ]6 5,2[ ππ 2 1)6 5()6( == ππ ff 12 1 <≤ m )(xfy = my = ( ) ( )sin 0 4, 2f x x πω ϕ ω ϕ = + < < <   2 26 3f f π π   − =       ( )f x 5, ,2 6 2 12 k k k Z π π π π + + ∈   , ,2 12 2 6 k k k Z π π π π − + ∈   2, ,6 3k k k Z π ππ π + + ∈   , ,3 6k k k Z π ππ π − + ∈   5. 【2016 届安徽省江南十校高三二模】如果函数 在区间 上单调递减， 那么 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 时， 在 上单调递增，所以可以排除 C、D； 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，因 此可排除选项 A，故选 B. 6. 【2016 届陕西师大附中高三第十次模拟】函数 ，给出下列四 个命题： ①在区间 上是减函数；②直线 是函数图象的一条对称轴；③函数 的图象 可由函数 的图象向左平移 个单位得到；④若 ，则 的值域是 . 其中，正确的命题的序号是( ) A．①② B. ②③ C．①④ D. ③④ 【答案】A 【解析】 ，当 时， ，则函数 在区间 上是减函数，即①正确，因为 ， 所以直线 是函数图象的一条对称轴，即②正确，因为 ，所以 函数 的图象可由函数 的图象向左平移 个单位得到，即③错误，当 xy ωsin2 1= ]12,8[ ππ− ω )0,6[− )0,4[− ]4,0( ]6,0( 1ω = 1 sin2y x= ,2 2 π π −   6ω = − ( )1 1sin 6 sin 62 2y x x= − = − ,8 12 π π − −   ,12 12 π π −   2( ) 2sin sin 2 1f x x x= − + + 5[ , ]8 8 π π 8x π= ( )f x 2 sin 2y x= 4 π [0, ]2x π∈ ( )f x [0, 2] )42sin(22cos2sin12sinsin2)( 2 π+=+=++−= xxxxxxf ]8 5,8[ ππ∈x ]2 3,2[42 πππ ∈+x )(xf 5[ , ]8 8 π π 2)8( =π f 8x π= )]8(2sin[2)( π+= xxf ( )f x 2 sin 2y x= 8 π 时， ，则函数 ，即④错误；故选 A． 7. 【2016 届宁夏石嘴山三中高三四模】已知函数 的最小 正周期为 ，且对 ，有 成立，则 的一个对称中心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 8. 【2016 年山西临汾一中高三测试】已知函数 的图象与 轴交点的横坐标构成一个公差为 的等差数列，把函数 的图象沿轴向左平移 个单位， 得到函数 的图象．若在区间 上随机取一个数，则事件“ ”发生的概率为 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 ，由题意知 ，所 以 ，所以 ，把函数 的图象沿轴向左平移 个单位， 得 ，因为 ，所 以 ，即 ，解得 ，所以事件“ ”发生的概率为 ，故选 C. 9．【2016 届福建厦门双十中学高三下热身考】已知直线 是函数 ]2,0[ π∈x ]4 5,4[42 πππ ∈+x ]2,1[)( −∈xf ( ) sin( )( 0, )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < 4π x R∀ ∈ ( ) ( )3f x f π≤ ( )f x 2( ,0)3 π− ( ,0)3 π− 2( ,0)3 π 5( ,0)3 π ( ) 3sin cosf x x xω ω= + ( )0ω > 2 π ( )f x 6 π 1 4 1 3 1 6 2 3 ( ) 3sin cos 2sin( )6f x x x wx πω ω= + = + 1 2 2T T π π= ⇒ = 2 2w π π= = ( ) 2sin(2 )6f x x π= + ( )f x 6 π ( ) ( ) 2sin[2( ) ] 2sin(2 ) 2cos26 6 6 2g x f x x x x π π π π= + = + + = + = ( ) 3g x ≥ 2cos2 3x ≥ 3cos2 2x ≥ [0, ]6x π∈ ( ) 3g x ≥ 16 6 π π = 4 π=x ( )g x [ ]0,π ( ) 3g x ≥ 图象的一条对称轴，则直线 的倾斜角为 ． 【答案】 【解析】由条件， 故倾斜角为 . 10. 【湖南师范大学附属中学 2016 届高三上学期月考（三）文科数学试题】（本小题 10 分） 已知函数 ． （1）求函数 的最小正周期； （2）将函数 的图象向下平移 个单位，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），得到函数 的图象，求使 成立的的取值集合． 11.【2015 届新高考单科综合调研卷（浙江卷）（二）】已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A. 【解析】结合特殊值，求解三角函数的递减区间，并验证结果．取 ， ， 其减区间为 ，显然 ，排除 ；取 ( ) ( )0cossin ≠−= abxbxaxf 0=++ cbyax 4 π ( ) ,1,1,20 =−=∴−=∴=−⇒    = b aka babff π 4 π 0ω > ( ) sin( )6f x x πω= + ( , )2 π π ω 2 4[ , ]3 3 2 3[ , ]3 4 2(0, ]3 3(0, ]2 4 3 ω = 4( ) sin( )3 6f x x π= + 3 3[ , ]2 4 2 k kπ π π π+ + ( )k Z∈ ( , )2 π π ⊆ 3 3[ , ]2 4 2 k kπ π π π+ + ( )k Z∈ ,B C ( ) cos sin 6f x x x π = ⋅ +   ( )f x ( )y f x= 1 4 ( )y g x= 1( ) 2g x > ， ，其减区间为 ，显然 ，排除 ．选 . 12.【2015 届新高考单科综合调研卷（浙江卷）（一）】已知函数 ， ， 若方程 有三个不同的实数根，且三个根从小到大依次成等比数列，则实数 的值可 能是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A. 13.【朝阳区 2014-2015 学年度高三年级第一学期期中】如图，某地一天中 6 时至 14 时的温度 变化曲线近似满足函数 （其中 ， ）， 则估计中午 12 时的温度近似为（ ） A. 30 ℃ B. 27 ℃ C.25 ℃ D.24 ℃ 【答案】B 【解析】由图象可得 ，又周期 ，可得 ，可得 ，在将点（6，10）代入 ，可得 ，即 ，又 ，求得 ，∴ ．令 x=12，可得 3 2 ω = 3( ) sin( )2 6f x x π= + 4 2 4 8[ , ]3 9 3 9 k kπ π π π+ + ( )k Z∈ ( , )2 π π ⊄ 4 2 4 8[ , ]3 9 3 9 k kπ π π π+ + ( )k Z∈ D A ( ) cosf x x= ( ,3 )2x π π∈ ( )f x m= m 1 2 − 1 2 2 2 − 2 2 ( ) bxAy ++= ϕωsin 0ω > 2 ϕπ < < π 30 10 30 1020 102 2b A += = = =﹣， ( )2 4 10 6T π ω= = − 8 πω = 10sin( )8y x π ϕ= + 10sin( )8y x π ϕ= + 10sin( 6 ) 108y π ϕ= × + = 36 2 ,8 2 k k Z π πϕ π× + = + ∈ 2 π ϕ π< < 3 4 πϕ = 10sin( ) 208 3 4y x π π= + + 30 20 10 O t/h T/℃ 6 8 10 12 14 第 7 题图 ，故选：B． 14.【惠安一中、养正中学、安溪一中 2015 届高三联合考试】对于函数 ，有下列 4 个命题：①任取 ， ，都有 恒成立；② ，对于一切 恒成立；③ 对任意 ，不等式 恒成立，则实数的取值范围是 ．④函数 有个零点；则其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①④. 210sin( 12 ) 20 10 20 278 3 24y C π π= × + + = × + ≈ ° [ ]sin , 0,2 ( ) 1 ( 2), (2, )2 x x f x f x x π ∈=  − ∈ +∞ 1x [ )2 0,x ∈ +∞ 1 2( ) ( ) 2f x f x− ≤ ( ) 2 ( 2 )f x kf x k= + *( )k N∈ [ )0,x∈ +∞ 0x > ( ) kf x x ≤ 9 ,8  +∞  ( ) ln( 1)y f x x= − − 15.【河南省信阳市 2015 届高中毕业班第二次调研】已知向量 ， 记函数 .求： （Ⅰ）函数 的最小值及取得最小值时的集合； （Ⅱ）函数 的单调递增区间. 【一年原创真预测】 1. 将函数 的图象向左平移 个单位，再向上平移 3 个单位，得到函数 的图象，则 的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B ( )f x )63sin(2)( π+= xxf 4 π )(xg )(xg 3)43sin(2)( −−= πxxg 3)43sin(2)( ++= πxxg 3)123sin(2)( +−= πxxg 3)123sin(2)( −−= πxxg ( ) ( )xx sin,0,0,cos3 == bα ( ) xxf 2sin3)( 2 ++= bα ( )f x 【入选理由】本题主要考查三角函数图像变换及三角函数的图象和性质等基础知识，意在考 查运用数形结合思想的能力和运算能力, 本题重点考查三角函数的图象及其平移变换理论，突 出了对函数图象变换思想的理解，难度适中，故押此题． 2．已知 , ，点 在直线 上，则函数 的最小正周期为 _________. 【答案】 . 【解析】 ， ，依题意 ，则 ，所以 ， 则函数 的周期为 . 【入选理由】本题主要考查平面向量的线性运算,三角函数的周期性等基础知识，意在考查学 生的运算求解能力，运用数形结合思想的能力, 三角函数的性质与向量巧妙结合, 立意比较新， 难度适中，故押此题． 3. 已知函数 = 的部分图象如图所示，则 的单调增区间为 ( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A ( )0,2A ( ),0B a ( )2,1P AB siny ax= 2 p ( )PA 2,1 = - ( )AB a, 2 = - PA / /AB  )2 ( 2 1 a 0＝- ´ - - ´ a 4= y sin ax= 2T 4 2 p p= = )(xf )sin( ϕω +xA π( 0, 0,| | )2A ω φ> > < )cos( ϕω += xAy 2 π[ π π, π ]3 6k k− − Zk ∈ ]3 ππ,3 1π[ +− kk π Zk ∈ ]12 ππ,π12 5π[ −− kk Zk ∈ ]6 ππ,π6 5π[ −− kk Zk ∈ 【解析】由五点作图法知， ，解得 ， ， ，所以 ，令 ， ，解得 ， ， 所以 的单调增区间为 ， ，故选 A. 【入选理由】本题主要考查由三角函数的图象求解析式，三角函数的图象与性质，意在考查 运用数形结合思想的能力和运算能力, 本题是一个常规题型，但出题方式有新意，难度适中， 故押此题． 4.已知函数 ，满足其最小正周期为 ， ， ，则 函数 在区间 上的最大值与最小值之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【入选理由】本题主要考查求三角函数解析式，三角函数的图象与性质，求三角函数的导数 等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力和运算能力, 本题综合性强，但出题方式有创 意，难度适中，故押此题． 5. 已知 是偶函数，则实数的值为 【答案】 【解析】因为函数 是偶函数，且定义域为 ，所以 即 当 时， 为偶函数. 【入选理由】本题考查三角函数的奇偶性，特殊角三角函数值等基础知识，意在考查学生分      =+× =+× π3 π 2 π 12 π ϕω ϕω 2=ω 3 π=ϕ 2=A )3 π2cos(2 += xy π23 π2ππ2 kxk ≤+≤− Zk ∈ 2 ππ π π3 6k x k− ≤ < − Zk ∈ )cos( ϕω += xAy 2 π[ π π, π ]3 6k k− − Zk ∈ )sin()( ϕω += xxf      <∈ 2||,R πϕω π 2 1)0( =f 0)0( <′f )cos(2)( ϕω += xxg     2,0 π 23 − 32 − 1− ( ) sin( ) 3sin( )4 4f x a x x= + + −π π _______. 3.− ( )y f x= R ( ) ( ),4 4f f π π= − 3.a = − 3a = − ( ) 6 cosf x x= − 析问题能力及基本运算能力，本题这种出法有创意，难度适中，故押此题． 6. 已知函数 的一条对称轴方程为 ，则函数 的最大 值为___________． 【答案】1 【入选理由】本题主要考查三角函数的图像与性质、倍角公式、和角公式、三角恒等变换以 及三角函数最值等基础知识，考查了基本的运算能力和转化与化归的数学思想以及数形结合 的数学方法等.本题考查内容重点突出，综合性较强,难度不大，故选此题. 7.已知函数 ，则下列结论错误的是( ) A．函数 的最小正周期为 B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到 D. 函数 在区间 上是增函数 【答案】B 【解析】由题知，函数 ，所以 的最小正周期为 ，选项 A 正确；将 代入 的解析式得 ，而 不是函数 的 最值，所以选项 B 不正确；因为 ，所以它可由 的图象向 右平移 个单位得到，选项 C 正确；当 时， ，此范围内当的值增 加时， 的值增加， 的值也增加，所以函数 在区间 上是 增函数,选项 D 正确. 【入选理由】本题综合考查三角函数的图像与性质，三角函数图像变换等基础知识，意在考 2 1( ) sin cos sin 2f x a x x x= − + 6x π= ( )f x π( ) sin(2 )3f x x= − ( )f x ( )f x π 3x = ( )f x ( ) sin 2g x x= π 6 ( )f x π[0, ]4 π( ) sin(2 )3f x x= − ( )f x 2π π2T = = π 3x = ( )f x π π 3( ) sin(2 )3 3 2f x = × − = 3 2 ( )f x π( ) sin[2 ( )]6f x x= × − ( ) sin 2g x x= π 6 π[0, ]4x∈ π π π2 [ , ]3 3 6x − ∈ − π2 3x − π( ) sin(2 )3f x x= − ( )f x π[0, ]4 查学生分析问题能力及解决问题的能力，本题综合性强，难度适中，故押此题． 8.已知 中，边 的对角分别为 ，且 ， ， . （Ⅰ）求 及 的面积； （Ⅱ）已知函数 ，把函数 的图象向左平移 个单 位得函数 的图象，求函数 （ ）上的单调递增区间. 【入选理由】本题主要考查正弦定理解三角形、三角函数的恒等变换、三角函数的平移变换 以及三角函数的单调性等，考查基本的运算能力以及函数与方程、转化与化归的数学思想， 综合分析问题解决问题的能力．本题综合性较强,难度不大，故选此题. ABC∆ , ,a b c , ,A B C 6a = 2c = 2 3A π= ,B C ABC∆ ( ) sin sin cos cosf x B x B xπ π= − ( )y f x= 1 2 ( )y g x= ( )y g x= [0,2]x∈