2020届高三数学（文）“大题精练”4

2020届高三数学（文）“大题精练”4

‎2020届高三数学（文）“大题精练”4‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列中，为其前项和，；等比数列的前项和 ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）当各项为正时，设，求数列的前项和．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在长方体中，．‎ ‎（I）证明：平面面；‎ ‎（II）求三棱锥与的体积比．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据．‎ 注：年份代码～分别表示～．‎ ‎（I）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？‎ ‎（II）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份．‎ 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求函数在上的最大值；‎ ‎（II）若函数有两个零点，证明：．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（I）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 设函数 ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）当，时，证明：．‎ ‎2020届高三数学（文）“大题精练”4（答案解析）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知等差数列中，为其前项和，；等比数列的前项和 ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）当各项为正时，设，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（I）设等差数列的首项为，公差为，‎ 则，‎ ‎，，‎ 当时，；当时，也满足上式，∴．‎ ‎（II）由题可知，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在长方体中，．‎ ‎（I）证明：平面面；‎ ‎（II）求三棱锥与的体积比．‎ ‎【解析】（I）证明：连接，∵，∴四边形是正方形，∴，‎ 由题，∵，∴，‎ 又，，平面，∴平面，‎ 又平面，∴平面平面．‎ ‎（II）解：连结，由题，∵，∴平面，∴，到平面的距离相等，‎ 故三棱锥与的体积比为1：1．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 至年底，我国发明专利申请量已经连续年位居世界首位，下表是我国年至年发明专利申请量以及相关数据．‎ 注：年份代码～分别表示～．‎ ‎（I）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？‎ ‎（II）建立关于的回归直线方程（精确到），并预测我国发明专利申请量突破万件的年份．‎ 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，‎ ‎【解析】（I）由表格可知2013，2014，2015，2016，2017，2018年的增长率分别如下：，‎ ‎∴2013年的增长率最高，达到了26%．‎ ‎（II）由表格可计算出：，，关于的回归直线方程为．‎ 令，‎ ‎∴根据回归方程可预测，我国发明专利申请量将在2021年突破200万件．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线的焦点为，若过且倾斜角为的直线交于，两点，满足．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）若为上动点，，在轴上，圆内切于，求面积的最小值．‎ ‎【解析】（I）抛物线的焦点为，则过点且斜率为1的直线方程为，‎ 联立抛物线方程，消去得：，‎ 设，则，‎ 由抛物线的定义可得，解得，∴抛物线的方程为．‎ ‎（II）设，，，不妨设，，化简得：，‎ 圆心到直线的距离为1，故，‎ 即，不难发现，‎ 上式又可化为，同理有，‎ ‎∴可以看做关于的一元二次方程的两个实数根，‎ ‎，，‎ 由条件：，‎ ‎，当且仅当时取等号，‎ ‎∴面积的最小值为8．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）求函数在上的最大值；‎ ‎（II）若函数有两个零点，证明：．‎ ‎【解析】（I）∵，则．‎ 令，解得．‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 故函数的增区间为，减区间为．‎ 当，即时，在区间上单调连增，则；‎ 当，即时，在区间上单调递墙，在区间上单调递减，则；‎ 当，即时，在区间上单调递减，则．‎ ‎（II）证明：若函数有两个零点，则，可得．‎ 则，此时，由此可得，故，即．‎ 又∵，∴，则．‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（I）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（II）设为曲线上不同两点（均不与重合），且满足，求的最大面积．‎ ‎【解析】（I）设曲线上任意点的极坐标为，由题意，曲线的普通方程为，即，则，故曲线的极坐标方程为．‎ ‎（II）设，则，故，‎ ‎∵点在曲线上，则，，‎ ‎，‎ 故时，取到最大面积为．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）‎ 设函数 ‎（I）解不等式；‎ ‎（II）当，时，证明：．‎ ‎【解析】（I）由已知可得：，‎ 当时，成立； ‎ 当时，，即，则．‎ ‎∴的解集为．‎ ‎（II）由（I）知，，‎ 由于，则，当且仅当，即时取等号，则有．‎