数学·上海市格致中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析x

数学·上海市格致中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析x

‎2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一.填空题 ‎1．直线l过点A（1，2），且法向量为（1，﹣3），则直线l的一般式方程为　　．‎ ‎2．已知直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于 　　．‎ ‎3．已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=　　．‎ ‎4．已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+3（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=，n∈N*，则（b1+b2+…+bn）　　．‎ ‎5．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　　．‎ ‎6．设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为　　．‎ ‎7．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则{an}的通项公式为　　．‎ ‎8．数列{an}满足an+1=（n=2，3，…），a2=1，a3=3，则a7=　　．‎ ‎9．数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=|an+1|﹣an，n∈N*，记{an}的前n项和为Sn，则S100=　　．‎ ‎10．过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　　．‎ ‎11．若、、均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则丨+﹣丨的最大值为　　．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为　　．‎ ‎　‎ 二.选择题 ‎13．设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（　　）‎ A．=﹣2 B．=2 C．∥ D．⊥‎ ‎14．对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2=0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切或相离 C．相离 D．相交或相切 ‎15．数列{an}的前n项和Sn=an﹣1，则关于数列{an}的下列说法中，正确的个数有（　　）‎ ‎①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ‎ ‎②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ‎③可能是等比数列，也可能是等差数列 ‎ ‎④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ‎⑤可能既是等差数列，又是等比数列．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎16．到两条坐标轴距离之差的绝对值为2的点的轨迹是（　　）‎ A．两条直线 B．四条直线 C．四条射线 D．八条射线 ‎　‎ 三.解答题 ‎17．设向量=（cosθ，sinθ），=（﹣，）；‎ ‎（1）若∥，且θ∈（0，π），求θ；‎ ‎（2）若|3+|=|﹣3|，求|+|的值．‎ ‎18．设数列{an}的前n项和为Sn．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；‎ ‎（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0．若{an}是“H数列”，求d的值．‎ ‎19．已知圆O：x2+y2=4．‎ ‎（1）直线l1：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；‎ ‎（2）如图，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎20．已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3•2n，n∈N*．‎ ‎（1）证明数列{an﹣2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若1＜r＜s且r，s∈N*，求证：使得a1，ar，as成等差数列的点列（r，s）在某一直线上．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年上海市黄浦区格致中学高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题 ‎1．（2016秋•黄浦区校级期中）直线l过点A（1，2），且法向量为（1，﹣3），则直线l的一般式方程为　x﹣3y+5=0　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；直线与圆．‎ ‎【分析】直线l的法向量为（1，﹣3），则斜率k==．利用点斜式可得方程，再化简即可得出．‎ ‎【解答】解：直线l的法向量为（1，﹣3），则斜率k==．‎ ‎∴点斜式为：y﹣2=（x﹣1），化为：x﹣3y+5=0，‎ 故答案为：x﹣3y+5=0．‎ ‎【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式与一般式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•长沙校级模拟）已知直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则实数a等于 　﹣1　．‎ ‎【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1，解方程求出实数a的值．‎ ‎【解答】解：∵直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，∴他们的斜率之积等于﹣1，即 a×（a+2）=﹣1，‎ ‎∴a=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查斜率都存在的两直线垂直，斜率之积等于﹣1．‎ ‎　‎ ‎3．（2015秋•德州期中）已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=　　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比是q，根据题意和等比数列的通项公式列出方程，化简后求出q的值，即可求出a2．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比是q，‎ 因为a1=，a3a5=4（a4﹣1），‎ 所以（）（）=4（﹣1），‎ 化简得，q6﹣16q3+64=0，解得q3=8，则q=2，‎ 所以a2=a1•q==，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的通项公式，以及方程思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（2016秋•黄浦区校级期中）已知数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+3（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn=，n∈N*，则（b1+b2+…+bn）　　．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的极限．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．‎ ‎【分析】求出an=3n﹣2，从而bn===（﹣），由此有求出（b1+b2+…+bn）的值．‎ ‎【解答】解：∵数列{an}中，a1=1，an=an﹣1+3（n≥2，n∈N*），‎ ‎∴数列{an}是首项a1=1，公差d=an﹣an﹣1=3的等差数列，‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，‎ ‎∴bn===（﹣），‎ ‎∴b1+b2+…+bn=（1﹣++…+）‎ ‎=（1﹣）‎ ‎=．‎ ‎∴（b1+b2+…+bn）==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查数列的前n项和的极限值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎5．（2006•天津）设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=　0　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为 =1，再由点到直线的距离公式可得 =1，由此求得a的值．‎ ‎【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，‎ 故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为 =1，即 =1，解得 a=0，‎ 故答案为 0．‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果．‎ ‎【解答】解：∵、为单位向量，且 和 的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．‎ ‎∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．‎ ‎∴在上的射影为 =，‎ 故答案为 ．‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（2016秋•黄浦区校级期中）设数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，则{an}的通项公式为　an=3n﹣1　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式与递推关系即可得出．‎ ‎【解答】解：∵S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，‎ ‎∴a1+a2=4，a2=2a1+1，解得a1=1，a2=3．‎ n≥2时，an=2Sn﹣1+1，可得：an+1﹣an=2Sn+1﹣（2Sn﹣1+1），‎ 化为：an+1=3an．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比为3，首项为1．‎ ‎∴an=3n﹣1．‎ 故答案为：an=3n﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（2016秋•黄浦区校级期中）数列{an}满足an+1=（n=2，3，…），a2=1，a3=3，则a7=　63　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】an+1==，可得（an+1+1）（an﹣1+1）=，再利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：an+1==，可得（an+1+1）（an﹣1+1）=，‎ 可得数列{an+1}为等比数列，公比q===2．‎ ‎∴an+1=．‎ ‎∴a7+1=2×25，解得a7=63．‎ 故答案为：63．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（2016秋•黄浦区校级期中）数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=|an+1|﹣an，n∈N*，记{an}的前n项和为Sn，则S100=　89　．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=|an+1|﹣an，n∈N*，可得：a3=|a2|﹣a1=3﹣1=2，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣1，a6=2，a7=3，a8=1，a9=﹣2，a10=1，a11=3，a12=2，…．n≥2时，an+9=an，即可得出．‎ ‎【解答】解：数列{an}满足a1=1，a2=3，且an+2=|an+1|﹣an，n∈N*，‎ ‎∴a3=|a2|﹣a1=3﹣1=2，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣1，a6=2，a7=3，a8=1，a9=﹣2，a10=1，a11=3，a12=2，…．‎ ‎∴S100=a1+（a2+a3+…+a10）×11‎ ‎=1+8×11‎ ‎=89．‎ 故答案为：89．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、数列通项公式、数列求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（2012•甘肃一模）过点的直线l将圆（x﹣2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=　　．‎ ‎【考点】直线的斜率；直线和圆的方程的应用．‎ ‎【专题】压轴题；数形结合．‎ ‎【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路．‎ ‎【解答】解：如图示，由图形可知：‎ 点A在圆（x﹣2）2+y2=4的内部，‎ 圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，‎ 只能是直线l⊥OA，‎ 所以．‎ ‎【点评】垂径定理及其推论是解决直线与圆关系时常用的定理，要求大家熟练掌握，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．相关推论，过圆内一点垂直于该点直径的弦最短，且弦所对的劣弧最短，优弧最长，弦所对的圆心角、圆周角最小…．‎ ‎　‎ ‎11．（2016秋•黄浦区校级期中）若、、均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则丨+﹣丨的最大值为　1　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．‎ ‎【专题】平面向量及应用．‎ ‎【分析】根据若、、均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0可得到≥1，只需求丨+﹣丨2的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得．‎ ‎【解答】解：∵（﹣）•（﹣）≤0，‎ ‎∴•﹣+≤0‎ 又∵、、均为单位向量，且•=0，‎ ‎∴≥1，‎ 又丨+﹣丨2=‎ ‎=3﹣2≤3﹣2=1‎ ‎∴丨+﹣丨的最大值为1‎ 故答案为：1‎ ‎【点评】本题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力，属中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（2016秋•黄浦区校级期中）在平面直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为　　．‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小．‎ ‎【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，‎ 由已知得|OC|=|CE|=r，‎ 过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，‎ 交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，‎ 则当D恰为OF中点时，圆C的半径最小，即面积最小．‎ 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为：‎ d==，‎ 此时r==‎ ‎∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．‎ ‎　‎ 二.选择题 ‎13．（2016秋•黄浦区校级期中）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（　　）‎ A．=﹣2 B．=2 C．∥ D．⊥‎ ‎【考点】向量的加法及其几何意义．‎ ‎【专题】转化思想；平面向量及应用．‎ ‎【分析】只有非零向量、同向共线时，只有A满足条件．‎ ‎【解答】解：只有非零向量、同向共线时，=﹣2，‎ ‎∴+=+=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了向量共线定理、向量运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（2016秋•黄浦区校级期中）对任意实数k，直线（3k+2）x﹣ky﹣2=0与圆x2+y2﹣2x﹣2y﹣2=0的位置关系为（　　）‎ A．相交 B．相切或相离 C．相离 D．相交或相切 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；演绎法；直线与圆．‎ ‎【分析】根据圆的方程得到圆的半径，求出圆心到直线的距离d与半径r比较大小即可得到直线与圆的位置关系．‎ ‎【解答】解：把圆的方程化为标准形式得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=22，可知圆的半径等于2，‎ 求出圆心到直线的距离d==2，‎ 所以直线与圆相切或相交．‎ 故选D．‎ ‎【点评】考查学生会用圆心到直线的距离与半径比较大小的方法判断直线与圆的位置关系，以及会利用点到直线的距离的距离公式．‎ ‎　‎ ‎15．（2016秋•黄浦区校级期中）数列{an}的前n项和Sn=an﹣1，则关于数列{an}的下列说法中，正确的个数有（　　）‎ ‎①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ‎ ‎②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ‎③可能是等比数列，也可能是等差数列 ‎ ‎④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ‎⑤可能既是等差数列，又是等比数列．‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【考点】数列的求和；等差关系的确定；两向量的和或差的模的最值．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由求出an，分a=1；a=0；a≠0，1三种情况进行讨论，根据等差、等比数列的通项公式的特征可作出判断．‎ ‎【解答】解：①，Sn﹣1=an﹣1﹣1（n≥2）②，‎ ‎①﹣②得，an=（a﹣1）an﹣1（n≥2），‎ 当a=1时，an=0（n∈N*），此时数列{an}为等差数列；‎ 当a=0时，，此时数列{an}既不是等差数列也不是等比数列；‎ 当a≠0且a≠1时，an=（a﹣1）an﹣1（（n∈N*）此时数列{an}为等比数列；‎ 由以上分析知，正确的说法为③④．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查数列通项an与Sn的关系及等差、等比数列的通项公式，准确把握等差、等比数列的通项公式特征是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（2016秋•黄浦区校级期中）到两条坐标轴距离之差的绝对值为2的点的轨迹是（　　）‎ A．两条直线 B．四条直线 C．四条射线 D．八条射线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．‎ ‎【分析】设动点坐标为（x，y），依题意，直接列式化简即可．‎ ‎【解答】解：设动点坐标为P（x，y），依题意 ‎∵P到两坐标轴的距离之和为6，‎ ‎∴||x|﹣|y||=2．即：|x|﹣|y|=2或|x|﹣|y|=﹣2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基础题．‎ ‎　‎ 三.解答题 ‎17．（2016秋•黄浦区校级期中）设向量=（cosθ，sinθ），=（﹣，）；‎ ‎（1）若∥，且θ∈（0，π），求θ；‎ ‎（2）若|3+|=|﹣3|，求|+|的值．‎ ‎【考点】平面向量的坐标运算；向量加减混合运算及其几何意义．‎ ‎【专题】对应思想；转化法；平面向量及应用．‎ ‎【分析】（1），根据向量平行，得到sin（θ+）=0，结合θ的范围，求出即可；（2）根据向量的运算得到sinθ﹣cosθ=0，求出|+|的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵=（cosθ，sinθ），=（﹣，），∥，‎ ‎∴﹣sinθ=cosθ，‎ ‎∴sin（θ+）=0，θ∈（0，π），‎ ‎∴θ=；‎ ‎（2）若|3+|=|﹣3|，‎ 则+=+，‎ 整理得：sinθ﹣cosθ=0，‎ ‎|+|===．‎ ‎【点评】本题考查了向量的平行的性质，考查向量的运算，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（2016秋•黄浦区校级期中）设数列{an}的前n项和为Sn．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．‎ ‎（1）若数列{an}的前n项和Sn=2n（n∈N*），证明：{an}是“H数列”；‎ ‎（2）设{an}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0．若{an}是“H数列”，求d的值．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）由已知得，由此能证明数列{an}是“H数列”．‎ ‎（2）依题意，an=1+（n﹣1）d，，若{an}是“H数列”，则1+（k﹣1）d=，由此能求出d的值．‎ ‎【解答】（1）证明：当n=1时，a1=S1=2，（1分）‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，‎ 所以，（4分）‎ 所以对任意的n∈N*，是数列{an}中的第n+1项，（5分）‎ 因此数列{an}是“H数列”．‎ ‎（2）解：依题意，an=1+（n﹣1）d，，（7分）‎ 若{an}是“H数列”，则对任意的n∈N*，都存在k∈N*使得ak=Sn，‎ 即1+（k﹣1）d=，（9分）‎ 所以，（10分）‎ 又因为k∈N*，，‎ 所以对任意的n∈N*，，且d＜0，（12分）‎ 所以d=﹣1．（13分）‎ ‎【点评】本题考查数列{an}是“H数列”的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（2013•虹口区一模）已知圆O：x2+y2=4．‎ ‎（1）直线l1：与圆O相交于A、B两点，求|AB|；‎ ‎（2）如图，设M（x1，y1）、P（x2，y2）是圆O上的两个动点，点M关于原点的对称点为M1，点M关于x轴的对称点为M2，如果直线PM1、PM2与y轴分别交于（0，m）和（0，n），问m•n是否为定值？若是求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【专题】直线与圆．‎ ‎【分析】（1）先求出圆心（0，0）到直线的距离，再利用弦长公式求得弦长AB的值．‎ ‎（2）先求出M1和点M2的坐标，用两点式求直线PM1 和PM2的方程，根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值，计算mn的值，可得结论．‎ ‎【解答】解：（1）由于圆心（0，0）到直线的距离．‎ 圆的半径r=2，∴．…（4分）‎ ‎（2）由于M（x1，y1）、p（x2，y2）是圆O上的两个动点，则可得 ，，且，．…（8分）‎ 根据PM1的方程为=，令x=0求得 y=．‎ 根据PM2的方程为：=，令x=0求得 y=．…（12分）‎ ‎∴，显然为定值．…（14分）‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，用两点式求直线的方程、求直线在y轴上的截距，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（2015•江苏模拟）已知数列{an}中，a1=3，an+1+an=3•2n，n∈N*．‎ ‎（1）证明数列{an﹣2n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）在数列{an}中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若1＜r＜s且r，s∈N*，求证：使得a1，ar，as成等差数列的点列（r，s）在某一直线上．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）将条件变形，构造符合条件的数列，即可证明数列{an﹣2n}是等比数列，从而可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，代入相应的项，化简可得结论；‎ ‎（3）若a1，ar，as成等差数列，则2ar=a1+as，代入变形整理，对r、s进行讨论，可得结论．‎ ‎【解答】（1）证明：将已知条件变形为…（1分）‎ 由于a1﹣2=3﹣2=1≠0，则（常数）…‎ 即数列是以1为首项，公比为﹣1的等比数列…（4分）‎ 所以=（﹣1）n﹣1，即+（﹣1）n﹣1（n∈N*）．…（5分）‎ ‎（2）解：假设在数列{an}中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为ak﹣1，ak，ak+1（k≥2，k∈N*），由题意得，2ak=ak﹣1+ak+1，‎ 将，，代入上式得…（7分）‎ ‎2[2k+（﹣1）k﹣1]=[2k﹣1+（﹣1）k﹣2]+[2k+1+（﹣1）k]…（8分）‎ 化简得，﹣2k﹣1=4•（﹣1）k﹣2，即2k﹣1=4•（﹣1）k﹣1，得（﹣2）k﹣1=4，解得k=3，‎ 所以，存在满足条件的连续三项为a2，a3，a4成等差数列．…（10分）‎ ‎（3）证明：若a1，ar，as成等差数列，则2ar=a1+as，‎ 即2[2r+（﹣1）r﹣1]=3+2s+（﹣1）s﹣1，变形得2s﹣2r+1=2•（﹣1）r﹣1﹣（﹣1）s﹣1﹣3…（11分）‎ 由于若r，s∈N*且1＜r＜s，下面对r、s进行讨论：‎ ‎①若r，s均为偶数，则2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；‎ ‎②若r为奇数，s为偶数，则2s﹣2r+1=0，解得s=r+1；‎ ‎③若r为偶数，s为奇数，则2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；‎ ‎④若r，s均为奇数，则2s﹣2r+1＜0，解得s＜r+1，与1＜r＜s矛盾，舍去；…（15分）‎ 综上①②③④可知，只有当r为奇数，s为偶数时，a1，ar，as成等差数列，‎ 此时满足条件点列（r，s）落在直线y=x+1（其中为正奇数）上．…（16分）（不写出直线方程扣1分）‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，有难度．‎