2017届高考数学（文）（新课标）二轮专题复习（检测）第二部分专题五 函数的性质及图像 作业10
小题专练·作业(十)
一、选择题
1．(2016·湖北七校)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )
A．y＝x3 B．y＝ln|x|
C．y＝sin(－x) D．y＝－x2－1
答案 D
解析
选项
正误
原因
A
×
y＝x3是奇函数
B
×
y＝ln|x|在(0，＋∞)上单调递增
C
×
y＝sin(－x)＝cosx在(0，＋∞)上不单调
D
√
y＝－x2－1是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
2.(2016·河北三市七校)命题p：∃a∈(－∞，－)，使得函数f(x)＝|x＋|在[，3]上单调递增；命题q：g(x)＝x＋log2x在区间(，＋∞)上无零点，则下列命题中正确的是( )
A．綈p B．p∧q
C．(綈p)∨q D．p∧(綈q)
答案 D
解析 设h(x)＝x＋，当a＝－时，函数y＝h(x)为增函数且h()＝>0，则函数y＝f(x)在[，3]上必单调递增，即p是真命题；∵g()＝－<0，g(1)＝1>0，故g(x)在(，＋∞)有零点，即q是假命题，则p∧(綈q)是真命题．
3．(2016·洛阳调研)已知函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(x)的解析式应为( )
A．f(x)＝exlnx B．f(x)＝e－xln|x|
C．f(x)＝e|x|ln|x| D．f(x)＝exln|x|
答案 D
解析 因为函数定义域是{x|x≠0}，排除A选项，当x→－∞，f(x)→0，排除B，根据函数图像不关于y轴对称可知函数不是偶函数，故可排除选项C，故选D.
4．(2016·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝(x2＋x)(x2＋ax＋b)，若对∀x∈R，均有f(x)＝f(2－x)，则f(x)的最小值为( )
A．－ B．－
C．－2 D．0
答案 A
解析 由f(x)＝f(2－x)得f(0)＝f(2)，f(－1)＝f(3)，则2a＋b＝－4，3a＋b＝－9，解得a＝－5，b＝6，则f(x)＝(x2＋x)(x2－5x＋6)＝x(x－2)(x＋1)(x－3)＝(x2－2x)(x2－2x－3)，令x2－2x＝t，t∈[－1，＋∞)，则f(x)＝(x2－2x)(x2－2x－3)＝t2－3t＝(t－)2－，当t＝时，f(x)取得最小值－，选项A正确．
5．(2016·福州五校)已知函数f(x)＝如果对任意的n∈N*，定义fn(x)＝f{f[f…f(x)]}，那么f2 016(2)的值为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析 ∵f1(2)＝f(2)＝1，f2(2)＝f(1)＝0，f3(2)＝f(0)＝2，∴fn(2)的值具有周期性，且周期为3，∴f2 016(2)＝f3×672(2)＝f3(2)＝2，故选C.
6．(2016·金太阳模拟)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3，若实数a，b满足f(a)＝g(b)＝0，则( )
A．f(b)<0
0，∴00，∴10，g(a)<0，∴g(a)<0f(x0) D．∀x∈[0，π]，f(x)≥f(x0)
答案 B
解析 由于f′(x)＝cosx－，当x∈[0，π]时，若有cosx0＝，由于y＝cosx在x∈[0，π]上为减函数，故有x∈[0，x0]时，f′(x)>0，当x∈[x0，π]时，f′(x)<0，即函数的最大值为f(x0)，故C，D选项错误，又函数在区间[x0，π]上为减函数，故选B.
8．(2016·黄冈调研)已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－3，3]，且它们在[0，3]上的图像如图所示，则不等式<0的解集是( )
A．(－2，－1)∪(0，1) B．(0，1)∪(2，3)
C．(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3) D．(－2，1)∪(2，3)
答案 C
解析 根据题意，结合图像可知<0成立的充要条件是f(x)g(x)<0，则说明函数值异号．由图像可知在y轴右侧，(0，1)∪(2，3)满足题意，利用对称性可知，在y轴左侧，满足题意的有(－2，－1)．综上可知不等式<0的解集是(－2，－1)∪(0，1)∪(2，3)．
9．(2016·邯郸调研)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝
－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：
①f(2 014)＋f(－2 015)＝0
②函数f(x)在定义域上是周期为2的函数
③直线y＝x与函数f(x)的图像有2个交点
④函数f(x)的值域为(－1，1)．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．①④ D．①②③④
答案 C
解析 由于当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，从而当x∈[1，2)时，x－1∈[0，1)，有f(x－1)＝log2x，又f[(x－1)＋1]＝－f(x－1)⇒f(x－1)＝－f(x)＝log2x，即f(x)＝－log2x，
所以f(x)＝又f(x)为定义在R上的偶函数，所以可作出函数f(x)的图像如图所示．由题意，得f(2 015)＝－f(2 014)，所以f(－2 015)＝－f(2 014)，所以f(2 014)＋f(－2 015)＝0，故①正确；根据题意作出函数f(x)的图像如图所示，由图知函数f(x)在定义域上不是周期函数，故②错误；直线y＝x与函数f(x)的图像有1个交点，故③错；函数f(x)的值域为(－1，1)，故④正确．综上所述，其中正确的是①④.
10．(2016·广州综合测试)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x3，则函数g(x)＝|cos(πx)|－f(x)在区间[－，]上的所有零点的和为( )
A．7 B．6
C．3 D．2
答案 A
解析 令g(x)＝|cos(πx)|－f(x)＝0，得|cos(πx)|＝f(x)，所以函数g(x)在区间[－
，]上的所有零点之和可转化为函数y＝|cos(πx)|与函数y＝f(x)图像的交点的横坐标之和，由于两图像都关于x＝1成轴对称图形，所以在[－，]上共有7个交点，从左到右依次为x1，x2，…，x7，故＝＝＝x4＝1，所以g(x)在区间[－，]上的所有零点之和为7.
11．(2016·河北七校)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，
a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
答案 D
解析 如图，画出f(x)＝的图像，若使函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则a＋1≤2或a≥4，解得实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)，故选D.
12．(2016·山西四校)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0，6)内解的个数的最小值是( )
A．2 B．3
C．5 D．7
答案 D
解析 ∵f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，∴f(x＋3)＝f(x)，f(0)＝0，f(3)＝0，∵f(2)＝0，∴f(－2)＝0，∴f(－2)＝－f(2)＝0，f(2＋3)＝f(5)＝f(2)＝0，则f(－2＋3)＝f(1)＝f(4)＝0，当x＝－时，f(－＋3)＝f(－)＝－f()，即f()＝
－f()，则f()＝0，则f()＝f(＋3)＝f()＝0，则1，2，3，4，5，，为方程f(x)＝0在区间(0，6)内的解，此时至少有7个，故选D.
13．(2016·江西七校)已知函数f(x)＝sinx＋＋a，x∈[－5π，0)∪(0，5π]．记函数f(x)的最大值为M，最小值为m，若M＋m＝20，则实数a的值为( )
A．10 B．11
C．8 D．9
答案 A
解析 令函数g(x)＝sinx＋，因为x∈[－5π，0)∪(0，5π]，且g(－x)＝－g(x)，故函数g(x)为奇函数，故g(x)max＋g(x)min＝0，故M＋m＝g(x)max＋a＋g(x)min＋a＝20，解得a＝10.
二、填空题
14．(2016·唐山调研)函数f(x)＝是奇函数，
则实数a＝________．
答案 －2
解析 因为函数f(x)为奇函数，所以＝
－，即(x＋2)(x＋a)＝(x－2)(x－a)，
整理得2x(a＋2)＝0，所以a＝－2.
15．(2016·湖南四校)若函数f(x)＝x2＋a|x－2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
答案 [－4，0]
解析 ∵f(x)＝x2＋a|x－2|，∴f(x)＝又∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴⇒－4≤a≤0，即实数a的取值范围是[－4，0]．
16．(2016·长沙模拟)已知f(x)是定义在R上的偶函数，令F(x)＝(x－b)f(x－b)＋2 014，若b是a，c的等差中项，则F(a)＋F(c)＝________．
答案 4 028
解析 依题意得F(a)＋F(c)＝(a－b)f(a－b)＋2 014＋(c－b)f(c－b)＋2 014.又b是a，c的等差中项，因此a－b＝－(c－b)．记g(x)＝xf(x)，则有g(－x)＝－xf(－x)＝－xf(x)＝－g(x)，即函数g(x)＝xf(x)是奇函数，
从而有(a－b)f(a－b)＋(c－b)f(c－b)＝0，因此F(a)＋F(c)＝4 028.
17．(2016·合肥调研)定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝则关于x的函数F(x)＝f(x)－a(00，解得x>1或x<－1.
因为f(－x)＝log2＝log2＝－log2＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，所以其图像关于原点对称．因为f(x)＝log2＝log2(1＋)，所以函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)的图像与平行四边形ABCD如图所示，
所以|AB|＝＝，直线AB的方程为：3x＋4y－13＝0，因为点A(3，1)关于原点对称的点为C(－3，－1)，所以点C到直线AB的距离d＝＝，所以平行四边形ABCD的面积S＝|AB|·d＝×＝.
1．(2016·重庆测试)下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x3＋3x2 B．y＝
C．y＝xsinx D．y＝log2
答案 D
解析 依题意，对于选项A，注意到当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝4，因此函数y＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项B，注意到当x＝0时，y＝1≠0，因此函数y＝不是奇函数．对于选项C，注意到当x＝－时，y＝；当x＝时，y＝，因此函数y＝xsinx不是奇函数．对于选项D，由>0得
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