数学理卷·2018届四川省中江县龙台中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届四川省中江县龙台中学高二下学期期中考试（2017-04）

高2015级第四学期数学中期试卷（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎2．命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0＞0，lnx0≤x0﹣1 B．∃x0＞0，lnx0＞x0﹣1‎ C．∃x0＜0，lnx0＜x0﹣1 D．∃x0＞0，lnx0≥x0﹣1‎ ‎3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，其中i是虚数单位，则的虚部为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣i D． i ‎4．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7函数在区间上最大值与最小值分别是（ ）‎ A．5，－15　　　B．5，－4　　　C．－4，－15　　　D．5，－16‎ ‎8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x ‎9．如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入m=5280，n=1595，则输出的m=（　　）‎ A．2 B．55 C．110 D．495‎ ‎10．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎11．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x ‎=2，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x解的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为　　．‎ ‎ 14．若数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，那么就称数列{an}具有性质P，已知数列{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=　　．‎ ‎15．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　　．‎ ‎16．、如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数在区间内单调递增；‎ ‎②函数在区间内单调递减；‎ ‎③函数在区间内单调递增；‎ ‎④当时，函数有极小值；‎ ‎⑤当时，函数有极大值.‎ 则上述判断中正确的是____________．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知函数，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．‎ ‎（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范围．‎ ‎18．某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：‎ 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；‎ ‎（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；‎ ‎19．．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．‎ ‎（Ⅰ）求PE的长；‎ ‎（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其短轴为2，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎21．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．‎ ‎22．．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．‎ ‎（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎　‎ ‎　‎ 高2015级数学中期试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】根据元素和集合的关系可知1∈A且1∈B，即可求出m，n的值，问题得以解决．‎ ‎【解答】解：A={2，log7m}，B={m，2n}，A∩B={1}，‎ ‎∴1∈A且1∈B，‎ ‎∴log7m=1，2n=1‎ ‎∴m=7，n=0，‎ ‎∴m+n=7．‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是（　　）‎ A．∃x0＞0，lnx0≤x0﹣1 B．∃x0＞0，lnx0＞x0﹣1‎ C．∃x0＜0，lnx0＜x0﹣1 D．∃x0＞0，lnx0≥x0﹣1‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是∃x0＞0，lnx0＞x0﹣1，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，其中i是虚数单位，则的虚部为（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣i D． i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1﹣2i，∴z2=﹣1﹣2i．‎ 则==﹣=﹣=﹣i．‎ 其虚部为﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，则与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，可得•=﹣3，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求角．‎ ‎【解答】解：向量，满足||=2，||=3，（﹣）•=7，‎ 可得2﹣•=4﹣•=7，可得•=﹣3，‎ cos＜，＞===﹣，‎ 由0≤＜，＞≤π，‎ 可得＜，＞=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该多面体的各条棱中最长棱的长度为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为四棱锥，底面是正方形，根据三视图数据计算出最长棱即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，其中底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，‎ 且PA=AB=1，‎ ‎∴几何体的最长棱为PC==．‎ 故选：D ‎　‎ ‎6．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为a1，公差为d，由题意可得a1和d的方程，解方程可得．‎ ‎【解答】解：由题意可得中间的那份为20个面包，‎ 设最小的一份为a1，公差为d，‎ 由题意可得×=a1+（a1+d），‎ 解得a1=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7‎ ‎　‎ ‎8．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=4x B．y2=8x C．y2=3x D．y2=6x ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线的方程可求得焦点坐标，进而根据斜率表示出直线的方程，与抛物线的方程联立消去y，进而根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，进而利用配方法求得|x1﹣x2|，利用弦长公式表示出段AB的长求得p，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=，‎ 联立抛物线方程整理可得3x2﹣5px+p2=0，‎ ‎∴x1+x2=p，x1x2=，‎ ‎∴|x1﹣x2|==p，‎ 又|AB|==8求得p=3，‎ ‎∴抛物线的方程为y2=6x．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．如图所示的程序框图描述的为辗转相除法，若输入m=5280，n=1595，则输出的m=（　　）‎ A．2 B．55 C．110 D．495‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】程序的运行功能是求m=5280，n=1595的最大公约数，根据辗转相除法可得m的值．‎ ‎【解答】解：由程序框图知：程序的运行功能是求m=5280，n=1595的最大公约数，‎ ‎∵5280=3×1595+495；‎ ‎1595=3×495+110；‎ ‎495=4×110+55；‎ ‎110=2×55+0；‎ ‎∴此时m=55；‎ ‎∴输出m的值为55．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．已知x，y满足，且z=2x﹣y的最大值是最小值的﹣2倍，则a=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小值的2倍列式求得a值．‎ ‎【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，‎ 联立，得B（a，2﹣a），‎ 联立，得A（1，1），‎ 化目标函数z=2x﹣y为y=2x﹣z，‎ 由图可知zmax=2×1﹣1=1，zmin=2a﹣2+a=3a﹣2，‎ 由=﹣2，解得：a=．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S、i的值，‎ 当i=5时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值即可．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，S=0，k=1；‎ k=1，不满足条件i＞4，S=1，i=2；‎ k=，不满足条件i＞4，S=，i=3；‎ k=，不满足条件i＞4，S=，i=4；‎ k=，不满足条件i＞4，S=，i=5；‎ k=，满足条件i＞4，退出循环，输出S=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．若实数a满足x+lgx=2，实数b满足x+10x=2，函数f（x）=，则关于x的方程f（x）=x解的个数为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】根据y=lgx与y=10x的对称关系得a+b=2，做出y=f（x）和y=x的函数图象，根据图象判断方程解的个数．‎ ‎【解答】解：由题意可得：2﹣a=lga，2﹣b=10b，‎ 做出y=lgx，y=2﹣x，y=10x的函数图象如图所示：‎ ‎∵y=lgx与y=10x互为反函数，‎ ‎∴y=lgx与y=10x的函数图象关于直线y=x对称，‎ 又直线y=2﹣x与直线y=x垂直，交点坐标为（1，1），‎ ‎∴a+b=2，‎ ‎∴f（x）=，‎ 做出y=f（x）与y=x的函数图象如图所示：‎ 由图象可知f（x）的图象与直线y=x有两个交点，‎ ‎∴f（x）=x有两个解．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为　　．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y+1=0，‎ 圆ρ=﹣4cosθ 即ρ2=﹣4ρcosθ，即 x2+y2+4x=0，即 （x+2）2+y2=4，‎ 表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．‎ ‎∴圆C的圆心到直线l的距离为=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ ‎14．若数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1，那么就称数列{an}具有相纸P，已知数列{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a3=3，a5=2，a6+a7+a8=21，则a2017=　15　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】根据题意，由于数列{an}具有性质P以及a2=a5=2，分析可得a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，结合题意可以将a6+a7+a8=21变形为a3+a4+a5=21，计算可得a4‎ 的值，进而分析可得a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）；分析可得a2017的值．‎ ‎【解答】解：根据题意，数列{an}具有性质P，且a2=a5=2，‎ 则有a3=a6=3，a4=a7，a5=a8=3，‎ 若a6+a7+a8=21，可得a3+a4+a5=21，则a4=21﹣3﹣3=15，‎ 进而分析可得：a3=a6=a9=…a3n=3，a4=a7=a6=…a3n+1=15，a5=a8=…a3n+2=3，（n≥1）‎ 则a2017=a3×672+1=15，‎ 故答案为：15．‎ ‎　‎ ‎15．已知矩形 A BCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为　13π　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．‎ ‎【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，‎ 正六棱柱的体积V==≤=，‎ 当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，‎ 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，‎ ‎∴外接球的表面积为=13π．‎ 故答案为：13π．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．已知函数，x∈R，将函数f（x）向左平移个单位后得函数g（x），设△ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．‎ ‎（Ⅰ）若，f（C）=0，sinB=3sinA，求a、b的值；‎ ‎（Ⅱ）若g（B）=0且，，求的取值范围．‎ ‎【考点】解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）为，由f（C）=0求得，，由余弦定理知：‎ ‎，因sinB=3sinA，可得b=3a，由此求得a、b的值．‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，由g（B）=0求得，故，化简等于sin（），根据的范围求得的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ） =．…‎ ‎，所以．‎ 因为，‎ 所以 所以．…‎ 由余弦定理知：，因sinB=3sinA，‎ 所以由正弦定理知：b=3a．…‎ 解得：a=1，b=3…‎ ‎（Ⅱ）由题意可得，所以，所以．‎ 因为，所以，即 又，，‎ 于是…‎ ‎∵，得…‎ ‎∴，即．…‎ ‎　‎ ‎18．某超市从2017年1月甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的数据中分别随机抽取100个，并按，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分组，得到频率分布直方图如下：‎ 假设甲、乙两种酸奶独立销售且日销售量相互独立．‎ ‎（Ⅰ）写出频率分布直方图（甲）中的a值；记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量（单位：箱）的方差分别为S12与S22，试比较S12与S22的大小（只需写出结论）；‎ ‎（Ⅱ）估计在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰有一个高于20箱且另一个不高于20箱的概率；‎ ‎（Ⅲ）设X表示在未来3天内甲种酸奶的日销售量不高于20箱的天数，以日销售量落入各组的频率作为概率，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用频率分布直方图的性质即可得出．‎ ‎（Ⅱ）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．求出P（A），P（B），P（C）．‎ ‎（Ⅲ）X的可能取值为0，1，2，3，利用二项分布列的性质求出概率，得到分布列，然后求解期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由各小矩形面积和为1，‎ 得（0.010+a+0.020+0.025+0.030）×10=1，‎ 解得a=0.015，‎ 由频率分布直方图可看出，甲的销售量比较分散，而乙较为集中，主要集中在20﹣30箱，‎ 故s12＞s22．‎ ‎（II）设事件A：在未来的某一天里，甲种酸奶的销售量不高于20箱；‎ 事件B：在未来的某一天里，乙种酸奶的销售量不高于20箱；‎ 事件C：在未来的某一天里，甲、乙两种酸奶的销售量恰好一个高于20箱且另一个不高于20箱．‎ 则P（A）=0.20+0.10=0.3，P（B）=0.10+0.20=0.3．‎ ‎∴P（C）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.42．‎ ‎　‎ ‎19．．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．‎ ‎（Ⅰ）求PE的长；‎ ‎（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；‎ ‎（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求出AC长，从而得到PC长，由此能求出PE．‎ ‎（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AE⊥平面PBC．‎ ‎（Ⅲ）求出平面ABE的法向量和平面ADE的法向量，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的度数．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，‎ AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，‎ 且PE=PC，‎ ‎∴AC==，‎ ‎∴PC===，‎ ‎∴PE=PC=．‎ 证明：（Ⅱ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，2），E（），B（2，0，0），‎ ‎=（），=（2，0，﹣2），‎ ‎=（1，1，﹣2），‎ ‎==0， ==0，‎ ‎∴AE⊥PB，AE⊥PC，‎ 又PB∩PC=P，∴AE⊥平面PBC．‎ 解：（Ⅲ）D（0，1，0），=（2，0，0），=（0，1，0），=（），‎ 设平面ABE的法向量=（x，y，z），‎ 则，取y=1，得=（0，1，﹣1），‎ 设平面ADE的法向量=（a，b，c），‎ 则，取a=1，得=（1，0，﹣1），‎ 设二面角B﹣AE﹣D的度数为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴θ=60°，‎ ‎∴二面角B﹣AE﹣D的度数为60°．‎ ‎　‎ ‎20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0），其短轴为2，离心率为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与椭圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质2b=2，离心率e===，求得a，求得椭圆方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得k1+k2的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：2b=2，b=1，‎ 椭圆的离心率e===，‎ 则a=，‎ ‎∴椭圆的标准方程：；‎ ‎（Ⅱ）设直线MN的方程为y=k（x﹣2）（k≠0）．‎ ‎，消去y整理得：（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ k1+k2=+=+=k ‎=k=0‎ ‎∴k1+k2=0为定值．‎ ‎　‎ ‎21．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．‎ ‎（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；‎ ‎（2）求f（x）的单调区间；‎ ‎（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；‎ ‎（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；‎ ‎（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可 ‎【解答】解：（1）函数f（x）=x2+alnx的导数为f′（x）=x+，‎ 由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，‎ 可得2+=，解得a=﹣3；‎ ‎（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ f′（x）=，‎ 当a＜0时，f′（x）=，‎ 当0＜x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ 当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．‎ 综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（，+∞），减区间是（0，）；‎ ‎（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x ‎=﹣x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，‎ 问题等价于求函数F（x）的零点个数．‎ 当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+=﹣，‎ 由a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，‎ 由F（3）=﹣+6﹣ln3=﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，‎ 由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；‎ 当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，‎ 由极小值F（1）=﹣+（1﹣a）+aln1=﹣a＞0，‎ 极大值F（﹣a）=﹣a2+a2﹣a+aln（﹣a）=a2﹣a+aln（﹣a）＞0，‎ 由x→+∞时，F（x）→﹣∞，‎ 可得F（x）存在一个零点．‎ 综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．‎ ‎22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ=2sinθ，ρcos（θ﹣）=．‎ ‎（Ⅰ）求C1和C2交点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与x轴的交点为P，且与C1交于A，B两点，求|PA|+|PB|．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出C1和C2的直角坐标方程，得出交点坐标，再求C1和C2交点的极坐标；‎ ‎（Ⅱ）利用参数的几何意义，即可求|PA|+|PB|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由C1，C2极坐标方程分别为ρ=2sinθ，’‎ 化为平面直角坐标系方程分为x2+（y﹣1）2=1，x+y﹣2=0． …‎ 得交点坐标为（0，2），（1，1）． …‎ 即C1和C2交点的极坐标分别为．…‎ ‎（II）把直线l的参数方程：（t为参数），代入x2+（y﹣1）2=1，‎ 得，…‎ 即t2﹣4t+3=0，t1+t2=4，…‎ 所以|PA|+|PB|=4．…‎