甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

甘肃省甘南藏族自治州合作第一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

合作一中2019-2020学年第一学期期末考试高一数学试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.，则与位置关系是 (　　)‎ A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面或相交 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 结合图(1)，(2)，(3)所示的情况，可得a与b的关系分别是平行、异面或相交．‎ 选D．‎ ‎2.直线过点(0，3)且垂直于y轴，它的倾斜角和斜率是（ ）‎ A. 90°，不存在 B. 180°，‎0 ‎C. 90°，1 D. 0°，0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线垂直于y轴可得倾斜角及斜率.‎ ‎【详解】因为直线l与y轴垂直，‎ 所以直线的倾斜角是0°，斜率为0，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率，属于基础题.‎ ‎3.已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】因为线段的垂直平分线上的点到点，的距离相等，‎ 所以 ‎．‎ 即：‎ ‎，‎ 化简得：．‎ 故选．‎ ‎4.如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设两个球半径分别为r,R,则由条件知：，于是两球对应的表面积之比为故选C ‎5.有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. 以上都不正确．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由三视图可得该几何体为圆锥，‎ 且底面直径为6，即底面半径为r=3，圆锥的母线长l=5‎ 则圆锥底面积S底面=9π 侧面积S侧面=π•r•l=15π 故几何体的表面积S=9π+15π=24π，‎ 又由圆锥的高h2= l2-r2=16‎ 故V=•S底面•h=12π 故选A ‎6.直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线方程整理为后可得直线所过的定点.‎ ‎【详解】把直线方程整理为，令，故，所以定点为，故选C.‎ ‎【点睛】一般地，动直线所过的定点为直线的交点.解题中注意对含参数的直线方程进行化简.‎ ‎7.直线与直线平行，则它们之间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：因为直线与直线平行，则，则m=2,它们之间的距离为,选D ‎8.直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么利用圆心到直线的距离公式 ‎，利用勾股定理可知弦长为．‎ 选C ‎9.表示直线，表示平面，给出下列四个命题：①若则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确命题的个数有（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若则平行或相交或异面，故①错；若，则或，故②错；若，则平行或相交或异面，故③错；若，则，是直线与平面垂直性质定理，故④正确．故选B．‎ 考点：点线面的位置关系．‎ ‎10.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：先求得M（2,，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得，故选C．‎ 考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用．‎ 点评：简单题，应用公式计算．‎ ‎11.点P在圆C1：x2+y2﹣8x﹣4y+11=0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是（ ）‎ A. 5 B. 3 C. 35 D. 35‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化圆的方程为标准方程，确定两圆的位置关系，可得|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和．‎ ‎【详解】圆化为标准方程为，‎ 圆心为C1(4,2)，半径为3；‎ 圆化为标准方程为,‎ 圆心为C2(−2,−1)，半径为2，‎ ‎∴两圆的圆心距为，‎ ‎∴两圆外离，‎ ‎∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去半径的和,即35，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查圆与圆的位置关系及其判定，利用圆心距和两圆半径之和比较大小（几何法）可知两圆位置关系，圆心距加两圆半径之和即为两圆动点的最大距离，圆心距减两圆半径之和即为两圆动点的最小距离，属于基础题.‎ ‎12.若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. ． C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数变形为，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线有公共点，一个临界是相切，一个临界是过点（-1，0），列式求值即可.‎ ‎【详解】函数 可化简为：，表示的是以（1，0）为圆心，2为半径的圆的下半部分，与直线有公共点，根据题意画出图像：‎ 一个临界是和圆相切，即圆心到直线的距离等于半径，正值舍去；‎ 另一个临界是过点（-1，0）代入得到m=1.‎ 故答案为B.‎ ‎【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分. ‎ ‎13.已知圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．则此圆方程是 ．‎ ‎【答案】（x﹣2）2+（y+1）2=1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据条件求出圆心和半径即可得到结论．‎ 解：∵圆的﹣条直径的两端点是（2，0），（2，﹣2）．‎ ‎∴圆心坐标为（，），即（2，﹣1），‎ 则半径r=1，‎ 则圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=1，‎ 故答案为（x﹣2）2+（y+1）2=1‎ 考点：圆的一般方程．‎ ‎14.已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：‎ ‎（1）BC′与CD′所成的角为________；‎ ‎（2）AD与BC′的位置关系是________.‎ ‎【答案】 (1). 60° (2). 异面 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连结BA'、A'C'，利用正方体的性质得到四边形A'D'CB是平行四边形，得BA'∥CD'，从而∠A'BC'就是BC'与CD'所成的角．由正三角形△A'BC'求得∠A'BC'=60°，即得BC'与CD'所成的角的大小；‎ ‎（2）由正方体的性质可知AD与BC′是既不相交又不平行的异面直线.‎ ‎【详解】(1)连结BA′、A′C′，则 ‎∵正方体ABCD−A′B′C′D′中,A′D′∥BC，A′D′=BC.‎ ‎∴四边形A′D′CB是平行四边形,可得BA′∥CD′,‎ 则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.‎ ‎∵△A′BC′为正三角形,可得∠A′BC′=60°.‎ 即BC′与CD′所成的角为60°；‎ ‎(2)由正方体ABCD−A′B′C′D′中,可得AD∥平面BCC′B′，‎ BC′平面BCC′B′内，‎ ‎∴AD与BC′无交点且不平行，‎ ‎∴AD与BC′是异面直线.‎ 故答案为：60°，异面.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线及其所成的角及空间直线位置关系，属于基础题.‎ ‎15.一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为‎6cm的正方形，则它的体积为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可得这个正三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，这个正三棱柱的高为6，由此能求出它的体积．‎ ‎【详解】∵一个正三棱柱的侧面展开图是一个边长为‎6cm的正方形，‎ ‎∴这个正三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，‎ 这个正三棱柱的高为6，‎ ‎∴它的体积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积计算，根据题意求出底面边长与高，代入体积公式即可，属于简单题.‎ ‎16.圆x2+y2﹣4x﹣2y+1=0上的动点Q到直线4x+3y+12=0距离的最小值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径r，再利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，d-r即为动点Q到直线的最小距离，求出即可．‎ ‎【详解】把圆的方程化为标准方程得：(x−2)2+(y−1)2=4，‎ 可得圆心坐标为(2,1)，半径r=2，‎ ‎∴圆心到直线4x+3y+12=0距离，‎ ‎∴d−r=−2=，‎ 则Q到直线4x+3y+12=0的最小距离.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆的方程的应用，求圆上动点到直线距离最值问题通常利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，d-r即为动点到直线的最小距离，d+r即为动点到直线的最大距离，本题属于简单题.‎ 三、解答题：本大题共6题，共7O分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知圆台的上、下底面半径分别是2 ,5 , 且侧面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设圆台的母线长为,‎ 则圆台的上底面面积为,‎ 圆台的下底面面积为,‎ 所以圆台的底面面积为,‎ 又圆台的侧面积,‎ 于是,‎ 即为所求. ‎ 主要考查圆台上下底面，侧面面积公式的计算.‎ ‎18.已知经过直线x+2y+5=0和3x-y+1=0的交点，且平行于直线.‎ ‎（1）求的方程.‎ ‎（2）求与坐标轴围成的三角形面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将x+2y+5=0和3x-y+1=0联立，求出交点，又可知直线斜率为-2，利用点斜式方程求出并化简即可．‎ ‎（2）根据直线方程求出与坐标轴交点坐标，根据三角形面积公式计算可得．‎ ‎【详解】(1)将x+2y+5=0与3x-y+1=0联立方程组解得交点坐标为.‎ 由所求直线与直线平行,则所求直线斜率为−2，‎ 所以方程为，‎ 从而所求直线l方程为；‎ ‎(2)根据(1)直线l方程,‎ 令y=0得到x=,令x=0得到y=−4,‎ 则,‎ 从而所求三角形面积为4.‎ ‎【点睛】本题考查两条直线的交点坐标,直线的一般式方程与直线的平行关系,直线的截距计算等知识，考查对直线方程的应用，属于基础题.‎ ‎19.已知圆心在直线上，且与直线相切于点，求此圆的标准方程 ‎【答案】（x﹣1）2+（y+2）2=2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意布列关于圆心的方程组，解之即可.‎ 试题解析：‎ 解：设圆心坐标为（a，b），半径为r，依题意得则 ‎， ‎ 解得a=1，b=﹣2，‎ ‎∴r=， ‎ ‎∴要求圆的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2‎ ‎20. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA＝AD.‎ 求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：1)证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高，中线和顶角的角平分线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形等等； (2)证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面.解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化.‎ 试题解析：(1)∵PA⊥底面ABCD，平面ABCD ‎∴CD⊥PA.‎ 又矩形ABCD中，CD⊥AD，‎ ‎∵AD∩PA＝A，平面PAD，平面PAD ‎∴CD⊥平面PAD，‎ 平面PAD∴CD⊥PD.‎ ‎(2)取PD的中点G，连结AG，FG.又∵G、F分别是PD、PC的中点，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴四边形AEFG是平行四边形，‎ ‎∴AG∥EF.‎ ‎∵PA＝AD，G是PD的中点，‎ ‎∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，‎ ‎∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD.‎ ‎∴CD⊥AG.∴EF⊥CD.‎ ‎∵PD∩CD＝D，平面PCD，CD平面PCD ‎∴EF⊥平面PCD.‎ 考点：线线、线面与面面关系的相互转化、线面垂直 ‎21.已知正方体，是底对角线的交点.‎ 求证：（1）面；‎ ‎（2）已知正方体棱长为2，求到面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用正方形的相关性质和线面平行的判定来证明，连接A‎1C1和B1D1交于点E，连接AE，可得四边形AOC1E为平行四边形，进一步证明得出结果．‎ ‎（2）利用锥体，通过等体积转化法求出距离．‎ ‎【详解】(1)证明：连接A‎1C1和B1D1交于点E，连接AE，‎ 由于在正方体ABCD−A1B‎1C1D1中,C1E∥AO且CE1=AO，‎ 四边形AOC1E为平行四边形.‎ 所以：C1O∥AE，‎ C1O⊄平面AB1D1,AE⊂平面AB1D1，‎ 所以：C1O∥平面AB1D1；‎ ‎ ‎ ‎(2)利用，‎ 设A1到面AB1D1的距离为h，AA1=2，‎ ‎，‎ 解得：.‎ 到面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定,求点到面的距离通常利用等体积转化法进行求解，考查空间推理能力与转化思想的应用，属于简单题.‎ ‎22.在平面直角坐标中，圆与圆相交与两点．‎ ‎（I）求线段的长．‎ ‎（II）记圆与轴正半轴交于点，点在圆C上滑动，求面积最大时的直线的方程．‎ ‎【答案】（I）；（II）或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先求得相交弦所在的直线方程，再求得圆的圆心到相交弦所在直线的距离，然后利用直线和圆相交所得弦长公式，计算出弦长.（II）先求得当时，取得最大值，根据两直线垂直时斜率的关系，求得直线的方程，联立直线的方程和圆的方程，求得点的坐标，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（I）由圆O与圆C方程相减可知，相交弦PQ的方程为．‎ 点（0，0）到直线PQ的距离，‎ ‎（Ⅱ），.‎ 当时，取得最大值．‎ 此时，又则直线NC为．‎ 由，或 当点时，，此时MN的方程为．‎ 当点时，，此时MN的方程为．‎ ‎∴MN的方程为或．‎ ‎【点睛】本小题主要考查圆与圆相交所得弦长的求法，考查三角形面积公式，考查直线与圆相交交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查两直线垂直时斜率的关系，综合性较强，属于中档题.‎