2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-4 双曲线及其性质（试题部分）
§9.4 双曲线及其性质
探考情 悟真题
【考情探究】
考点
内容解读
5年考情
预测
热度
考题示例
考向
关联考点
双曲线的定义及标准方程
了解双曲线的定义、几何性质和标准方程,知道它的简单几何性质
2019课标全国Ⅲ,10,5分
双曲线的定义及双
曲线的标准方程
—
★★★
2018课标全国Ⅱ,6,5分
双曲线的渐近线方程
—
双曲线的几何性质
2019课标全国Ⅱ,12,5分
双曲线的离心率
圆的性质
直线与双曲线的位置关系
2019课标全国Ⅰ,10,5分
双曲线的离心率
同角三角函数的基本关系式
分析解读
从近几年的高考题来看,双曲线的定义、标准方程、几何性质一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,难度不大,属中档题目,灵活运用双曲线的定义和几何性质是解决双曲线问题的关键.主要考查学生分析问题、解决问题的能力以及对数形结合思想和转化与化归思想的应用.
破考点 练考向
【考点集训】
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2019安徽合肥一模,3)设双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为4,一条渐近线为y=12x,则双曲线C的方程为( )
A.x216-y24=1 B.x24-y216=1
C.x264-y216=1 D.x2-y24=1
答案 A
2.(2019四川成都外国语学校二诊,8)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线x=0的夹角为30°,若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为83,则双曲线C的标准方程为( )
A.x24-y212=1 B.x24-y28=1
C.x212-y24=1 D.x28-y24=1
答案 A
3.已知点P在曲线C1:x216-y29=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是( )
A.6 B.8 C.10 D.12
答案 C
考点二 双曲线的几何性质
1.(2019福建泉州五中月考,6)已知双曲线的方程为x24-y29=1,则下列关于双曲线的说法正确的是( )
A.虚轴长为4 B.焦距为25
C.离心率为133 D.渐近线方程为3x±2y=0
答案 D
2.(2019课标全国Ⅱ,12,5分)设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 A
3.(2019河南鹤壁高中4月模拟,5)设F1,F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P是双曲线C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且∠F1PF2=60°,则双曲线C的渐近线方程是( )
A.3x±y=0 B.2x±7y=0
C.3x±2y=0 D.2x±3y=0
答案 C
考点三 直线与双曲线的位置关系
1.(2019河北石家庄一模,14)已知双曲线C:x2-4y2=1,过点P(2,0)的直线l与C有唯一公共点,则直线l的方程为 .
答案 y=±12(x-2)
2.若双曲线E:x2a2-y2=1(a>0)的离心率为2,直线y=kx-1与双曲线E的右支交于A,B两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若|AB|=63,求k的值.
答案 (1)由ca=2,a2=c2-1得a2=1,c2=2,
故双曲线方程为x2-y2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由y=kx-1,x2-y2=1得(1-k2)x2+2kx-2=0①.
∵直线与双曲线右支交于A,B两点,
∴1-k2≠0,Δ=(2k)2+8(1-k2)>0,x1+x2=-2k1-k2>0,x1x2=-21-k2>0,解得1
0)的右焦点,过E的右顶点作x轴的垂线与E的渐近线相交于A,B两点,O为坐标原点,四边形OAFB为菱形,圆x2+y2=c2(c2=a2+b2)与E在第一象限的交点是P,且|PF|=7-1,则双曲线E的方程是( )
A.x26-y22=1 B.x22-y26=1
C.x23-y2=1 D.x2-y23=1
答案 D
3.设动圆C与两圆C1:(x+5)2+y2=4,C2:(x-5)2+y2=4中的一个内切,另一个外切,则动圆圆心C的轨迹方程为 .
答案 x24-y2=1
方法2 求双曲线的离心率(或其取值范围)的方法
1.(2017课标全国Ⅱ,5,5分)若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是( )
A.(2,+∞) B.(2,2)
C.(1,2) D.(1,2)
答案 C
2.(2019天津,6,5分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 D
3.(2019湖南湖北八市十二校第一次调研,8)设双曲线x2a2-y2b2=1(00,b>0)的左、右焦点为F1、F2,双曲线上的点P满足4|PF1+PF2|≥3|F1F2|恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.1,32 B.32,+∞ C.1,43 D.43,+∞
答案 C
【五年高考】
A组 统一命题·课标卷题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2019课标全国Ⅲ,10,5分)已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为( )
A.32 B.52 C.72 D.92
答案 B
2.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,66).当△APF周长最小时,该三角形的面积为 .
答案 126
3.(2015课标Ⅱ,15,5分)已知双曲线过点(4,3),且渐近线方程为y=±12x,则该双曲线的标准方程为 .
答案 x24-y2=1
考点二 双曲线的几何性质
1.(2018课标全国Ⅱ,6,5分)双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,则其渐近线方程为( )
A.y=±2x B.y=±3x
C.y=±22x D.y=±32x
答案 A
2.(2018课标全国Ⅲ,10,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线的距离为( )
A.2 B.2 C.322 D.22
答案 D
3.(2017课标全国Ⅰ,5,5分)已知F是双曲线C:x2-y23=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为( )
A.13 B.12 C.23 D.32
答案 D
4.(2019课标全国Ⅰ,10,5分)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为( )
A.2sin 40° B.2cos 40° C.1sin50° D.1cos50°
答案 D
5.(2017课标全国Ⅲ,14,5分)双曲线x2a2-y29=1(a>0)的一条渐近线方程为y=35x,则a= .
答案 5
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2017天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为( )
A.x24-y212=1 B.x212-y24=1
C.x23-y2=1 D.x2-y23=1
答案 D
2.(2016北京,12,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(5,0),则a= ;b= .
答案 1;2
3.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是 .
答案 (27,8)
考点二 双曲线的几何性质
1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )
A.22 B.1 C.2 D.2
答案 C
2.(2019北京,5,5分)已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的离心率是5,则a=( )
A.6 B.4 C.2 D.12
答案 D
3.(2018浙江,2,4分)双曲线x23-y2=1的焦点坐标是( )
A.(-2,0),(2,0) B.(-2,0),(2,0)
C.(0,-2),(0,2) D.(0,-2),(0,2)
答案 B
C组 教师专用题组
考点一 双曲线的定义及标准方程
1.(2016天津,4,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )
A.x24-y2=1 B.x2-y24=1 C.3x220-3y25=1 D.3x25-3y220=1
答案 A
2.(2015天津,5,5分)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(2,0),且双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=3相切,则双曲线的方程为( )
A.x29-y213=1 B.x213-y29=1 C.x23-y2=1 D.x2-y23=1
答案 D
3.(2010全国Ⅰ,8,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
考点二 双曲线的几何性质
1.(2015四川,7,5分)过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( )
A.433 B.23 C.6 D.43
答案 D
2.(2015安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( )
A.x2-y24=1 B.x24-y2=1 C.x2-y22=1 D.x22-y2=1
答案 A
3.(2015重庆,9,5分)设双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A.±12 B.±22 C.±1 D.±2
答案 C
4.(2014大纲全国,11,5分)双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为3,则C的焦距等于( )
A.2 B.22 C.4 D.42
答案 C
5.(2013课标Ⅰ,4,5分)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为52,则C的渐近线方程为( )
A.y=±14x B y=±13x
C.y=±12x D.y=±x
答案 C
6.(2015湖北,9,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( )
A.对任意的a,b,e1b时,e1e2
C.对任意的a,b,e1>e2
D.当a>b时,e1>e2;当a0,b>0).矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是 .
答案 2
8.(2018北京,12,5分)若双曲线x2a2-y24=1(a>0)的离心率为52,则a= .
答案 4
9.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x27-y23=1的焦距是 .
答案 210
10.(2015北京,12,5分)已知(2,0)是双曲线x2-y2b2=1(b>0)的一个焦点,则b= .
答案 3
11.(2015山东,15,5分)过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 .
答案 2+3
12.(2014浙江,17,4分)设直线x-3y+m=0(m≠0)与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B,若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是 .
答案 52
考点三 直线与双曲线的位置关系
(2014湖北,8,5分)设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线x2cos2θ-y2sin2θ=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 A
【三年模拟】
时间:60分钟 分值:80分
一、选择题(每小题5分,共55分)
1.(多选题)(命题标准样题,9)下面四个命题中,假命题是( )
A.要唯一确定抛物线,只需给出准线和抛物线上的一点
B.要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆,只需给出一个焦点和椭圆上的一点
C.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出双曲线上的两点
D.要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线,只需给出一条渐近线方程和离心率
答案 ACD
2.(2020届河南十所名校第一次联考,9)已知双曲线E:x23-y2=1,F为E的左焦点,P,Q为双曲线E右支上的两点,若线段PQ经过点(2,0),△PQF的周长为83,则线段PQ的长为( )
A.2 B.23 C.4 D.43
答案 B
3.(2020届四川天府名校10月联考,11)若双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被曲线x2+y2-4x+2=0截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为( )
A.3 B.233 C.5 D.255
答案 B
4.(2019宁夏石嘴山三中一模,10)已知F1,F2分别为双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点.过右焦点F2的直线l:x+y=c在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P,与y轴正半轴交于点Q,且点P为QF2的中点,△QF1F2的面积为4,则双曲线E的方程为( )
A.x22-y2=1 B.x22-y22=1 C.x24-y24=1 D.x24-y23=1
答案 B
5.(2020届四川南部中学摸底,11)已知直线l1与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B两点,且AB的中点M的横坐标为b,过点M且与l1垂直的直线l2过双曲线C的右焦点,则双曲线的离心率为( )
A.5+12 B.5+12 C.3+12 D.3+12
答案 A
6.(2020届河南天一第二次大联考,9)已知点P为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)右支上一点,点F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点I是△PF1F2的内心,若S△IPF1-S△IPF2≥22S△IF1F2恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(1,2) B.(1,22) C.(1,22] D.(1,2]
答案 D
7.(2018广东广州调研,11)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,左、右顶点分别为A,B,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,则kPA·kPB=( )
A.1 B.22 C.36 D.3
答案 A
8.(2019湖北模拟,11)设F1(-c,0),F2(c,0)是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,点P是C右支上异于顶点的任意一点,PQ是∠F1PF2的平分线,过点F1作PQ的垂线,垂足为Q,O为坐标原点,则|OQ|( )
A.为定值a
B.为定值b
C.为定值c
D.不确定,随P点位置变化而变化
答案 A
9.(2020届安徽六校第一次联考,12)如图,F1、F2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2的直线与双曲线C交于A,B两点.若|AB|∶|BF1|∶|AF1|=3∶4∶5,则双曲线的渐近线方程为( )
A.y=±23x B.y=±22x
C.y=±3x D.y=±2x
答案 A
10.(2019吉林长春质量监测(二),12)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,过F2且与渐近线垂直的直线分别与该渐近线和y轴相交于A,B两点,O为坐标原点,若S△AOF2S△AOB=2,则双曲线的离心率为( )
A.2 B.3 C.2 D.5
答案 B
11.(多选题)(2020届山东夏季高考模拟,10)已知双曲线C过点(3,2)且渐近线为y=±33x,则下列结论正确的是( )
A.C的方程为x23-y2=1
B.C的离心率为3
C.曲线y=ex-2-1经过C的一个焦点
D.直线x-2y-1=0与C有两个公共点
答案 AC
二、填空题(每小题5分,共25分)
答案 83
13.(2018山西太原一模,15)过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点且斜率为2的直线与该双曲线的右支交于两点,则此双曲线离心率的取值范围为 .
答案 (1,5)
14.(2020届百师联盟第一次联考,16)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2为其左、右焦点,线段F2A垂直于直线y=bax,垂足为点A,与双曲线交于点B,若F2B=BA,则该双曲线的离心率为 .
答案 2
15.(2020届陕西百校联盟9月联考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点M(x1,y1),N(-x1,y1)在双曲线C上,且x1>0,若|MN|2+|MF2|=|MF1|,且△MON为等边三角形,则双曲线C的渐近线方程为 .
答案 y=±2x
16.(2020届河南百校联盟10月联考,16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),离心率为32,直线l:y=-3(x-c)与C交于A,B两点(其中点A在x轴上方),△OAF和△OBF的面积分别记为S1和S2,则S1S2= .
答案 17
