专题51+不等式+基本不等式1-2019年高考数学(文)高频考点名师揭秘与仿真测试

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专题51+不等式+基本不等式1-2019年高考数学(文)高频考点名师揭秘与仿真测试

‎2019年高考数学(文)高频考点名师揭秘与仿真测试 ‎ ‎ 【考点讲解】‎ 一、具本目标:基本不等式: .‎ ‎  (1) 了解基本不等式的证明过程.‎ ‎  (2) 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 考点剖析:利用基本不等式求函数的最值.备考重点:含参数的不等式恒成立问题.基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用.‎ 二、知识概述:‎ 基本不等式 ‎1.如果,那么(当且仅当时取等号“=”).‎ 推论:().‎ ‎2.如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).‎ 推论:(,);.‎ 3. ‎.‎ ‎【方法提示】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.‎ ‎2.‎ 基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.‎ 注意:形如y=x+(a>0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解. ‎ ‎3.(1)在利用均值定理求最值时,要紧扣“一正、二定、三相等”的条件.“一正”是说每个项都必须为正值,“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值.“三相等”是说各项的值相等时,等号成立.‎ ‎(2)多次使用均值不等式解决同一问题时,要保持每次等号成立条件的一致性和不等号方向的一致性.‎ ‎4.利用基本不等式解决实际问题时的一般步骤为:‎ ‎(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;‎ ‎(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;‎ ‎(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;‎ ‎(4)正确写出答案.‎ ‎4.利用均值不等式求最值要灵活运用两个公式,(1),当且仅当时取等号;(2) , ,当且仅当时取等号;首先要注意公式的使用范围,其次还要注意等号成立的条件;另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.‎ 常见题型:1.利用基本不等式证明:已知、、都是正数,求证: ‎ ‎2.利用基本不等式求最值:‎ ‎(1)已知求函数的最小值;‎ 拼凑成两正数之和,使其积为定值,运用均值不等式可求出最小值.‎ ‎【解析】(1)由.‎ ‎,‎ 当且仅当,即时,函数取得最小值.‎ ‎(2)已知,求函数的最大值.‎ ‎【解析】由得,‎ 当且仅当,即时,函数取得最大值.‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2017山东,文】若直线过点(1,2),则2a+b的最小值为 .‎ ‎【解析】本题考点是基本不等式的具体应用.由直线过点(1,2)可得,‎ 所以.当且仅当时等号成立.‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2017天津,理12文13】若, ,则的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2019优选题】若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是________.‎ ‎【解析】本题考点是基本不等式的运用.‎ ‎ (1)方法一 由x+3y=5xy可得+=1,‎ ‎∴3x+4y=(3x+4y)(+)=+++≥+=5.‎ 当且仅当=,即x=1,y=时,等号成立,‎ ‎∴3x+4y的最小值是5.‎ 方法二 由x+3y=5xy得x=,‎ ‎∵x>0,y>0,∴y>,‎ ‎∴3x+4y=+4y=+4y=+·+4(y-)≥+2=5,‎ 当且仅当y=时等号成立,∴(3x+4y)min=5.‎ ‎【答案】5‎ ‎4.【优选题】已知x,y∈(0,+∞),2x-3=()y,若+(m>0)的最小值为3,则m=________.‎ ‎【答案】‎ ‎5.【2015高考四川,理9】如果函数在区间上单调递减,则mn的最大值为( )‎ ‎(A)16 (B)18 (C)25 (D)‎ ‎【解析】本题考点是二次函数与基本不等式的综合应用.‎ 时,抛物线的对称轴为.据题意,‎ 当时,抛物线的开口向上,根据题意可得即.‎ ‎..由且得.‎ 当时,抛物线开口向下,据题意得,即..由且得,故应舍去.要使得取得最大值,应有.所以,所以最大值为18.选B..‎ ‎【答案】B ‎6.【2016优选题】已知直线ax+by+c-1=0(b,c>0)经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心,则+的最小值是(  ) A.9 B.8 C.4 D.2‎ ‎【答案】 A ‎7.【2016优选题】设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn,若a1=d=1,则的最小值是________.‎ ‎【解析】本题考点是数列与基本不等式的综合应用问题.因数数列{an}为等差数列,所以通项与和分别为:an=a1+(n-1)d=n,Sn=,‎ ‎∴==(n++1)≥(2+1)=,‎ 当且仅当n=4时取等号.∴的最小值是.‎ ‎【答案】 ‎8.【2017优选题】 若直线()始终平分圆的周长,则 的最小值为 .‎ ‎【解析】本题考点是圆与基本不等式的综合应用.直线平分圆周,则直线过圆心,所以有 ‎(当且仅当 时取“=”).‎ ‎【答案】‎ 9. ‎【2017优选题】 若两个正实数满足,且恒成立,则实数的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎10.已知x,y均为正数,且x>y,求证:. ‎ ‎【解析】本题考点是基本不等式的具体应用,注意拚凑法的应用.‎ 因为x>0,y>0,x-y>0, ‎ ‎ = , ‎ 所以 ‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.已知,,且,则的最小值为( )‎ A. 8 B. 9 C. 12 D. 16‎ ‎【答案】B ‎2.设,若的最小值为( )‎ A. B.8 C. D.‎ ‎【答案】D ‎3. 已知函数,若且,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由已知得:,‎ 所以.注意,因为,所以不能取等号.选D.‎ ‎【答案】D ‎4.下列函数中,最小值为2的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】当 时 ,当 时 , ‎ ‎ ,当且仅当时取等号,由于无解,‎ 所以; ,当且仅当时取等号,所以选D. ‎ ‎【答案】D ‎5.若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎6. 已知,则的最小值为 ( )‎ A. 4 B. 8 C. 9 D. 6‎ ‎【解析】=,当且仅当 成立时,等号成立,即。选B.‎ ‎【答案】B ‎7.设,则的最小值为( )‎ A. 4 B. 9 C. 7 D. 13‎ ‎【答案】B ‎8.设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值是(  )‎ A.0 B.1 C. D.3‎ ‎【解析】==≤=1,当且仅当x=2y时等号成立,‎ 此时z=2y2,+-=-+=-,当且仅当y=1时等号成立,故所求的最大值为1.【答案】B ‎9.若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆的弦长为2,则 的最小值为( )‎ A. 4 B. 6 C. 12 D. 16‎ ‎【解析】圆心坐标为,半径为1,又直线截圆得弦长为2,所以直线过圆心,即, ,所以 ,当且仅当时取等号,因此最小值为6,故选B.‎ ‎【答案】B ‎10.对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上确界,若正数且,则的上确界为( )‎ A. B. C. D. -4‎ ‎【解析】,当且仅当 时取等号,因此的上确界为,选A.‎ ‎【答案】A ‎11.已知正数满足,则的最小值为________.‎ ‎【答案】25‎ ‎12.设均为正数,且,证明:‎ 证明:由 得. ‎ 由题设得,‎ 即. ‎ 所以,即. ‎
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