数学卷·2018届陕西省汉中市南郑中学高二上学期9月月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届陕西省汉中市南郑中学高二上学期9月月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）9月月考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）‎ ‎1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式为an=n2﹣14n+65，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．20不是这个数列中的项 B．只有第5项是20‎ C．只有第9项是20‎ D．这个数列第5项、第9项都是20‎ ‎3．若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（　　）‎ A．f（x）＞g（x） B．f（x）=g（x）‎ C．f（x）＜g（x） D．随x的值的变化而变化 ‎4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4﹣a2=4，S3=9，则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．an=n B．an=n+2 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1‎ ‎5．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1‎ ‎6．设a＞0，b＞0，若1是2a与2b的等差中项，则+的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎7．数列{an}中，an+1=an+2（n∈N*），则点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an）分布在（　　）‎ A．直线上，且直线的斜率为﹣2‎ B．抛物线上，且抛物线的开口向下 C．直线上，且直线的斜率为2‎ D．抛物线上，且抛物线的开口向上 ‎8．不等式＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}‎ C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2‎ ‎10．已知函数f（x）=2x，等差数列{an}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=（　　）‎ A．8 B．4 C．﹣6 D．‎ ‎11．已知函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}，则函数y=f（﹣x）的图象可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3] D．[﹣3，﹣]‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=1，S2=a3，则Sn=　　．‎ ‎14．如果a＞b，那么下列不等式：①a3＞b3；②＜；③3a＞3b；④lga＞lgb．其中恒成立的是　　．‎ ‎15．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为　　．‎ ‎16．若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式a＜1的解集为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解关于x的不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8．‎ ‎18．已知数列{an}的通项公式为an=n2﹣5n+4‎ ‎（1）数列中有多少项是负数？‎ ‎（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ ‎19．已知x＞0，y＞0，且=1，求：‎ ‎（1）xy的最小值；‎ ‎（2）x+y的最小值．‎ ‎20．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=7，S4=24．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设p、q是正整数，且p≠q，证明：．‎ ‎21．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎22．设的大小，并证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年陕西省汉中市南郑中学高二（上）9月月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目人要求的）‎ ‎1．设a，b，c∈R，且a＞b，则（　　）‎ A．ac＞bc B． C．a2＞b2 D．a3＞b3‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．‎ ‎【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；‎ B、1＞﹣2，但是，故B不正确；‎ C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；‎ D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．已知数列{an}的通项公式为an=n2﹣14n+65，则下列叙述正确的是（　　）‎ A．20不是这个数列中的项 B．只有第5项是20‎ C．只有第9项是20‎ D．这个数列第5项、第9项都是20‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】由an=n2﹣14n+65=20，即n2﹣14n+45=0，解出即可得出．‎ ‎【解答】解：由an=n2﹣14n+65=20，即n2﹣14n+45=0，因式分解为（n﹣5）（n﹣9）=0，‎ 解得n=5，9．‎ ‎∴这个数列第5项、第9项都是20．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．若f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1，则f（x）与g（x）的大小关系是（　　）‎ A．f（x）＞g（x） B．f（x）=g（x）‎ C．f（x）＜g（x） D．随x的值的变化而变化 ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】比较大小一般利用作差的方法，进而得到f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2，然后再利用二次函数的性质解决问题即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得：f（x）=3x2﹣x+1，g（x）=2x2+x﹣1‎ 所以f（x）﹣g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1≥1，‎ 所以f（x）＞g（x）．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4﹣a2=4，S3=9，则数列{an}的通项公式为（　　）‎ A．an=n B．an=n+2 C．an=2n﹣1 D．an=2n+1‎ ‎【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】先根据a4﹣a2=4求得公差d，进而根据等差数列的求和公式和S3=9求得a1，最后根据等差数列的通项公式求得答案．‎ ‎【解答】解：设数列的公差为d，依题意可得解得d=2，a1=1‎ ‎∴an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1‎ 故选C ‎　‎ ‎5．已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（　　）‎ A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．‎ ‎【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，‎ 当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），‎ 所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．设a＞0，b＞0，若1是2a与2b的等差中项，则+的最小值为（　　）‎ A．8 B．4 C．1 D．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】根据1是2a与2b的等差中项建立关系，2a+2b=2，即a+b=1，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：由题意：1是2a与2b的等差中项，则2a+2b=2，即a+b=1．‎ 那么（+）×1=（+）（a+b）=2+．‎ ‎∵a＞0，b＞0，‎ ‎∴≥2=2，（当且仅当a=b=时取等号）‎ 故得+的最小值为4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．数列{an}中，an+1=an+2（n∈N*），则点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an）分布在（　　）‎ A．直线上，且直线的斜率为﹣2‎ B．抛物线上，且抛物线的开口向下 C．直线上，且直线的斜率为2‎ D．抛物线上，且抛物线的开口向上 ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由题意要求过点A1（1，a1），A2（2，a2），…，An（n，an）的轨迹，由于这些点的横坐标为自然数，而纵坐标为数列{an}中的项，有an+1=an+2可以知道数列为等差数列，且公差为2，由此可以求解．‎ ‎【解答】解：∵=an﹣an﹣1=2（n≥2），‎ ‎∴A1，A2，A3，，An在斜率为2的直线上．‎ 故选C ‎　‎ ‎8．不等式＞0的解集为（　　）‎ A．{x|x＜﹣2，或x＞3} B．{x|x＜﹣2，或1＜x＜3}‎ C．{x|﹣2＜x＜1，或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1，或1＜x＜3}‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】解，可转化成f（x）•g（x）＞0，再利用根轴法进行求解．‎ ‎【解答】解： ⇔⇔（x﹣3）（x+2）（x﹣1）＞0‎ 利用数轴穿根法解得﹣2＜x＜1或x＞3，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．m≥4或m≤﹣2 B．m≥2或m≤﹣4 C．﹣2＜m＜4 D．﹣4＜m＜2‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先利用基本不等式求得的最小值，然后根据恒成立，求得m2+2m＜8，进而求得m的范围．‎ ‎【解答】解：≥2=8‎ 若恒成立，则使8＞m2+2m恒成立，‎ ‎∴m2+2m＜8，求得﹣4＜m＜2‎ 故选D ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=2x，等差数列{an}的公差为2．若f（a2+a4+a6+a8+a10）=4，则log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=（　　）‎ A．8 B．4 C．﹣6 D．‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】由已知函数解析式结合f（a2+a4+a6+a8+a10）=4求得a6，再求f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）的值，代入对数式得答案．‎ ‎【解答】解：由f（x）=2x，得，‎ ‎∴5a6=2，，‎ ‎∴f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）‎ ‎==，‎ ‎∴log2[f（a1）•f（a2）•f（a3）•…•f（a10）]=．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}，则函数y=f（﹣x）的图象可以为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】二次函数的性质．‎ ‎【分析】利用二次函数与不等式的解集，判断开口方向，利用对称性推出所求函数的图象即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}，‎ 所以a＜0．并且﹣3，1是函数的零点，‎ 函数y=f（﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（﹣x）的图象是B．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[，] B．[﹣，﹣] C．[，3] D．[﹣3，﹣]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．‎ ‎【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）‎ 作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，‎ 故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，‎ 斜率k=，‎ 要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，‎ 即k=＞0，即m＜0，满足kCD≤k＜kAB，‎ 此时AB的斜率kAB=2，‎ 由解得，即C（2，1），‎ CD的斜率kCD==，‎ 由，解得，即A（2，4），‎ AD的斜率kAD==，‎ 即≤k≤，‎ 则≤≤，‎ 解得﹣3≤m≤﹣，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1=1，S2=a3，则Sn=　n2+n　．‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1=1，S2=a3，∴2×1+d=1+2d，解得d=1．‎ 则Sn=n+=．‎ 故答案为： n2+n．‎ ‎　‎ ‎14．如果a＞b，那么下列不等式：①a3＞b3；②＜；③3a＞3b；④lga＞lgb．其中恒成立的是　①③　．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；不等式的基本性质．‎ ‎【分析】根据指数函数，对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：若a＞b，‎ 则：①a3＞b3恒成立；‎ ‎②＜在a，b异号时不成立；‎ ‎③3a＞3b恒成立；‎ ‎④lga＞lgb在a，b存在非正数时不成立，‎ 故答案为：①③‎ ‎　‎ ‎15．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定，若M（x，y）为D上的动点，点A的坐标为，则的最大值为　4　．‎ ‎【考点】简单线性规划；平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】首先画出可行域，z=•代入坐标变为z=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率为的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z与可行域有公共点时在y轴上的截距的最大值．‎ ‎【解答】解：由不等式组给定的区域D如图所示：‎ z=•=x+y，即y=﹣x+z 首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过B点时在y轴上的截距最大，从而z最大．‎ 因为B（，2），故z的最大值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．若不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，则关于t的不等式a＜1的解集为　（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）　．‎ ‎【考点】指、对数不等式的解法．‎ ‎【分析】由不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立求得a的取值范围，然后利用指数函数的单调性把不等式a＜1转化为关于t的一元二次不等式求解．‎ ‎【解答】解：∵不等式x2﹣2ax+a＞0对一切实数x∈R恒成立，‎ ‎∴（﹣2a）2﹣4a＜0，解得0＜a＜1．‎ 由a＜1，得t2+2t﹣3＞0，即t＜﹣3或t＞1．‎ ‎∴不等式a＜1的解集为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解关于x的不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】把不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8化为等价的不等式组，求出解集即可．‎ ‎【解答】解：不等式4≤x2﹣3x﹣6≤2x+8可化为，‎ 即；…‎ 解得，…，‎ 即5≤x≤7或x=﹣2；…‎ 所以原不等式的解集为{x|5≤x≤7或x=﹣2}．…‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的通项公式为an=n2﹣5n+4‎ ‎（1）数列中有多少项是负数？‎ ‎（2）n为何值时，an有最小值？并求出最小值．‎ ‎【考点】数列的函数特性．‎ ‎【分析】（1）令an=n2﹣5n+4＜0，解出n的范围，由此可得负项的项数；‎ ‎（2）对an进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由n2﹣5n+4＜0，得1＜n＜4，‎ 故数列中有两项为负数；‎ ‎（2）an=n2﹣5n+4=﹣，‎ 因此当n=2或3时，an有最小值，最小值为﹣2．‎ ‎　‎ ‎19．已知x＞0，y＞0，且=1，求：‎ ‎（1）xy的最小值；‎ ‎（2）x+y的最小值．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】（1）由题意和基本不等式可得xy=2x+8y≥2，解关于xy的不等式可得；‎ ‎（2）由题意可得x+y=（x+y）•（+）=10++，由基本不等式可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0， =1，‎ ‎∴xy=2x+8y≥2‎ 即xy≥8，∴≥8，‎ 平方可得xy≥64，‎ 当且仅当2x=8y即x=16，y=4时，“=”成立，‎ ‎∴xy的最小值为64；‎ ‎（2）∵x＞0，y＞0，且+=1．‎ ‎∴x+y=（x+y）•（+）=10++≥10+2=18，‎ 当且仅当=，即x=2y=12时“=”成立．‎ ‎∴x+y的最小值为18‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，a3=7，S4=24．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设p、q是正整数，且p≠q，证明：．‎ ‎【考点】数列与不等式的综合；基本不等式；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式化简a3=7，S4=24，分别得到关于首项和公差的两个方程，联立即可求出首项和公差的值，利用首项和公差写出等差数列的通项公式；‎ ‎（2）分别利用求得等差数列的前n项和的公式表示出Sp+q和S2p及S2q，然后利用做差法即可比较出Sp+q和的大小．‎ ‎【解答】解：（1）设首项和公差分别为a1，d 由得 ‎ 所以，则an=2n+1；‎ ‎（2）2Sp+q﹣（S2p+S2q）=2（p+q）2+4（p+q）﹣4p2﹣4p﹣4q2﹣4q ‎=﹣2（p﹣q）2≤0‎ 因为p≠q，所以．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对于x∈R，f（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．‎ ‎【分析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，则m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，‎ 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，‎ 则 解得﹣4＜m＜0‎ 综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）要x∈[1，3]，f（x）＜5﹣m恒成立，‎ 即m（x﹣）2+m﹣6＜0，x∈[1，3]恒成立．‎ 令g（x）=m（x﹣）2+m﹣6，x∈[1，3]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当m＞0时，g（x）是增函数，‎ 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，‎ 解得m＜．‎ 所以0＜m＜当m=0时，﹣6＜0恒成立．‎ 当m＜0时，g（x）是减函数．‎ 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，‎ 解得m＜6．‎ 所以m＜0．‎ 综上所述，m＜﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎22．设的大小，并证明你的结论．‎ ‎【考点】对数的运算性质；对数值大小的比较．‎ ‎【分析】先判断与的大小，再由对数函数的单调性可得到答案．‎ ‎【解答】解：当t＞0时，由基本不等式可得，当且仅当t=1时取“=”号 ‎∴．‎ t≠1时，‎ 当0＜a＜1时，y=logax是单调减函数，∴，即 当a＞1时，y=logax是单调增函数，∴＞，即＞‎ ‎　‎