2017-2018学年福建省龙岩市一级达标校高二下期期末考试文科数学试题-解析版

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绝密★启用前 福建省龙岩市一级达标校2017-2018学年高二下期期末考试文科数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据并集的定义，即可求出.‎ 详解：集合，，‎ ‎ .‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了并集运算问题，属于基础题.‎ ‎2．若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据复数除法运算化简复数，则的共轭复数可求.‎ 详解：，，则的共轭复数 故选A.‎ 点睛：本题考查复数代数形式的除法运算和共轭复数的概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数并化成最简形式.‎ ‎3．以下三句话可组成一个三段论：“①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数”.其中大前提的序号是（ ）‎ A. ① B. ② C. ③ D. ①和②‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据三段论的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”‎ ‎，分析即可得到正确的次序.‎ 详解：根据三段论的排列模式：“大前提”“小前提”“结论”可知：‎ ‎②三角函数是周期函数①是三角函数③是周期函数.‎ 所以，大前提的序号为②.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查演绎推理的基本方法：大前提一定是一个一般性的结论，小前提表示从属关系，结论是特殊性结论.‎ ‎4．函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用函数的奇偶性排除选项，再利用函数的特殊点排除选项得到结果.‎ 详解：‎ 为奇函数，排除D.‎ ‎ 当或时，，排除A ‎ 当时，，排除B.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查函数图象的判断，函数的奇偶性、单调性以及特殊值的判断是常用的方法.‎ ‎5．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意可得，解不等式求得实数的取值范围.‎ 详解：由基本初等函数的性质，可得函数单调递增,‎ ‎ 函数的一个零点在区间内 由题意可得，解得.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查函数零点的定义及零点判定定理的应用，将题设条件转化为关于参数的不等式是解题关键.‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，如果输入，那么输出的值为（ ）‎ A. 8 B. 26 C. 80 D. 242‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.‎ 详解：程序执行如下： ‎ 终止条件：‎ 循环体：‎ 输入 否 否 否 否 是 输出 ‎ 故当程序终止时，输出.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查了循环结构的程序框图，正确判断循环的类型和终止条件是解题关键，运行循环次数不多的程序框图时常采用模拟循环的方法解答.‎ ‎7．用反证法证明命题：“三角形的内角至少有一个锐角”，正确的假设是（ ）‎ A. 三角形的内角至多有两个锐角 B. 三角形的内角至多有一个锐角 C. 三角形的内角没有一个锐角 D. 三角形的内角没有一个锐角或至少有两个锐角 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据反证法的步骤，直接写出“至少有一个锐角”的否定为“没有一个锐角”，即可得到答案.‎ 详解：根据反证法第一步反设，即假设结论不成立或否定结论.‎ ‎ 所以，正确的假设是“三角形的内角没有一个锐角”.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了反证法，反证法的步骤是：‎ ‎（1）反设：假设所要证明的结论不成立或假设所要证明的结论的反面成立(否定结论).当反面的结论呈现多样性时，必须一一罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反设都是不完整的.‎ ‎（2）归谬：从假设出发，经过正确的推理，得出矛盾（推导矛盾）.常见矛盾主要有：与假设矛盾，与原命题中的已知条件矛盾，与公理、定理、公式、定义或已经证明了的结论矛盾，与公认的简单事实矛盾.‎ ‎（3）结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”‎ 的谬误，从而肯定了结论（结论成立）.‎ ‎8．下列3个命题：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若是纯虚数，则；‎ ‎③若，且，则.‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：通过举反例可判断①错误，由复数的乘法法则判断②正确，由复数的概念可判断③错误.‎ 详解：令，，满足，故①错误.‎ ‎ 是纯虚数,即，则，故②正确.‎ ‎ 只有当时，才可以比较大小，故③错误.‎ ‎ 综上,真命题有1个.‎ 故选B.‎ 点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解.‎ ‎9．已知，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由函数奇偶性的定义，确定函数为偶函数，进而将不等式，转化为不等式，可得或，解不等式求并集，即可得到所求解集.‎ 详解：当时，，，‎ ‎ 又有当时，，‎ ‎ ，即函数为偶函数.‎ 不等式转化为不等式，‎ 可得或，‎ 解得或，‎ 不等式的解集为.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查分段函数与解不等式综合，考查运用函数的基本性质转化不等式并求解的方法，属于中档题.‎ ‎10．某地铁换乘站设有编号为，，，，的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： ‎ 安全出口编号 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 疏散乘客时间（）‎ ‎186‎ ‎125‎ ‎160‎ ‎175‎ ‎145‎ 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果.‎ 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：‎ 开方出口时间为，开方出口时间为，得C比A快；‎ 开方出口时间为，开方出口时间为，得C比E快；‎ 开方出口时间为，开方出口时间为，得E比B快；‎ 开方出口时间为，开方出口时间为，得B比D快；‎ 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.‎ ‎11．已知是奇函数且是上的单调函数，若函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由是奇函数且是上的单调函数，将问题转化成方程只有一个实数解，令，即可求得实数的值.‎ 详解：若函数的图象与轴只有一个交点，‎ 即方程只有一个实数解.‎ 又 是奇函数且是上的单调函数 ‎ ，即只有一个实数解，‎ ‎ 则，解得.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查方程的根与函数图象交点的关系，函数的基本性质，考查转化与数形结合的思想，以及分析问题解决问题的能力.‎ ‎12．当函数（为自然对数的底数）没有零点时，实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：令，，函数没有零点，即函数与的图象没有交点，在同一坐标系中画出两个函数图象，结合图象即可得到的取值范围.‎ 详解：令，，‎ 函数没有零点，‎ 函数与的图象没有交点，‎ 在同一坐标系中，画出两函数图象，如图所示.‎ ‎（1）当，即, ，没有交点 ‎（2）当，的图象相切时，‎ 设切点为，‎ ‎ ，‎ 切线的斜率， 切线方程为 原点在切线上.‎ ‎ ，解得，则切线方程为，此时 综上，实数的取值范围 故选A.‎ 点睛：本题考查函数零点问题，考查数形结合思想、转化思想及分类讨论的思想，具有一定的难度.‎ 利用函数零点的情况，求参数值或取值范围的方法 ‎（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解 ‎（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解 ‎（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．函数的定义域为__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可.‎ 详解：函数 ‎ ，解得，‎ 函数的定义域为.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质.‎ ‎14．已知数列：，，，，，，，，，…根据它的前9项的规律，这个数列的第30项为__________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】分析：观察数列的规律：第大项为， ，，由此能够找到这个数列的第30项.‎ 详解：数列可看成 ‎，，‎ ‎，，，‎ ‎，，，，‎ ‎……‎ 以此类推，第大项为， ，‎ 完整前大项和为 当时，共27项，‎ 故这个数列的第30项为第8大项中的第3项，即为.‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查归纳推理，解题时要合理分组，探索规律并仔细验证，由特殊到一般推断出数列的规律 ‎15．函数的最小值是__________．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】分析：变形函数，利用基本不等式的性质即可得出.‎ 详解：变形函数 ‎ ，‎ ‎ ，当且仅当时取等号.‎ ‎ 函数的最小值为4.‎ 故答案为4.‎ 点睛：本题考查了基本不等式的性质、变形能力，考查了推理能力和计算能力. 灵活变形和熟练掌握基本不等式的性质，正确把握“一正，二定，三相等”是解题关键.‎ ‎16．已知三次函数的图象是中心对称图形，且对称中心为，若直线与曲线有三个不同交点，，，且，则__________．‎ ‎【答案】-5.‎ ‎【解析】分析：由题可知，曲线的对称中心为，直线与曲线有三个不同交点，且，则点B、C关于点A对称.根据对称性的性质即可求出答案.‎ 详解：由题可知，曲线的对称中心为，‎ 直线与曲线有三个不同交点，，，且，‎ 点B、C关于点A对称，点，故，，‎ 故答案为.‎ 点睛：本题考查函数对称性的应用，考查了推理能力和转化思想，综合性较强.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．设：实数满足，：实数满足.‎ ‎（Ⅰ）当时，若为真，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，若是的必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2).‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）利用一元二次不等式和分式不等式的解法即可化简命题，求命题为真的并集，即可得出答案.‎ ‎（Ⅱ）是的必要条件，可得命题对应的集合为命题对应的集合的子集，即可求出答案.‎ 详解：解：（Ⅰ）当时，：，：或.‎ 因为为真，所以，中至少有一个真命题.‎ 所以或或，‎ 所以或，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（Ⅱ）当时，：，‎ 由得：：或，‎ 所以：，‎ 因为是的必要条件，‎ 所以，‎ 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法、简单逻辑的判断方法和必要条件的应用，考查了推理能力与计算能力，利用复合命题之间的关系是解题关键.‎ ‎18．中国共产党第十九次全国代表大会会议提出“决胜全面建成小康社会”.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如表1：‎ 年份 ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ 为了计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，得到下表2：‎ 时间代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎（Ⅰ）求关于的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）求关于的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）用所求回归方程预测到2035年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎（附：对于线性回归方程，其中，.）‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎(3) 该地储蓄存款额可达41.8千亿元.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由表中数据求出，，再根据公式求出和，从而得到关于的线性回归方程.‎ ‎（Ⅱ）将，代入（Ⅰ）中的方程，即可得到关于的回归方程；‎ ‎（Ⅲ）将，代入即可.‎ 详解：解：（Ⅰ），，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）将，，代入得到：，‎ 即.‎ ‎（Ⅲ）当时，，‎ 所以2035年年底，该地储蓄存款额可达41.8千亿元.‎ 点睛：本题考查线性回归分析的基本思想及其初步应用，考查回归方程的意义和求法，考查数据处理的基本方法和能力以及利用统计思想解决实际问题的能力，属于基础题.‎ ‎19．已知函数，曲线在处的切线方程为.‎ ‎（Ⅰ）求实数和.‎ ‎（Ⅱ）求的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ） ，.‎ ‎ （Ⅱ）的最小值为.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由切线方程可知，切点为，斜线斜率为2，求导数，则，，求得和的值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数，再求导，根据导数和函数最值的关系即可求出最小值.‎ 详解：解：（Ⅰ）由题意可得，点在曲线上，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 又∵，‎ ‎∴，∴，‎ 综上可得：，.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：，‎ ‎∴，‎ 令，得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ ‎∴为函数的极小值点，‎ ‎∴.‎ 综上，的最小值为.‎ 点睛：本题考查过曲线某点的切线方程的求法，利用导数研究函数的单调性和最值，考查计算能力.‎ 利用导函数研究函数最值的步骤;‎ ‎（1）求导（确定定义域）；‎ ‎（2）解方程，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎（3）检验在的根左右两侧值的符号，如果左正右负，那么取极大值，如果左负右正，那么取极小值．‎ ‎（4）将函数各极值点的函数值和区间端点的函数值比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ ‎20．某种机器零件转速在符合要求的范围内使用时间随机器运转速度的变化而变化，某检测员随机收集了20个机器零件的使用时间与转速的数据，列表如下：‎ 机器转速（转/分）‎ ‎189‎ ‎193‎ ‎190‎ ‎185‎ ‎183‎ ‎202‎ ‎187‎ ‎203‎ ‎192‎ ‎201‎ 零件使用时间（月）‎ ‎43‎ ‎33‎ ‎39‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎35‎ ‎38‎ ‎35‎ 机器转速（转/分）‎ ‎193‎ ‎197‎ ‎191‎ ‎186‎ ‎191‎ ‎188‎ ‎185‎ ‎204‎ ‎201‎ ‎189‎ 零件使用时间（月）‎ ‎37‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎37‎ ‎35‎ ‎37‎ ‎42‎ ‎36‎ ‎34‎ ‎40‎ ‎（Ⅰ）若“转速大于200转/分”为“高速”，“转速不大于200转/分”为“非高速”，“使用时间大于36个月”的为“长寿命”，“使用时间不大于36个月”的为“非长寿命”，请根据上表数据完成下面的列联表：‎ 高速 非高速 合计 长寿命 非长寿命 合计 ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）中的列联表，试运用独立性检验的思想方法：能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为零件使用寿命的长短与转速高低之间的关系.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（Ⅰ）列联表见解析.‎ ‎（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为零件使用寿命的长短与转速高低之间有关系.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据所给数据，完成列联表；‎ ‎（Ⅱ）利用公式求得，与临界值比较，即可得到结论.‎ 详解：解：（Ⅰ）“转速大于200转/分”为“高速”，“转速不大于200转/分”为“非高速”，“使用时间大于36个月”的为“长寿命”，“使用时间不大于36个月”的为“非长寿命”，统计出数据列联表为：‎ 高速 非高速 合计 长寿命 ‎1‎ ‎13‎ ‎14‎ 非长寿命 ‎4‎ ‎2‎ ‎6‎ 合计 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎（Ⅱ）根据上述列联表可以求得的观测值：‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下可以认为零件使用寿命的长短与转速高低之间有关系.‎ 点睛：本题考查独立性检验的应用，考查计算能力.正确利用观测值公式求出观测值，理解临界值对应概率的含义是解题的关键.‎ ‎21．已知定义域为的函数（常数，为自然对数的底数）.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若恒成立，求实数的最大整数值.‎ ‎【答案】(1) 时，的单调递增区间为，无递减区间；时，的单调递增区间为，递减区间为.‎ ‎(2) 的最大整数值为3.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）先求导，再分类讨论，即可求出函数的单调区间，‎ ‎（Ⅱ）分离参数，转化为对于恒成立.再根据导数与函数的最值的关系，通过分类讨论，求出的取值范围，进而求出的最大整数值.‎ 详解：解：（Ⅰ）.‎ ‎①当时，由，得，此时在上为增函数.‎ ‎②当时，令，有，‎ ‎∴在上为增函数，‎ 令，有，∴在上为减函数，‎ 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间；时，的单调递增区间为，递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）∵对于恒成立，‎ 即对于恒成立.‎ 由函数的解析式可得：，分类讨论：‎ ‎①由（Ⅰ）知，时，在上为增函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴恒成立，∴.‎ ‎②当时，在上为减函数，在上为增函数i.‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ 设，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上递增，而，‎ ‎，，，‎ ‎∴在上存在唯一使得，且，‎ ‎∵，∴的最大整数值为3，使，即的最大整数值为3.‎ 综上，的最大整数值为3.‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调区间的方法，考查含参不等式恒成立的求法，考查导数的性质、构造法等基本知识，考查运算求解能力和转化思想，具有一定的难度.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值.‎ ‎【答案】(1) ；‎ ‎(2) 或.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）曲线消参能求出其普通方程，曲线的极坐标方程转化为，代入，能求出曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）将曲线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理得，设，对应的参数分别为，，由题意可得，由此求出.‎ 详解：解：（Ⅰ）由的参数方程消去得其普通方程为，‎ 由的极坐标方程得，‎ 所以的直角坐标方程为.‎ ‎（Ⅱ）将曲线的参数方程代入曲线：得，‎ 由得.‎ 设，对应的参数分别为，，则，‎ 由题意得，‎ 解得或满足，‎ 所以实数的值为或.‎ 点睛：本题考查曲线的参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，考查应用直线参数方程解决问题的方法，考查运算求解能力.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）解不等式；‎ ‎（Ⅱ）若方程在区间有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）根据零点分段法去掉绝对值，分别建立不等式组，解不等式组取并集；‎ ‎（Ⅱ）根据的范围去掉的绝对值，参变分离转化为求函数值域问题，即可得出答案.‎ 详解：解：（Ⅰ）不等式可化为 或或，‎ 解得：或或；‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎（Ⅱ）当时，，‎ 依题意，转化为求函数，的值域，‎ 又函数有递增，其值域为，所以，‎ 所以实数的取值范围为.‎ 点睛：本题考查绝对值不等式的解法，以及与绝对值不等式有关的恒成立问题，考查转化思想的运用，属于中档题.‎