湖南省长沙市长沙县第九中学2019-2020学年高二下学期学业水平模拟考试数学试卷

湖南省长沙市长沙县第九中学2019-2020学年高二下学期学业水平模拟考试数学试卷

湖南省长沙市长沙县第九中学2019-2020学年高二下学期 学业水平模拟考试数学试卷 ‎ 时量：90分钟 总分：100分 注意事项：‎ ‎1.本试卷含三大题，19道小题，共4页.‎ ‎2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.‎ ‎3.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.‎ ‎ ‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 已知集合 ，，则 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 下列判断不正确的是 A．； B．； C．； D．.‎ ‎3. 下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都可以相同的几何体的序号是 A. ‎（1） B. （2） C. （3） D. 无法确定 ‎4. 已知，，则 的值等于 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎5. 若向量 ， 满足 ， 与 的夹角为 ，则 等于 ‎ A. B. C. D. 2‎ ‎6. 某校选修足球课程的学生中，高二年级有30名，高一年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在高一年级的学生中应抽取的人数为 A．6 B．8 C．10 D．12‎ ‎7. 已知等比数列中，，公比，则等于 A．1 B．－1 C．2 D.‎ ‎8. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如右图所示），则关于该样本的说法正确的是 ‎ A. 为8； B. 为7； ‎ C. 中位数是46； D. 样本容量为31.‎ ‎9. 在△ABC中，已知，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 以点 为圆心，且与 轴相切的圆的标准方程为 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 二、 填空题：本大题共5小题，每小题4分．‎ ‎11. 已知等差数列 中，则 ．‎ ‎12. 函数的零点是  ．‎ ‎13. 直线 的斜率为  ．‎ ‎14. 不等式的解集是 .‎ ‎15. 在△ABC中，如果,则角Ａ等于  ．‎ 三.解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分10分）‎ 从某校随机抽取 名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：‎ 组号 分组 频数 ‎1‎ ‎[0，2）‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎[2，4）‎ ‎8‎ ‎3‎ ‎[4，6）‎ ‎17‎ ‎4‎ ‎[6，8）‎ ‎22‎ ‎5‎ ‎[8，10）‎ ‎25‎ ‎6‎ ‎[10，12）‎ ‎12‎ ‎7‎ ‎[12，14）‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎[14，16）‎ ‎2‎ ‎9‎ ‎[16，18）‎ ‎2‎ 合计 ‎100‎ ‎（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于 小时的概率；‎ ‎（2）求频率分布直方图中的 的值.‎ 17． ‎（本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的周期及最大值；‎ ‎（2）将函数图像上所有的点向左平移个单位，向上平移1个单位，得到函数的图像，写出函数的表达式.‎ 18． ‎（本小题满分10分）‎ 如图，直三棱柱 的侧棱长为 ，，， 是 的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求三棱锥 的体积．‎ 17． ‎（本小题满分10分）‎ 已知函数 .‎ ‎（1）写出函数的定义域及奇偶性；‎ ‎（2）请判断函数在上的单调性，并用定义证明在上的单调性；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ 数 学 参考答案 一、选择题：（每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C D A B A B C C C A 二、填空题：（每小题4分，共20分）‎ ‎11．80 12．2 13． 14. 或 15． ‎ 三、解答题: （共40分）‎ ‎16．（本小题满分10分）（1） 根据频数分布表， 名学生中课外阅读时间不少于 小时的学生共有 名，所以样本中的学生课外阅读时间少于 小时的频率是 从该校随机选取一名学生，估计这名学生该周课外阅读时间少于 小时的概率为 ．…………6分 ‎（2） 课外阅读时间落在组 的有 人，频率为 ，所以 ‎……………………………………………………………………10分 ‎17.（本小题满分10分）（1）函数可化为……………………………………3分 周期为，……………………………………………………………………………………………4分 最大值为2.………………………………………………………………………………………………5分 （2） 将函数图像上所有的点向左平移个单位，向上平移1个单位，‎ 得到函数+1………………………………………………………………10分 18． ‎（本小题满分10分）（1） 在 中，，‎ ‎ 是 的中点，所以 ，……2分 又因为 是直三棱柱，所以 ，‎ 因为， 所以 ，………………4分 因为 ，，‎ 所以 ．……………………………………5分 ‎（2） 由（）可知，，且 ，……………………………6分 所以………………………………………………………………8分 ‎………………………………………………………………10分 ‎19.（本小题满分10分）（1）函数的定义域为，…………………………………2分 其为奇函数； ……………………………………………………3分 ‎（2）在内单调递减.……………………………4分 下面证明：任取且 ‎………6分 因为，所以，所以 因为，即.‎ 因此，函数在上是单调减函数；…………………………………………………7分 ‎（3）由得恒成立.……………………………………………8分 由（2）知，函数在为减函数. …………………………………9分 当取得最小值 因此，实数的取值范围是.……………………………………………………………10分 ‎（第三问也可分类讨论求出函数需酌情计分。）‎