2018-2019学年湖南省湘西自治州四校高二上学期12月联考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年湖南省湘西自治州四校高二上学期12月联考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年湖南省湘西自治州四校高二上学期12月联考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知，，那么下列不等式一定正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由同向不等式的加法性质可知由，可得 ‎【考点】不等式性质 ‎2．设是等差数列的前项和,若,则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，选A.‎ ‎3．若不等式的解集为,则值是 A．-10 B．14 C．10 D．14‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据不等式的解集可知方程的根为，利用根与系数的关系求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为的解集为，‎ 所以方程的根为，‎ 因此，解得,‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次不等式的解集与二次方程的根之间的关系，属于中档题.‎ ‎4．已知则的最小值是（ ）‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题考查基本不等式的应用及转化思想.‎ 因为 当且仅当，即是等号成立.故选C ‎5．抛物线的准线方程是，则的值为（ ）‎ A． B． C．8 D．-8‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示的是抛物线,，，抛物线的准线方程是，解得，故选A.‎ ‎6．若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．4 B．2 C．3 D．1‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据线性约束条件作出可行域，由得,平移直线 ‎，当截距最大时，z有最大值.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 由得,平移直线，当直线过点时，z有最大值，‎ ‎，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单线性规划求最优解，属于中档题.‎ ‎7．下列命题中正确的是（ ）‎ A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题 B．“”是“”的充分不必要条件 C．命题“，使得”的否定是“，都有”‎ D．命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：容易验证,则,反之若,则或,因此答案B正确的,故应选B.‎ ‎【考点】命题、命题的真假、复合命题及充分必要条件的判定．‎ ‎8．四棱柱的底面为矩形，AB＝1，AD＝2，，，则的长为( )‎ A． B．23 C． D．32‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：记A1在面ABCD内的射影为O，O在∠BAD的平分线上，说明∠BAD的平分线即菱形ABCD的对角线AC，求AC1的长．‎ 解答：解：记A1在面ABCD内的射影为O，‎ ‎∵∠A1AB=∠A1AD，‎ ‎∴O在∠BAD的平分线上，‎ 由O向AB，AD两边作垂线，垂足分别为E，F，连接A1E，A1F，A1E，A1F分别垂直AB，AD于E，F ‎∵AA1=3，∠A1AB=∠A1AD=60°，‎ ‎∴AE=AF=‎ 又四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为矩形 ‎∴∠OAF=∠OAE=45°，且OE=OF=，可得OA=‎ 在直角三角形A1OA中，由勾股定理得A1O=‎ 过C1作C1M垂直底面于M，则有△C1MC≌△A1OA，由此可得M到直线AD的距离是，M到直线AB的距离是，C1M=A1O=‎ 所以AC1 ==‎ 故选C．‎ ‎9．如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（ ）‎ A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．椭圆 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意知,所以,故点P的轨迹是椭圆.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，关于CD对称，所以，‎ 故，‎ 可知点P的轨迹是椭圆.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的定义，属于中档题.‎ ‎10．已知点，抛物线的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小,则P点的坐标为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，其中为到准线的距离，而，此时.选C.‎ 点睛：在抛物线中，与焦点有关的最值问题，通常转化为与准线有关的最值问题.‎ ‎11．已知椭圆和双曲线有共同焦点, 是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义：‎ ‎,‎ ‎，‎ 设,‎ 则，在中根据余弦定理可得到 化简得：‎ 该式可变成：‎ ‎,‎ 故选 点睛：本题综合性较强，难度较大，运用基本知识点结合本题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系，然后再利用余弦定理求出与 的数量关系，最后利用基本不等式求得范围。‎ ‎12．如图，已知抛物线的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆于点A,B,C,D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为。‎ 由抛物线的定义得，‎ 又，所以。‎ 同理。‎ ‎①当直线与x轴垂直时，则有，‎ ‎∴。‎ ‎ ②当直线与x轴不垂直时，设直线方程为，‎ 由消去y整理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时等号成立。‎ 综上可得。选C。‎ 点睛：（1）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．‎ ‎（2）圆锥曲线中的最值问题，可利用基本不等式求解，但要注意不等式成立的条件。‎ 二、填空题 ‎13．已知数列满足则 ____________．‎ ‎【答案】63‎ ‎【解析】根据递推关系式，可采用累加法求其通项公式或直接求数列的第6项.‎ ‎【详解】‎ 由递推关系式可知：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 累加得： ‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的递推关系，累加法，等比数列求和，属于中档题.‎ ‎14．若命题“”使是假命题，则实数的取值范围为 ________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据命题为假命题知其否命题为真命题，即二次不等式恒成立，根据判别式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为命题“”使是假命题，‎ 所以命题“∀”使是真命题，‎ 即二次不等式， 恒成立，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含量词的命题及命题的否定，二次不等式的恒成立，属于中档题.‎ ‎15．寒假期间，某校家长委员会准备租赁A,B两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅行，A,B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为__________元．‎ ‎【答案】27600‎ ‎【解析】‎ 设分别租用两种型号的客车辆，辆，所用的总租金为元，则，其中满足不等式组，即，由，得，作出不等式组对应的平面区域平移，由图象知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小，由得，即当时，此时的总租金元，达到最小值，故答案为.‎ ‎16．在如图所示的平面四边形ABCD中， AB=1， BC=，△ACD为等腰直角三角形，且Ð∠ACD=90°，则BD长的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设∠ABC=α，∠ACB=β，‎ 则在△ABC中，‎ 由余弦定理得AC2=1+3﹣2cosα=4﹣2cosα，‎ 由正弦定理得 ，‎ 即sinβ=，‎ ‎∵△ACD为等腰直角三角形，AD=AC，‎ 在△BCD中，‎ 由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CD•cos（900+β）‎ 即BD2=3+AC2+2ACsinβ ‎=3+4﹣2cosα+2sinα ‎=7+2sin（α﹣）‎ ‎∴当α=时，sin（α﹣）取得最大值1，‎ 对角线BD最大，最大值为1+．‎ 故答案为：1+．‎ 三、解答题 ‎17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角C；（2）若，，求的周长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求的角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长.‎ 试题解析：（1）由已知可得 ‎（2）‎ 又 ‎，‎ 的周长为 ‎【考点】正余弦定理解三角形.‎ ‎18．设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足 ‎（1）若且pq为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由得，‎ 又，所以，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围为.‎ 为真时实数的取值范围是，‎ 若为真，则真真，所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）是的充分不必要条件，即 ， ‎ 等价于，设，，则是的真子集；‎ 则，且所以实数 的取值范围是.‎ ‎19．（本小题满分12分）已知等差数列满足： ， ． 的前n项和为．‎ ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（）,求数列的前项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列的公差为，由已知可得 解得，则及可求；（2）由（1）可得，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列的公差为，因为， ，所以有，‎ 解得，所以， .‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即数列的前项和.‎ ‎【考点】等差数列的通项公式，前项和公式。裂项求和 ‎20．如图，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE和AD的交点，ACBC,且AC=BC.‎ ‎(1)求证：AM平面EBC；‎ ‎(2)求直线AB与平面EBC所成角的大小，‎ ‎(3)求二面角A-BE-C的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）30°（3）60°‎ ‎【解析】(1)以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz,利用向量法能证明平面(2)求出平面EBC的法向量，利用线面角公式求解(3)求平面EAB的法向量，根据向量法求出二面角A-BE-C的大小.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图所示：‎ 建立空间直角坐标系A-xy，设，‎ 则 所以 ‎ ‎∴，，∴，.‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵平面，∴为平面的一个法向量，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴直线与平面所成的角的大小为30°.‎ ‎（3）面的法向量为，面的法向量为，‎ ‎∴‎ 故二面角的大小为60°‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量法证明线面垂直，向量法求线面角，二面角，属于中档题.‎ ‎21．已知数列的前n项和满足且。‎ ‎ (1)求数列的通项公式；‎ ‎ (2)求的值。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1) 根据数列前n项和与数列通项满足求通项公式 (2)利用错位相减法求和即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，解得或0（舍去）‎ 当时，，，‎ 两式相减得：，即，‎ ‎，‎ 又因为，所以。，即，‎ 数列是公差为1的等差数列，‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 两式相减得：‎ ‎。‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数列的通项公式，前n项和与通项间的关系，错位相减法，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1、F2，点 是坐标平面内一点，且，（O为坐标原点）. ‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于AB两点，在y轴上是否存在定点M，,‎ 使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）点的坐标为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设的坐标，利用和求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a,b和c的关系求出b，则椭圆的方程可得.‎ ‎（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设，，则可根据韦达定理表示出和，假设在y轴上存在定点，满足题设，则可表示出，利用，求出m的值 试题解析：（1）设，，，则由，得；‎ 由得，‎ 即.‎ 所以.‎ 又因为，所以.‎ 因此所求椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设动直线的方程为：，‎ 由得.‎ 设，，则，.‎ 假设在轴上是否存在定点，满足题设，则，.‎ ‎ ‎ 由假设得对于任意的，恒成立，‎ 即解得.‎ 因此，在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过该点，‎ 点的坐标为.‎