专题8-2+空间几何体的表面积与体积（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题8-2+空间几何体的表面积与体积（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第八章 立体几何 第02节 空间几何体的表面积与体积 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。）‎ ‎1.【2017课标1，理7】某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎2. 【2016陕西质检二】某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）‎ ‎ A． B． C． ‎ ‎ D． ‎【答案】B ‎【解析】由三视图所提供的信息可知该几何体是一个圆台和圆柱的组合体,故其体积,应选B.‎ ‎3．【2018届南宁市高三联考】三棱锥P-ABC中，ΔABC为等边三角形，PA=PB=PC=3‎，PA⊥PB，三棱锥P-ABC的外接球的体积为（ ）‎ A. ‎27‎‎2‎π B. ‎27‎‎3‎‎2‎π C. ‎27‎3‎π D. ‎‎27π ‎【答案】B ‎4.【2018届广雅中学、东华中学、河南名校高三上第一次联考】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A. ‎24π+8‎‎3‎ B. ‎8π+8‎ C. ‎32π+8‎‎3‎ D. ‎‎32π+24‎‎3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据三视图可知，几何体是个球与一个直三棱锥的组合体，球的半径为2，三棱锥底面是等腰直角三角形，面积为s=‎1‎‎2‎×2‎2‎×2‎2‎=4‎，高为2，所以三棱锥的体积v=‎1‎‎3‎×4×2=‎‎8‎‎3‎，故组合体的体积V=‎3‎‎4‎×‎4‎‎3‎π×‎2‎‎3‎+‎8‎‎3‎=‎‎24π+8‎‎3‎,故选A.‎ ‎5.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】在长方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，AD=1‎，AB=2‎，AA‎1‎=2‎，点M在平面ACB‎1‎内运动，则线段BM的最小值为( )‎ A. ‎6‎‎2‎ B. ‎6‎ C. ‎6‎‎3‎ D. ‎‎3‎ ‎【答案】C ‎6.【河北省邯郸市高三上学期第二次模拟】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎【解析】由三视图还原图像，得原图是两个一样的圆锥底面对在一起了，‎ 所以.‎ ‎7.【2018届贵州省黔东南州高三上第一次联考】在中， ‎ （如下图），若将绕直线旋转一周，则形成的旋转体的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎ 故选：D．‎ ‎8.【广东省韶关市高三调研】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎2‎ ‎1‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图易知，该几何体是底面积为，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得.选C ‎ ‎9.【2017年福建省数学基地校】《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎10. 【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.‎ ‎11.【2018届四川省成都市龙泉第二中学高三10月月考】已知是球球面上的四点， 是正三角形，三棱锥的体积为，且，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ ‎12.【2018届河南省中原名校（即豫南九校）高三上第二次联考】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ ）‎ A. ‎4π B. ‎6π C. ‎12π D. ‎‎24π ‎【答案】B ‎【解析】设球的半径为：r，由正四面体的体积得：‎ ‎4×‎1‎‎3‎×r×‎3‎‎4‎×‎6‎‎2‎=‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎6‎‎2‎×‎‎6‎‎2‎‎-‎‎2‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎×6‎‎2‎‎,‎ 所以r=‎6‎‎2‎，设正方体的最大棱长为a，∴3a‎2‎=‎6‎‎2‎∴a=‎2‎,‎ 外接球的面积为‎4πr‎2‎=6π 故选B.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中的横线上。）‎ ‎13.【2017天津，理10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎14.【2017届浙江省名校协作体高三下学期模拟】某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是‎3‎cm‎3‎，则正视图中的x的值是_______cm，该几何体的表面积是_______cm‎2‎.‎ ‎【答案】 2 ‎‎5‎3‎+3‎7‎+4‎‎2‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，其直观图如图所示，由棱锥的体积公式得，‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×(1+2)×‎3‎x=‎3‎⇒x=2‎，侧面ADS,CDS,ABS为直角三角形，侧面BCS是以BC为底的等腰三角形，所以该几何体的表面积为S=‎1‎‎2‎[(1+2)×‎3‎+2×2+‎3‎×2+1×‎7‎+2×‎7‎]=‎‎5‎3‎+3‎7‎+4‎‎2‎.‎ 三棱柱各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，，，，则这个球的表面积为　 　．‎ ‎【答案】 ‎15.已知直三棱柱中，，侧面的面积为，则直三棱柱外接球表面积的最小值为 ．‎ ‎【答案】 ‎【解析】根据题意，设，则有，从而有其外接球的半径为，所以其比表面积的最小值为.‎ ‎16.【2018届云南省昆明一中高三第一次摸底】体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为线段的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是_________．‎ ‎【答案】 ‎【解析】设，则， 体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上， ，得，由，得或（舍去），，由题意知点为线段的中点，从而在中， ，解得， 当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积最小值为，故答案为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本题满分10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．‎ ‎（Ⅰ）求该几何体的体积V；‎ ‎（Ⅱ）求该几何体的侧面积S.‎ ‎【答案】（Ⅰ）64；（Ⅱ）.‎ ‎18.（本题满分12分）【2017年福建省数学基地校】如图，直四棱柱中，四边形为梯形， ，且.过三点的平面记为， 与的交点为.‎ ‎(I)证明： 为的中点； ‎ ‎(II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ ‎(I)证明：延长交于，则平面，‎ 又平面，平面平面，‎ 所以因为 所以，即为的中点． ‎ ‎ (II)如图所示，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和， ，则 .‎ 三棱椎， 四棱椎 所以＝三棱椎+四棱椎= .又四棱柱，‎ 所以＝四棱柱－，‎ 故. ‎ ‎19. （本题满分12分）【2018届衡水金卷全国高三大联考】如图，在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AA‎1‎⊥‎平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=CC‎1‎=2‎，点D为AB的中点.‎ ‎（1）证明：AC‎1‎∥‎平面B‎1‎CD；‎ ‎（2）求三棱锥A‎1‎‎-CDB‎1‎的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ 试题解析：‎ ‎（1）连接BC‎1‎交B‎1‎C于点O，连接OD.‎ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，四边形BCC‎1‎B‎1‎是平行四边形.‎ ‎∴点O是BC‎1‎的中点.‎ ‎∵点D为AB的中点，‎ ‎∴OD∥AC‎1‎.‎ 又OD⊂‎平面B‎1‎CD，AC‎1‎⊄‎平面B‎1‎CD，‎ ‎∴AC‎1‎∥‎平面B‎1‎CD.‎ ‎（2）∵AC=BC，AD=BD，‎ ‎∴CD⊥AB.‎ 在三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，‎ 由AA‎1‎⊥‎平面ABC，得平面ABB‎1‎A‎1‎⊥‎平面ABC.‎ 又平面ABB‎1‎A‎1‎∩‎平面ABC=AB.‎ ‎∴CD⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎.‎ ‎∴点C到平面A‎1‎DB‎1‎的距离为CD，且CD=ACsinπ‎4‎=‎‎2‎.‎ ‎∴‎VA‎1‎‎-CDB‎1‎‎=VC-A‎1‎DB‎1‎=‎1‎‎3‎SΔA‎1‎DB‎1‎×CD ‎=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×A‎1‎B‎1‎×AA‎1‎×CD=‎‎ ‎1‎‎6‎‎×2‎2‎×2×‎2‎=‎‎4‎‎3‎.‎ ‎20．（本题满分12分）【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】如图，在多面体ABCDFE中，四边形ADFE是正方形，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1‎，BC=2‎，G为BC中点，平面ADFE⊥‎平面ADCB.‎ ‎(1)证明：AC⊥BE；‎ ‎(2)求三棱锥A-GFC的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎3‎‎12‎.‎ ‎（1）证明：连接DG，因为AD=GC，AD∥GC，‎ 所以四边形ADCG为平行四边形，‎ 又AD=CD，所以四边形ADCG为菱形，从而AC⊥DG，‎ 同理可证AB∥DG，因此AC⊥AB，‎ 由于四边形ADFE为正方形，所以EA⊥AD，又平面ADFE⊥‎平面ABCD，‎ 平面ADFE∩‎平面ABCD=AD，‎ 故EA⊥‎平面ABCD，从而EA⊥AC，‎ 又EA∩AB=A，故AC⊥‎平面ABE，所以AC⊥BE..‎ ‎(2)因为VA-GFC‎=VF-AGC=VE-AGC=‎‎1‎‎2‎VE-ABC，‎ VE-ABC‎=‎1‎‎3‎×1×‎1‎‎2‎×1×‎3‎=‎‎3‎‎6‎‎.‎ 所以，三棱锥A-GFC的体积为‎3‎‎12‎.‎ ‎21．（本题满分12分）【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，在四棱锥中， 底面，底面为菱形， ， 为的中点 ‎. ‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) ．‎ 试题解析：（1）证：设，连接，则，‎ 又平面，且平面平面.‎ ‎（2）.‎ ‎22．（本题满分12分）【2018届吉林省百校联盟高三九月联考】如图所示，四棱锥中，平面平面， ， ， ．‎ ‎（1）证明：在线段上存在一点，使得平面；‎ ‎（2）若，在（1）的条件下，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】(1)见解析;(2) .‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，取的中点， 的中点，连接， ，‎ ‎∵是的中位线，∴ ，‎ 依题意得， ，则有 ，∴四边形是平行四边形，∴，‎ ‎∵平面， 平面，∴平面．‎ ‎（2）∵平面平面，平面平面， ， 平面，故平面，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴到平面的距离等于到平面的距离的一半，且平面， ，‎ ‎∴三棱锥的高是2， ，‎ 在等腰中， ， ， 边上的高为，‎ ，∴到的距离为，∴，‎ ‎∴．‎ ‎ ‎