2018-2019学年河北省石家庄市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

2018-2019学年河北省石家庄市高二下学期期末数学（文)试题 解析版

绝密★启用前 河北省石家庄市2018-2019学年高二下学期期末数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数进行化简，然后再求解其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ ‎,所以共轭复数为.故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的运算及共轭复数，共轭复数的求解一般是先化简复数，然后根据实部相同，虚部相反的原则求解.‎ ‎2．在建立两个变量与的回归模型时，分别选择了4个不同的模型，这四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80，则其中拟合效果最好的模型是（ ）‎ A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好，据此得到答案.‎ ‎【详解】‎ 四个模型的相关系数分别为0.25、0.50、0.98、0.80‎ 相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好 故答案选C ‎【点睛】‎ 本题考查了相关系数，相关系数的绝对值越靠近1，拟合效果越好.‎ ‎3．研究表明女大学生的体重与身高具有相关关系，根据所采集的数据得到线性回归方程，则下列说法错误的是（ ）‎ A．身高的女大学生，求得体重是，所以这名女大学生的体重一定是；‎ B．斜率的估计值等于0.849，说明身高每增加一个单位，体重就增加0.849个单位；‎ C．体重与身高的正负相关性与斜率的估计值有关；‎ D．体重与身高成正相关关系.‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据回归直线方程的意义求解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A，回归方程求出的结果是估计值，不是确切值，所以A不正确；‎ 对于选项B，回归方程的斜率表示增加一个单位时，的变化量；‎ 对于选项C，体重与身高的正负相关性与斜率的正负有关；‎ 对于选项D，由于斜率为正，所以体重与身高成正相关关系.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归方程的意义，明确方程中每个字母的含义是求解的关键.‎ ‎4．矩形的对角线互相垂直，正方形的对角线互相垂直，所以正方形是矩形.以上三段论的推理中（ ）‎ A．推理形式错误 B．小前提错误 C．大前提错误 D．结论错误 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何知识可知矩形的对角线不是垂直的，所以是大前提出现了错误.‎ ‎【详解】‎ 矩形的对角线不是垂直的, 正方形的对角线是垂直的，正方形是矩形，所以可知大前提出现了错误.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查逻辑推理的结构，分清三段论推理中的大前提，小前提，结论是求解关键.‎ ‎5．当时，复数表示的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以所以该复数对应的点位于第四象限.‎ 考点：本小题主要考查复数与复平面上的点的对应关系.‎ 点评：复数与复平面上的点是一一对应的，其中需要注意的是0在实轴上，而不在虚轴上.‎ ‎6．观察下列各式：，，，…，则的末四位数字为（ ）‎ A．3125 B．5625 C．0625 D．8125‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求，寻找周期性规律，结合周期可求.‎ ‎【详解】‎ 可以看出后四位呈周期出现，且周期为4，，所以的末四位数字为8125，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，一般是利用所给项的特点推测目标项的特点,注意规律的总结.‎ ‎7．在直角坐标系中，点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系（），则点的极坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极坐标与直角坐标的转化公式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以；‎ 因为且在第三象限，‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.‎ ‎8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：1、2、6号选手中的一位获得第一名；观众乙猜测：4、5、6号选手都不可能获得第一名；观众丙猜测：4号或5号选手得第一名；观众丁猜测：3号选手不可能得第一名.比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别假设甲、乙、丙、丁猜对比赛结果，逐一判断得到答案.‎ ‎【详解】‎ 假设甲猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾 假设乙猜对比赛：3号得第一名，正确 假设丙猜对比赛：则观众丁猜测也正确，矛盾 假设丁猜对比赛：则观众甲和丙中有一人正确，矛盾 故答案选B ‎【点睛】‎ 本题考查了逻辑推理，意在考查学生的逻辑推理能力.‎ ‎9．下列推理不属于合情推理的是（ ）‎ A．由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电；‎ B．半径为的圆面积，则单位圆面积为；‎ C．由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质；‎ D．猜想数列2，4，8，…的通项公式为，.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用合情推理的定义逐一判断每一个选项的真假得解.‎ ‎【详解】‎ 对于选项A, 由铜、铁、铝、金、银等金属能导电，得出一切金属都能导电.是归纳推理，所以属于合情推理，所以该选项是合情推理；‎ 对于选项B, 半径为的圆面积，则单位圆面积为.属于演绎推理，不是合情推理；‎ 对于选项C, 由平面三角形的性质推测空间三棱锥的性质,属于类比推理，所以是合情推理；‎ 对于选项D, 猜想数列2，4，8，…的通项公式为. ,是归纳推理，所以是合情推理.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查合情推理和演绎推理的概念和分类，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎10．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过程，则（ ）‎ A． B．3 C．6 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子，令，则两边平方得，得，即，解得舍去，故选A.‎ ‎11．“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 构造函数利用单调性判断.‎ ‎【详解】‎ 设，，所以为增函数，‎ 由于，所以，所以；‎ 反之成立，则有，所以.‎ 所以是充要条件，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充要条件的判定，明确两者之间的推出关系是判定的关键.‎ ‎12．已知在正三角形中，若是边的中点，是三角形的重心，则.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体中，若三角形的重心为，四面体内部一点到四面体各面的距离都相等，则等于（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中.‎ ‎【详解】‎ 因为到四面体各面的距离都相等，所以为四面体内切球的球心，‎ 设四面体的内切球半径为，则，其中表示四面体的体积，表示一个面的面积；‎ 所以,即，‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知是虚数单位，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意可得： .‎ ‎14．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，将极坐标方程化为直角坐标方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用极坐标化为直角坐标的转化公式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 由于，所以可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查极坐标与直角坐标的转化，熟记转化公式是求解关键，一般直角坐标化为极坐标利用公式可得，利用公式及点的位置可得；极坐标化为直角坐标时一般利用来实现.‎ ‎15．某单位为了了解用电量（度）与气温（）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.由下表中数据得回归直线方程中，据此预测当气温为时，用电量的度数约为__________．‎ 气温（）‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎6‎ 用电量（度）‎ ‎22‎ ‎26‎ ‎34‎ ‎38‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解，代入方程求得，然后可得气温为时用电量的度数.‎ ‎【详解】‎ 所以，所以当时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查回归直线方程的求解，回归直线一定经过点，根据条件求出，结合所给条件可以确定回归直线方程，然后根据所给值，可以求出预测值.‎ ‎16．形如的函数，其图像对称中心为，记函数的导函数为，的导函数为，则有.若函数，则__________．‎ ‎【答案】-4039‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定的对称中心，结合对称性求解.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ 令得，由于；‎ 所以函数的图象的对称中心为 即有 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数应用，根据所给情景，理解函数对称中心的求解方法，求出对称中心，结合对称性得出等式，根据目标式的特点进行分组求解.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．复平面内表示复数的点为.‎ ‎（1）当实数取何值时，复数表示纯虚数，并写出的虚部；‎ ‎（2）当点位于二、四象限时，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当点位于直线上时，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）时，复数是纯虚数，虚部为（2）（3）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；‎ ‎（2）根据点位于二、四象限，列出限制条件，得到的取值范围；‎ ‎（3）根据点位于直线上，可得，从而可求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当且，‎ 即时，复数是纯虚数，虚部为-4；‎ ‎（2）或解得;‎ 所以当时，点位于二、四象限；‎ ‎（3）当 ‎ 即或时，位于直线上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的相关概念.复数为纯虚数的充要条件是且；复数在复平面内对应点的位置可以有的符号来确定；复数在复平面内对应点在某条直线时，则点适合直线的方程.‎ ‎18．甲乙两班级进行数学测试，每班45人，统计学生成绩，乙班优秀率为，甲班优秀人数比乙班多三人.‎ ‎（1）根据所给数据完成下列列联表；‎ 优秀 不优秀 总计 甲班 乙班 总计 ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为成绩与班级有关系？‎ 参考公式：：，其中；‎ 临界值表供参考：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析（2）在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据乙班优秀率求出乙班优秀人数，进而可得甲班优秀人数，从而可得列联表；‎ ‎（2）先根据数据求出卡方，结合临界值可得结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据所给数据完成下列列联表；‎ ‎ 优 秀 ‎ 不 优 秀 ‎ 总 计 ‎ 甲 班 ‎12‎ ‎33‎ ‎45‎ ‎ 乙 班 ‎9‎ ‎36‎ ‎45‎ ‎ 总 计 ‎21‎ ‎69‎ ‎90‎ ‎（2）假设“成绩与班级无关”，‎ 据列联表计算，‎ 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，不能认为“成绩与班级有关系”．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验及列联表的完善，独立性检验结论的获得主要依赖卡方公式计算的结果.‎ ‎19．在复平面内，向量所对的复数，向量所对的复数，点所对应的复数，点与点关于虚轴对称.‎ ‎（1）求点、、、的坐标；‎ ‎（2）判断、、、四点是否共圆，并证明你的结论.‎ ‎【答案】（1），，，（2），，，四点共圆，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据可得的坐标，根据可得的坐标，点与点关于虚轴对称可求的坐标；‎ ‎（2）求解它们的模长可知模长相等，从而可得四点共圆.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为向量所对的复数，所以；‎ 因为向量所对的复数，所以,所以；‎ 因为点所对应的复数，所以；‎ 由于点与点关于虚轴对称，所以.‎ ‎（2），，，四点共圆 ‎ 设，点所对的复数分别为， ‎ ‎，，， ‎ 所以，，，都在以原点为圆心，为半径的圆上.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的几何意义，明确复平面内点与复数之间的对应关系是求解的关键.‎ ‎20．已知正三角形的边长是，若是内任意一点，那么到三角形三边的距离之和是定值.这是平面几何中一个命题，其证明常采用“面积法”.如图，设到三边的距离分别是、、，则,为正三角形的高，即.运用类比法猜想，对于空间正四面体，存在什么类似结论，并用“体积法”证明.‎ ‎【答案】正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值，证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等体积法求解，把正四面体分割成四个小三棱锥，根据体积相等建立等量关系.‎ ‎【详解】‎ 设正四面体的边长为，则正四面体中任意一点到四个面的距离之和为定值，（即正 面体的高.）‎ 证明：设为正四面体内任意一点，到四个面的距离分别为，，，‎ ‎，正四面体高为，各面面积为，则有， ‎ 所以，‎ 正四面体的边长为，所以高， ‎ 即到各面的距离之和为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查类比推理，把平面几何结论类比到空间，要抓住类比的核心要点.‎ ‎21．随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎11‎ 参考公式：相关系数 回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.‎ ‎（1）由散点图看出：可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；（精确到0.01）‎ ‎（2）建立与的回归方程；‎ ‎（3）如果，则认为所得到回归方程是可靠的，现知2017年、2018年该地区城乡居民人民币储蓄存款分别为15千亿元、17千亿元，选取这两组数据检验，试问（2）中所得的回归方程是否可靠？‎ ‎【答案】（1）见解析（2）（3）所得到的线性回归方程是可靠的，详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相关系数公式及所给数据求出相关系数，然后进行说明；‎ ‎（2）根据公式分别求得可得方程；‎ ‎（3）先根据回归方程求出2017年、2018年预测值，然后进行验证.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由所给数据求得，， ，，‎ 所以，‎ 因为与的相关系数近似为0.99，说明与的相关程度相当高，‎ 从而可以用线性回归模型拟合与的关系．‎ ‎（2），．‎ 所以关于的线性回归方程为．‎ ‎（3）2017年，2018年所对年份代号为8，9．‎ ‎ 当时，，，‎ ‎ 当时，，． ‎ 所以，所得到的线性回归方程是可靠的．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查相关系数及回归直线的求解，相关系数越接近1，则相关性越强；越接近0，则相关性越弱.‎ ‎22．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，3为半径.‎ ‎（1）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）设直线与圆相交于、两点，求.‎ ‎【答案】（1）直线的参数方程为（为参数），圆的极坐标方程为；（2）7．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用直线所过顶点和倾斜角可得参数方程为(为参数)，利用圆的特征可得圆的极坐标方程是；‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合参数的几何意义可得.‎ 试题解析：‎ ‎(1)直线的参数方程为(为参数)，‎ 圆的极坐标方程为.‎ ‎(2)把代入，得，‎ ‎∴，设点对应的参数分别为，‎ 则，，∴.‎ ‎23．已知，不等式的解集为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，证明：.‎ ‎【答案】（I） M＝(－2，2)．（Ⅱ）见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将函数写成分段函数，再利用，即可求得M；‎ ‎（2）利用作差法，证明，即可得到结论．‎ 试题解析：（1），‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得；‎ 当时，恒成立；‎ 综合以上：‎ ‎（2）证明，‎ 只需，‎ 只需 ‎∵‎ 又∵，‎ ‎∴‎ 因此结果成立.‎ 考点：不等式证明；绝对值函数