2017-2018学年江西省吉安市高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版

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绝密★启用前 江西省吉安市2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知复数满足（为虚数单位），其中是的共轭复数，，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设，利用的共轭复数是，列出方程组求a、b的值即可.‎ 详解：设，‎ 的共轭复数是，‎ 又，‎ ‎ ，‎ 又 ，‎ ‎，‎ ‎ .‎ 故选：A.‎ 点睛：本题主要考查了复数的共轭复数与代数运算的应用问题.‎ ‎2．正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（ ）‎ A. 结论正确 B. 大前提不正确 C. 小前提不正确 D. ‎ 大前提、小前提、结论都不正确 ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案.‎ 详解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；‎ 小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；‎ 结论：是奇函数，，故错误.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式.‎ ‎3．如图所示，在边长为的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解.‎ 详解：由题意可知，此题求解的概率类型为关于面积的几何概型，‎ 由图可知基本事件空间所所对应的几何度量，‎ 曲线与所围成的图形的面积，即满足所取的点落在阴影部分内部所对应的几何度量，‎ ‎，‎ 则点恰好取自阴影部分的概率为.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查了利用定积分求面积以及几何概型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎4．设随机变量服从正态分布，若，则（ ）‎ A. B. C. D. 与的值有关 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得，从而求出即可.‎ 详解：随机变量服从正态分布，‎ 正态曲线的对称轴是，‎ ‎ ，‎ 而与关于对称，由正态曲线的对称性得：‎ ‎，‎ 故.‎ 故选：A.‎ 点睛：解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.‎ ‎5．若对任意实数，有 ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据，按二项式定理展开，和已知条件作对比，求出的值，即可求得答案.‎ 详解： ，‎ 且 ，‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数.‎ ‎6．年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据题意，分两种情况讨论：①最左边排甲；②最左边排乙，分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类计数原理计算即可得到答案.‎ 详解：根据题意，最左端只能排甲或乙，则分两种情况讨论：‎ ‎①最左边排甲，则剩下4人进行全排列，有种安排方法；‎ ‎②最左边排乙，则先在剩下的除最右边的3个位置选一个安排甲，有3种情况，‎ 再将剩下的3人全排列，有种情况，此时有种安排方法，‎ 则不同的排法种数为种.‎ 故选：C.‎ 点睛：解决排列类应用题的策略 ‎(1)特殊元素(或位置)优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置．‎ ‎(2)分排问题直排法处理．‎ ‎(3)“小集团”排列问题中先集中后局部的处理方法．‎ ‎7．已知是离散型随机变量，，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由已知条件利用离散型随机变量的数学期望计算公式求出a，进而求出，由此即可求出答案.‎ 详解： 是离散型随机变量，，，，‎ 由已知得，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ 点睛：本题考查离散型随机变量的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的数学期望和方差计算公式的合理运用.‎ ‎8．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】 ,对应点 ,位于第二象限,选B.‎ ‎9．曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：令，对函数进行二次拟合得出a，b的值，代入计算即可.‎ 详解：令 ‎，解得，‎ ‎ ，开口向上，‎ ‎ 的单调递增区间为.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查了非线性相关的二次拟合问题，选择对数变换是关键.‎ ‎10．在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，由此能求出记下的颜色中有红有黄但没有白的概率.‎ 详解：从袋中随机摸出一个球，摸到红球、白球、黄球的概率分别为，‎ 由已知得取出的3球中有2红1黄或2黄1红，‎ ‎2红1黄的情况有3种，2黄1红的情况也有3种，‎ 下的颜色中有红有黄但没有白的概率为.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率计算公式的合理运用.‎ ‎11．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意知，分别求出相应的概率，由此能求出.‎ 详解：由题意知，‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ 故选：C.‎ 点睛：正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键.‎ ‎12．甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 事件与事件不相互独立 B. 、、是两两互斥的事件 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，，是两两互斥事件，条件概率公式求出，，对照选项即可求出答案.‎ 详解：由题意，，是两两互斥事件，‎ ‎,‎ ‎,,,‎ 而 ‎.‎ 所以D不正确.‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的关键.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据圆的极坐标方程转化成直角坐标系方程，求得圆心坐标，把点转化成直角坐标，最后利用两点间的距离公式求得答案.‎ 详解： ，‎ ‎，‎ ‎，即，‎ 圆心为，点的直角坐标为，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎14．甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据相互独立事件的概率乘法公式，目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，运算求得结果.‎ 详解：目标被击中的概率等于1减去甲、乙、丙三人都没有击中目标的概率，‎ 故目标被击中的概率是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系.‎ ‎15．若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为__________．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】分析：的展开式中各项系数的和为，令，求出a，再求出展开式中x的一次项及项即可.‎ 详解：的展开式中，各项系数的和为，‎ 令，，‎ ‎，‎ 的展开式中的系数为，的系数为，展开式中的常数项为.‎ 故答案为：120.‎ 点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．‎ ‎16．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则__________．‎ ‎【答案】9999‎ ‎【解析】分析：观察所告诉的式子，找到其中的规律，问题得以解决.‎ 详解：，，，，‎ 按照以上规律，可得.‎ 故答案为：9999.‎ 点睛：常见的归纳推理类型及相应方法 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：‎ ‎(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．‎ ‎(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．（1）已知复数满足，的虚部为，求复数；‎ ‎（2）求曲线、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积.‎ ‎【答案】（1）或；（2）．‎ ‎【解析】分析：（1）设，由已知条件得，，再结合的虚部为，即可求出；‎ ‎（2）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果.‎ 详解：（1）设，由已知条件得，，‎ ‎∵的虚部为，∴，∴或，即或.‎ ‎（2）.‎ 点睛：本题考查了复数的运算，考查了用定积分求几何体的体积.‎ ‎18．为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查，调查结果如下：‎ 支持 反对 合计 男性 女性 合计 ‎（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；‎ ‎（2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取人，从抽取的人中再随机地抽取人赠送小礼品，记这人中持“支持”态度的有人，求的分布列与数学期望.‎ 参考公式：，其中.‎ 参考数据：‎ ‎【答案】（1）没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关；（2）分布列见解析，期望为．‎ ‎【解析】分析：（1）根据公式计算的观测值k，再根据表格即可得出结论；‎ ‎（2）的所有可能取值为，，，分别求出相对应的概率即可.‎ 详解：（1），‎ ‎∴没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关.‎ ‎（2）依题意可知，抽取的名女户主中，持“支持”态度的有人，持反对态度的有人，的所有可能取值为，，，‎ ‎，，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎∴.‎ 点睛：解决独立性检验应用问题的方法 解决一般的独立性检验问题，首先由所给2×2列联表确定a，b，c，d，n的值，然后根据统计量K2的计算公式确定K2的值，最后根据所求值确定有多大的把握判定两个变量有关联．‎ ‎19．证明下列不等式.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）设，，若，求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】分析：（1）利用分析法进行证明；‎ ‎（2）利用常数代换法应用基本不等式即可证明.‎ 详解：证明：（1）要证；即证，‎ 只要证，只要证，‎ 只要证，由于，只要证，‎ 最后一个不等式显然成立，所以； ‎ ‎（2）因为，，，所以，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立，所以.‎ 点睛：利用分析法证明时应注意的问题 ‎(1)分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时，常考虑用分析法．‎ ‎(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证……只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写．‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）直接解一元二次不等式即可；‎ ‎（2）将不等式转化为恒成立问题，分离参数，借助基本不等式得到的取值范围.‎ 详解：（1）∵，∴，∴，∴的解集为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴当时，恒成立，∴，‎ ‎∴对一切均有成立，‎ 又，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ ‎∴实数的取值范围为.‎ 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，以及将不等式转化为恒成立问题，分离参数，基本不等式的应用.‎ ‎21．某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能选学其中门课程.假设每个学生选学每门课程的概率均为，对于该校的甲、乙、丙名学生，回答下面的问题.‎ ‎（1）求这名学生选学课程互不相同的概率；‎ ‎（2）设名学生中选学乒乓球的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析，期望为．‎ ‎【解析】分析：（1）每个学生必须且只能选学其中门课程，每一个人都有4种选择，共有，名学生选学课程互不相同，则有种，从而求解；‎ ‎（2）的所有可能取值为，，，，分别算出对应的概率，再利用期望公式求解.‎ 详解：（1）名学生选学的课程互不相同的概率 ‎.‎ ‎（2）的所有可能取值为，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎.‎ 点睛：求随机变量及其分布列的一般步骤 ‎(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义．‎ ‎(2)利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；‎ ‎(3)按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.‎ ‎（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点的极坐标为，求的面积.‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】分析：（1）直线的参数方程为：（为参数），消去t即可；曲线的极坐标方程为，利用直角坐标与极坐标之间的互化公式即可；‎ ‎（2）转换成直角坐标去进行求解.‎ 详解：（1）因为直线的参数方程为，得，‎ 故直线的普通方程为，‎ 又曲线的极坐标方程为，即，‎ 因为，，∴，即，‎ 故曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）因为点的极坐标为，∴点的直角坐标为，∴点到直线的距离.‎ 将，代入中得，，，‎ ‎ ，‎ ‎∴的面积.‎ 点睛：求解与极坐标有关的问题的主要方法 ‎(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用；‎ ‎(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．‎ 使用后一种方法时，应注意若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）当时，将要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；‎ ‎（2）由题意得当时，恒成立，化简可得，即，由此求得a的取值范围.‎ 详解：（1）当时，可化为：，‎ ‎①当时，不等式为：，解得：，故，‎ ‎②当时，不等式为：，解得：，故，‎ ‎③当时，不等式为：，解得：，故.‎ 综上，原不等式的解集为：.‎ ‎（2）∵的解集包含，∴在内恒成立，‎ ‎∴在内恒成立，‎ ‎∴在内恒成立，‎ ‎∴，解得，即的取值范围为.‎ 点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题.‎