2017-2018学年河北省阜城中学 高二上学期期末考试数学理试题 Word版

2017-2018学年河北省阜城中学 高二上学期期末考试数学理试题 Word版

‎2017-2018学年河北省阜城中学 高二上学期期末考试数学理试题 一、选择题(共12小题)‎ ‎1．下列命题的说法错误的是（　　）‎ A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则¬p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．‎ B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．‎ C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．‎ D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．‎ ‎2．执行如图的程序框图，那么输出S的值是（　）‎ A．﹣1 B． C．2 D．1‎ ‎3．一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是（　　）‎ A．抽签法 B．分层抽样法 C．随机数表法 D．系统抽样法 ‎4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下 x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型预测当x=10时，y的估计值为（　　）A．105.5 B．106 C．106.5 D．107‎ ‎5．将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有（　）A．24 B．28 C．32 D．36‎ ‎6．（3x﹣）6的展开式中，有理项共有（　）‎ A．1项 B．2项 C．3项 D．4项 ‎7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为（　　　）A． B． C． D．‎ ‎8．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人照相，要求排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有（　）种．A．240 B．360 C．480 D．720‎ ‎9.已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣x2=1相交于M，N两点，若△MNF为直角三角形，其中F为直角顶点，则p=（　　）‎ A．2 B． C．3 D．6‎ ‎10．从6名团员中选出4人分别担任书记、副书记、宣传委员、组织委员四项职务，若其中甲、乙不能担任书记，则不同的任职方案种数是（　　　）‎ A．280 B．240 C．180 D．96‎ ‎11.展开式中x3项系数为（　　）‎ A．14 B．15 C．16 D．17‎ ‎12.定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣1）=0，且当x＞0时，f（x）＞xf′（x），则下列关系式中成立的是（　）‎ A．4f（）＞f（2） B．4f（）＜f（2） C．f（）＞4f（2） D．f（）f（2）＞0‎ 二、 填空题(共4小题)‎ ‎13.已知曲线，y=2﹣x，与x轴所围成的图形的面积为S，则S=　 　‎ ‎14.椭圆与双曲线有相同的焦点，则a=　　．‎ ‎15.现有3个不同的红球，2个相同的黄球排成一排，则共有　 排法 ‎16.若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为　　．‎ 三、解答题 ‎17.已知（x+）n的展开式中前三项的系数成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求n的值； （Ⅱ）求展开式中系数最大的项．‎ ‎18．某校高一年级某次数学竞赛随机抽取100名学生的成绩，分组为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，统计后得到频率分布直方图如图所示：‎ ‎（1）试估计这组样本数据的众数和中位数（结果精确到0.1）；‎ ‎（2）年级决定在成绩[70，100]中用分层抽样抽取6人组成一个调研小组，对高一年级学生课外学习数学的情况做一个调查，则在[70，80），[80，90），[90，100]这三组分别抽取了多少人？‎ ‎（3）现在要从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长，求成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率．‎ ‎19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC,PC=3，,D,E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=, CE=2EB=2．‎ ‎（1）证明：DE⊥平面PCD （2）求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．‎ ‎20.已知椭圆（）离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．‎ ‎21.已知函数f（x）=lnx﹣．‎ ‎（Ⅰ）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎22.已知函数．‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）对任意的，x1，x2∈[1，2]，恒有，求正实数λ的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年第一学期期末考试 ‎ 高二数学试题 一、　1 C．　．2 C　 3 D． 4 C　 5 B　6 D　‎ ‎7.　B．　8．　C 9 A．　10．　　B．　11　　C 12.　A．　‎ 二、 填空题(共4小题)‎ ‎13.　．　．14 　3　． 15　60　 16.　1120　．‎ 二、解答题 ‎17.【解答】解：（Ⅰ）由题设，可得 +×C=2×C，即n2﹣9n+8=0，解得n=8，n=1（舍）．‎ ‎（Ⅱ）设第r+1的系数最大，则，即 解得r=2或r=3，‎ 所以系数最大的项为T3=7x5，T4=7x．‎ ‎18 【解答】解：（1）由频率分布直方图得：‎ 众数为：=65．‎ 成绩在[50，70）内的频率为：（0.005+0.035）×10=0.4，‎ 成绩在[70，80）内的频率为：0.03×10=0.3，‎ ‎∴中位数为：70+×10≈73.3．‎ ‎（2）成绩为[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组的频率分别为0.3，0.2，0.1，‎ ‎∴[70，80）、[80，90）、[90，100]这三组抽取的人数分别为3人，2人，1人．‎ ‎（3）由（2）知成绩在[70，80）有3人，分别记为a，b，c；‎ 成绩在[80，90）有2人，分别记为d，e；成绩在[90，100]有1人，记为f．‎ ‎∴从（2）中抽取的6人中选出正副2个小组长包含的基本事件有种，分别为：‎ ab，ba，ac，ca，ad，da，ae，ea，af，fa，bc，cb，bd，db，be，eb，bf，fb，cd，dc，ce，ec，cf，fc，de，ed，df，fd，ef，fe，‎ 记“成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长”为事件Q，‎ 则事件Q包含的基本事件有18种，‎ ‎∴成绩在[80，90）中至少有1人当选为正、副小组长的概率P（Q）=．‎ ‎19 ‎ ‎【解答】证明：（1）∵PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，∴PC⊥DE．∵，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CD⊥DE．‎ ‎∵PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，‎ ‎∴DE⊥平面PCD．‎ 解：（2）由（1）知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=．‎ 如图，过D作DF垂直CE于F，则DF=FC=FE=1，又已知EB=1，故FB=2．‎ 由∠ACB=，得DF∥AC，，故AC=DF=．‎ 以C为坐标原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，‎ 则C（0，0，0），P（0，0，3），A（，0，0），E（0，2，0），D（1，1，0），‎ ‎=（1，﹣1，0），=（﹣1，﹣1，3），=（，﹣1，0）．‎ 设平面PAD的法向量为=（x1，y1，z1），‎ 由=0，=0，得，取x1=2，得=（2，1，1）．‎ 由（1）可知DE⊥平面PCD，故平面PCD的法向量==（1，﹣1，0），‎ cos＜＞==，‎ 故所求二面角A﹣PD﹣C的余弦值为．‎ ‎20【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆离心率等于，‎ 则有，‎ 又a2=b2+c2，‎ 所以a2=4c2，b2=3c2‎ 设椭圆方程为，代入（2，3），得c2=4，a2=16，b2=12‎ 椭圆方程为；‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 设AB方程为，代入化简得：x2+tx+t2﹣12=0，‎ ‎△=t2﹣4（t2﹣12）＞0，解可得：﹣4＜t＜4，‎ ‎，‎ 又P（2，3），Q（2，﹣3）‎ SAPBQ=S△APQ+S△BPQ=‎ 当t=0时，S最大为．‎ ‎21【解答】解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，‎ ‎∵a＞0，∴f′（x）＞0，‎ 故f（x）在（0，+∞）单调递增；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）=，‎ ‎①若a≥﹣1，则x+a≥0，即f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f（x）在[1，e]上递增，‎ ‎∴f（x）min=f（1）=﹣a=，∴a=﹣（舍），‎ ‎②若a≤﹣e，则x+a≤0，即f′（x）≤0在[1，e]上恒成立，‎ 此时f（x）在[1，e]上递减，‎ ‎∴f（x）min=f（e）=1﹣=，∴a=﹣（舍），‎ ‎③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）=0，得x=﹣a，‎ 当1＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，﹣a）递减，‎ 当﹣a＜x＜e时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣a，e）递增，‎ ‎∴f（x）min=f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，∴a=﹣，‎ 综上a=﹣；‎ ‎（Ⅲ）∵f（x）＜x2，∴lnx﹣＜x2，又x＞0，∴a＞xlnx﹣x3，‎ 令g（x）=xlnx﹣x3，h（x）=g′（x）=1+lnx﹣3x2，h′（x）=，‎ ‎∵x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（1，+∞）递减，‎ ‎∴h（x）＜h（1）=﹣2＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）递减，‎ ‎∴g（x）＜g（1）=﹣1，∴a≥﹣1时，f（x）＜x2在（1，+∞）恒成立．‎ ‎22【解答】解：（1）=，‎ 令f'（x）=0，则x1=2a+1，x2=1．‎ ‎①当a=0时，，所以f（x）增区间是（0，+∞）；‎ ‎②当a＞0时，2a+1＞1，‎ 所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）；‎ ‎③当时，0＜2a+1＜1，‎ 所以f（x）增区间是（0，2a+1）与（1，+∞），减区间是（2a+1，1）；‎ ‎④当时，2a+1≤0，‎ 所以f（x）增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）．‎ ‎（2）因为，所以（2a+1）∈[4，6]，‎ 由（1）知f（x）在[1，2]上为减函数．‎ 若x1=x2，则原不等式恒成立，∴λ∈（0，+∞）．‎ 若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，‎ 所以原不等式即为：，‎ 即对任意的，x1，x2∈[1，2]恒成立．‎ 令，‎ 所以对任意的，x1，x2∈[1，2]有g（x1）＜g（x2）恒成立，‎ 所以在闭区间[1，2]上为增函数．‎ 所以g'（x）≥0对任意的，x∈[1，2]恒成立．‎ 而，g'（x）=x﹣（2a+2），化简即x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，‎ 即（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，其中．‎ ‎∵x∈[1，2]，∴2x﹣2x2≤0，∴只需．‎ 即x3﹣7x2+6x+λ≥0对任意x∈[1，2]恒成立．‎ 令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，x∈[1，2]，h'（x）=3x2﹣14x+6＜0恒成立．‎ ‎∴h（x）=x3﹣7x2+6x+λ在闭区间[1，2]上为减函数，则hmin（x）=h（2）=λ﹣8，‎ ‎∴hmin（x）=h（2）=λ﹣8≥0，解得λ≥8．‎ 故正实数λ的取值范围[8，+∞）‎