2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二上学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某兴趣小组有男生20人，女生10人，从中抽取一个容量为5的样本，恰好抽到2名男生和3名女生，则 ‎①该抽样可能是系统抽样；‎ ‎②该抽样可能是随机抽样：‎ ‎③该抽样一定不是分层抽样；‎ ‎④本次抽样中每个人被抽到的概率都是．‎ 其中说法正确的为（ ）‎ A．①②③ B．②③ C．②③④ D．③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】①该抽样可以是系统抽样；②因为总体个数不多，容易对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样；③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，该抽样不可能是分层抽样；④分别求出男生和女生的概率，故可判断出真假.‎ ‎【详解】‎ ‎①总体容量为30，样本容量为5，第一步对30个个体进行编号，如男生1～20，女生21～30；‎ 第二步确定分段间隔；第三步在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号；‎ 第四步将编号为依次抽取，即可获得整个样本．故该抽样可以是系统抽样．因此①正确．‎ ‎②因为总体个数不多，可以对每个个体进行编号，因此该抽样可能是简单的随机抽样，故②正确；‎ ‎③若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样，且分层抽样的比例相同，‎ 但兴趣小组有男生20人，女生10人，抽取2男3女，抽的比例不同，故③正确；‎ ‎④该抽样男生被抽到的概率；女生被抽到的概率，故前者小于后者．因此④不正确．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了随机抽样及概率，正确理解它们是解决问题的关键．‎ ‎2．现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次，至少击中3次的概率；先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0、1、2、3表示没有击中目标， 4、5、6、7、8、9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（ ）‎ ‎7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698‎ ‎0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281‎ A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据组随机数，计算出至少击中次的次数，由此估计出该射击运动员射击4次至少击中3次的概率.‎ ‎【详解】‎ 在组数据中，至少击中次的为7527、9857、8636、6947、4698、8045、9597、7424，共次，故该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查随机数法求事件的概率，属于基础题.‎ ‎3．从7名男生和5名女生中选4人参加夏令营，规定男、女同学至少各有1人参加，则选法总数应为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先计算出任选人的方法数，然后减去其中全部为男生或全部为女生的方法数，由此选出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 任选人的方法数为，减去其中全部为男生或全部为女生的方法数 ‎，故选法总数应为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查组合数的计算，属于基础题.‎ ‎4．下列说法错误的是（ ）‎ A．若直线平面，直线平面，则直线不一定平行于直线 B．若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面 C．若平面平面，则内一定不存在直线平行于平面 D．若平面平面，平面平面，，则一定垂直于平面 ‎【答案】C ‎【解析】结合空间线线、线面和面面位置关系，对四个选项逐一分析，由此得出说法错误的选项.‎ ‎【详解】‎ 若直线平面，直线平面，则与平行、相交或异面，则直线不一定平行于直线，故A中说法正确；若内存在直线垂直于平面，则根据面面垂直的判定定理得，这与平面不垂直于平面矛盾，故若平面不垂直于平面，则内一定不存在直线垂直于平面，故B中说法正确；若平面平面，则当内的直线与两平面的交线平行时，该直线与平面平行，故C中说法错误；若平面平面，平面平面，，则根据面面垂直的性质得一定垂直于平面，故D中说法正确.综上所述，本小题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间线线、线面和面面位置关系的判断，属于基础题.‎ ‎5．已知展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以展开式中第5项与第9项的二项式系数，列方程，解方程求得的值，进而求得奇数项的二项式系数和.‎ ‎【详解】‎ 依题意，展开式中第5项与第9项的二项式系数相等，所以，解得，故奇数项的二项式系数和为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式的二项式系数，考查奇数项的二项式系数和，属于基础题.‎ ‎6．已知圆锥的表面积为9π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设出圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积列方程，解方程求得圆锥的底面半径.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的底面半径为，由于圆锥侧面展开图是一个半圆，故其母线长为，所以圆锥的表面积为，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查圆锥表面积有关计算，属于基础题.‎ ‎7．已知抛物线的焦点为，是上一点，若，则等于（ 　）‎ A．1 B．2 C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 抛物线，焦点为，准线为，由于，根据抛物线的定义有，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于基础题.‎ ‎8．已知双曲线一条渐近线方程为，则双曲线方程可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分别求得四个选项中双曲线的渐近线，由此得出正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，双曲线的渐近线方程为，不符合题意；‎ 对于B选项，双曲线的渐近线方程为，不符合题意；‎ 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，不符合题意；‎ 对于D选项，双曲线的渐近线方程为，符合题意；‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查双曲线渐近线，属于基础题.‎ ‎9．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，且，那么向正方形中随机投掷个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（ ）（附：若随机变量，则)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据求得的值，由此求得，进而求得落入阴影部分的点的个数的估计值 ‎【详解】‎ 由，所以，所以，即，所以 ‎.所以落入阴影部分的点的个数的估计值为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查正态分布计算，考查几何概型，属于基础题.‎ ‎10．的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据乘法分配律以及二项式展开式，计算出含项的系数.‎ ‎【详解】‎ ‎，所以含项的系数为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项式展开式指定项的系数，属于基础题.‎ ‎11．已知四面体外接球的球心恰好在上，等腰直角三角形的斜边为2，，则这个球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据已知条件求得球的直径的长，进而求得球的半径，从而求得球的表面积.‎ ‎【详解】‎ 由于四面体外接球的球心恰好在上，所以是球的直径，所以三角形为直角三角形，所以，所以球的半径为，表面积为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.‎ ‎12．小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点彼此互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：这是求小赵独自去一个景点的前提下，4 个人去的景点不相同的概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论．‎ 详解：小赵独自去一个景点，则有3个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可能性为 种  所以小赵独自去一个景点的可能性为种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为 种， 所以 ． 故选：D．‎ 点睛：本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键．‎ 二、填空题 ‎13．设随机变量服从二项分布，且期望，其中，则方差 ‎=______．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】根据和的值求得，由此求得，进而求得.‎ ‎【详解】‎ 由于，所以，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查二项分布期望和方差的有关计算，考查方差的运算公式，属于基础题.‎ ‎14．某几何体的三视图如下图所示，此几何体的体积为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】根据三视图还原为原图，根据原图的空间结构，计算出几何体的体积.‎ ‎【详解】‎ 根据三视图可知，该几何体的原图如下图组合体为四棱锥，故其体积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查三视图还原为原图，考查锥体体积计算，属于基础题.‎ ‎15．已知点是椭圆上的一点， F1，F2分别为椭圆的左.右焦点，已知∠F1PF2=60°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦定理和椭圆的定义列方程，化简后求得椭圆的离心率.‎ ‎【详解】‎ 由，结合椭圆的定义和余弦定理有：‎ ‎，化简得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查余弦定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎16．如图，三棱柱中，侧棱底面，，，，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点．有下列判断：①直线与直线是异面直线；②一定不垂直于； ③三棱锥的体积为定值；④的最小值为．其中正确的序号是______．‎ ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】对四个判断逐一分析，由此确定正确判断的序号.‎ ‎【详解】‎ 对于①，由于平面外一条直线与平面相交于一点，则此直线与平面内不过交点的直线互为异面直线，所以①正确.‎ 对于②，过作，交于.由于，所以平面，而，所以平面.所以，所以平面，所以，所以②错误.‎ 对于③，由于两两垂直，所以三棱柱的外接球直径为（或），也即球心在与的交点处.由于,所以平面，所以动点到平面的距离为定值，而三角形面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以③正确.‎ 对于④，将两个半平面与展开成矩形（平面图形）,则的最小值为.故④正确.‎ 故答案为：①③④‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查空间点线面位置关系，考查锥体体积计算，考查空间距离和的最小值的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．40名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：‎ ‎（1）求频率分布直方图中的值；‎ ‎（2）根据频率分布直方图求出样本数据的中位数 （保留小数点后两位数字）和众数；‎ ‎（3）从成绩在的学生中任选3人，求这3人的成绩都在中的概率．‎ ‎【答案】（1）；（2）77.14，75；（3）‎ ‎【解析】（1）根据频率之和为列方程，解方程求得的值.‎ ‎（2）根据率分布直方图求中位数和众数的方法，求得中位数和众数.‎ ‎（3）利用古典概型概率计算方法，计算出所求的概率.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，解得.‎ ‎（2）最高的小长方形的中点为，故众数的估计值为.由于，，设中位数为，则，解得，故中位数为.‎ ‎（3）的人数为人，与人数的比例为，即中有人，中有人，从中任选人，这3人的成绩都在中的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据频率分布直方图计算参数的值，考查根据频率分布直方图计算中位数和众数，考查古典概型的概率计算，属于基础题.‎ ‎18．某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是，甲、丙二人都没有击中目标的概率是，乙、丙二人都击中目标的概率是．甲乙丙是否击中目标相互独立．‎ ‎（1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；‎ ‎（2）设甲、乙、丙三人中击中目标的人数为X，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】（1） （2）分布列见解析， ‎ ‎【解析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得乙、丙二人各自击中目标的概率.‎ ‎（2）根据相互独立事件概率计算方法，计算出的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意设甲、乙、丙各自击中目标的概率为，所以，解得.‎ ‎（2）的可能取值为.‎ ‎；‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ 故的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 数学期望为.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查相互独立事件的概率计算，考查随机变量分布列和数学期望的求法，属于基础题.‎ ‎19．在三棱锥中，平面，，，分别上的动点，且//平面，二面角为．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）通过证明平面，且，由此证得平面.‎ ‎（2）证得是直线与平面所成角，解直角三角形求得直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于平面，所以，由于，所以平面，由于平面，平面，平面平面，所以，所以平面.‎ ‎（2）由（1）可知，而，所以平面，所以是直线与平面所成角.由（1）知：，由面面角的概念可知，所以在中，, 由面积法得，所以.所以，，所以.，在中，.所以.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查线面垂直的证明，考查线面角正弦值的求法，考查线面平行的性质定理，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎20．某网站用“100分制”调查一社区人们的幸福度．现从调查人群中随机抽取10名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）；若幸福度不低于95分，则称该人的幸福度为“极幸福”．‎ ‎（1）从这10人中随机选取3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的分布列及数学期望；‎ ‎（2）以这10人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选3人，记表示抽到“极幸福”的人数，求的数学期望和方差．‎ ‎【答案】（1）分布列见解析，（2）‎ ‎【解析】（1）利用超几何分布计算出的分布列和数学期望.‎ ‎（2）利用二项分布的知识计算出的数学期望和方差.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由茎叶图可知，个人中，极幸福的人有个.的可能取值为，由超几何分布概率计算公式得，的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以.‎ ‎（2）由于，所以，.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查超几何分布、二项分布有关的概念和运算，属于中档题.‎ ‎21．在平面四边形中（图1），为的中点，，且，现将此平面四边形沿折起，使得二面角 为直二面角，得到一个多面体，为平面内一点，且为正方形（图2），分别为的中点．‎ ‎（1）求证：平面//平面；‎ ‎（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，且 ‎【解析】（1）利用面面平行的判定定理，证明平面//平面.‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，设出点坐标，利用平面与平面所成二面角的余弦值为列方程，解方程求得的坐标，由此判断符合题意的点存在，以及求得的长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于分别为的中点，所以，而直线与直线相交，直线与直线相交，由面面平行的判定定理得平面//平面.‎ ‎（2）因为二面角为直二面角，又，所以，由此建立如图所示的空间直角坐标系.，，，则，设平面的法向量为，则，取得.‎ 设，则，设平面的法向量为，则，取 得.由平面与平面所成二面角的余弦值为得，解得，所以，.所以存在点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为，且 ‎【点睛】‎ 本小题主要考查面面平行的证明，考查根据二面角的余弦值求线段长，考查空间向量法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22．已知椭圆的离心率，一个焦点在直线上，若直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，直线的斜率为，直线的斜率为．‎ ‎（1）求该椭圆的方程．‎ ‎（2）若，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）是，‎ ‎【解析】（1）根据焦点坐标和离心率，求得的值，进而求得椭圆离心率.‎ ‎（2）计算出，由此列出的面积的表达式，化简求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意可知，椭圆焦点在轴上，直线与轴的交点为，故.由于椭圆离心率为，所以.所以椭圆方程为.‎ ‎（2）为定值，且定值为，理由如下：由于直线的斜率为，直线的斜率为，且，不妨设，对应的倾斜角为，，对应的倾斜角为.直线的方程为，由，解得，所以.同理可求得.，所以.所以.所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.‎