数学（B）卷·2017届山东省菏泽一中(菏泽市)高三上学期期末考试（2017

数学（B）卷·2017届山东省菏泽一中(菏泽市)高三上学期期末考试（2017

菏泽市2016—2017学年度第一学期期末学分认定考试 高三数学试题（B）‎ 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟.‎ ‎2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.‎ ‎3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，写在答题卡各题目指定区域内相应的位置。‎ ‎4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎ 第I卷（共50分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.‎ ‎1．已知集合A={x|log2x＜1}，B={x|x2+x﹣2＜0}，则A∪B（　　）‎ A．（﹣∞，2） B．（0，1） C．（﹣2，2） D．（﹣∞，1）‎ ‎2．已知p：α为第二象限角，q：sinα＞cosα，则p是q成立的（　　）‎ A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 ‎3．一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则h=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（　　）‎ A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n ‎5．已知向量=，=，则向量在方向上的投影为（　　）‎ A．﹣3 B． C． D．3‎ ‎6．将函数y=2sin（2x+）的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（　　）‎ A．y=2sin（2x+） B．y=2sin（2x+） ‎ C．y=2sin（2x﹣） D．y=2sin（2x﹣）‎ ‎7．在等差数列{an} 中，a1+3a8+a15=60，则2a9﹣a10的值为（　　）‎ A．6 B．8 C．12 D．13‎ ‎8．函数y=的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=﹣，且在（0，1）上f（x）=3x，‎ 则f（log354）=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎10．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足 x1 ∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（　　）‎ A．（0，3） B．[0，3] C．（1，3） D．[1，3]‎ ‎　第Ⅱ卷（共100分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.‎ ‎11．已知向量=（1，x），=（x﹣1，2），若，则x=　　．‎ ‎12．设正项数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3=7a3，则公比q=　　．‎ ‎13．（理做）= 　　．‎ ‎ （文做）已知函数,则　　．‎ ‎14．函数y=loga（x+3）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则+的最小值为　　．‎ ‎15．函数f（x）=，若方程f（x）=mx﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　．‎ 三、解答题：本答题共6小题，共75分.‎ ‎16．（满分12分）‎ 设命题；命题q：∀x∈R，使得x2+2ax﹣8+6a≥0，如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎17．（满分12分）‎ 已知函数f（x）=sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，‎ 求△ABC的面积．‎ ‎18．（满分12分）‎ 数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝S3.‎ ‎(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn＜.‎ ‎19．（满分12分）‎ 某化工厂近期要生产一批化工试剂，经市场调查得知，生产这批试剂厂家的生产成本有以下三个方面：①生产1单位试剂需要原料费50元；②支付所有职工的工资总额由7500元的基本工资和每生产1单位试剂补贴20元组成；③后续保养的平均费用是每单位（x+﹣30）元（试剂的总产量为x单位，50≤x≤200）．‎ ‎（1）把生产每单位试剂的成本表示为x的函数关系P（x），并求出P（x）的最小值；‎ ‎（2）如果产品全部卖出，据测算销售额Q（x）（元）关于产量x（单位）的函数关系为Q（x）=1240x﹣x3，试问：当产量为多少时生产这批试剂的利润最高？‎ ‎20．（满分13分）‎ 如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．‎ ‎（1）求证：AF∥平面BCE；‎ ‎（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；‎ ‎（3）（理做 文不做）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．‎ ‎21．（满分14分）‎ 已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx．‎ ‎（1）当a=3时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（3）若对任意时，恒有ma﹣f（x）＜1成立，求实数m的取值范围． ‎ 菏泽市2016—2017学年度第一学期期末学分认定考试 高三数学试题（B）参考答案 一、选择题 CDBDA DCDBC 二、填空题：‎ ‎11. 2或﹣1 12. 13. （理） （文） 14. 8 15. ‎ 三、解答题：‎ ‎16.【解答】解：设t=cosx，∵，∴t∈[0，1]，‎ 则有∃t∈[0，1]，使a=t2+2t成立， ∵t∈[0，1]时，t2+2t∈[0，3]，‎ ‎∴p为真时a∈[0，3]，……………………….3分 ‎∵∀x∈R，x2+2ax﹣8+6a≥0成立， ∴△≤0，即a2﹣6a+8≤0，‎ ‎∴a∈[2，4]，∴q为真时a∈[2，4]，………………………..6分 ‎∵p∨q为真，p∧q为假，∴p，q一个真一个假 当p真q假时，a∈[0，2），‎ 当p假q真时，a∈（3，4]，………………..11分 ‎∴实数a的取值范围是[0，2）∪（3，4]．…………………12分 ‎17. 【解答】解：（1）因为===…………3分 令，‎ 所以，‎ 所以函数f（x）的单调递增区间是[]（k∈Z）………………6分 ‎（2）因为f（A）=，所以 又0＜A＜π所以 从而故A=……………………..8分 在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=‎ ‎∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．‎ 故bc=1………………………………………………….10分 从而S△ABC=………………………..12分 ‎18. 【解答】(1)解：∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1………………1分 当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1；…………………….2分 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即＝2，‎ ‎∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴an＝2n－1，……………………………………………………4分 设{bn}的公差为d，b1＝a1＝1，b4＝a1+a2=a3=1＋3d＝7，∴d＝2，‎ ‎∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1…………………………6分 ‎(2)证明：cn＝＝ ‎＝，………………………………..7分 ‎∴Tn＝ ‎＝＝，………………………………..9分 ‎∵n∈N，∴Tn＝＜…………………..10分 Tn－Tn－1＝－＝＞0，‎ ‎∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝…………………11分 综上所述，≤Tn＜………………………………………12分 ‎19.【解答】解：（1）P（x）=[50x+7500+20x+x（x+﹣30）]÷x=x++40，….3分 ‎∵50≤x≤200，‎ ‎∴x=90时，P（x）的最小值为220元；………….5分 ‎（2）生产这批试剂的利润L（x）=1240x﹣x3﹣（x2+40x+8100），…………8分 ‎∴L′（x）=1200﹣x2﹣2x=﹣（x+120）（x﹣100），‎ ‎∴50≤x＜100时，L′（x）＞0，100＜x≤200时，L′（x）＜0，‎ ‎∴x=100时，函数取得极大值，也是最大值，即产量为100单位时生产这批试剂的利润最高．…….…12分 ‎20.【解答】（理）（1）证明：取CE的中点G，连接FG、BG．‎ ‎∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE，‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，‎ ‎∴AB∥DE，∴GF∥AB．…………………………2分 又AB=DE，∴GF=AB．又DE=2AB，‎ ‎∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．‎ ‎∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE．………………………………………..4分 ‎（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，‎ ‎∴AF⊥CD．‎ ‎∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．‎ 又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．………………………………..6分 ‎∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．………………………………7分 ‎∵BG⊂平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE．………………………………..8分 ‎（3）解：过A作直线l⊥面ABF，以A为原点，分别以直线AF、l、AB分别为x，y，z轴， 建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=2，‎ 则A（0，0，0），B（0，0，1），C（，﹣1，0），F（），‎ ‎∴=（0，0，1），=（），，‎ ‎………………………………………………….9分 设平面ABC的法向量为，平面FBC的法向量为，‎ 由，得，令x1=1得：‎ 同理可得：=（1，0，），……………………………………………11分 ‎∴cos＜＞==．…………………………………………… 12分 故所求的二面角A﹣BC﹣F的余弦值为：．…………………………..13分 ‎（文）（1）证明：取CE的中点G，连接FG、BG．‎ ‎∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF=DE，‎ ‎∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，‎ ‎∴AB∥DE，∴GF∥AB．…………………3分 又AB=DE，∴GF=AB．又DE=2AB，‎ ‎∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG．‎ ‎∵AF⊄平面BCE，BG⊂平面BCE，‎ ‎∴AF∥平面BCE．………………..6分 ‎（2）证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点，‎ ‎∴AF⊥CD．‎ ‎∵DE⊥平面ACD，AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF．‎ 又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．……………………………….10分 ‎∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．‎ ‎∵BG⊂平面BCE，‎ ‎∴平面BCE⊥平面CDE．………………………………..13分 ‎21. 【解答】解：‎ ‎（I）当a=3时，f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx=x2﹣7x+3lnx，‎ ‎∴f′（x）=2x﹣7+，…………………………………………………………1分 ‎∴f′（1）=﹣2，‎ ‎∵f（1）=1﹣7=﹣6，‎ ‎∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：2x+y+4=0．………………….3分 ‎（II）f′（x）=2x﹣（2a+1）+ =，………………………………4分 令f′（x）=0，得x1=，x2=a．…………………………………………………………5分 ‎①当a＞时，由f′（x）＞0，得x＞a，或x＜，‎ f（x）在（0，），（a，+∞）是单调递增．‎ 由f′（x）＜0，得＜x＜a，‎ ‎∴f（x）在（，a）上单调递减．………………………………………………….6分 ‎②当a=时，f′（x）≥0恒成立，‎ ‎∴f（x）在（0，+∞）上单调递增．………………………………………………7分 ‎③当0＜a＜时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a，或x＞，‎ ‎∴f（x）在（0，a），（，+∞）上单调递增，‎ 由f′（x）＜0，得a＜x＜，‎ ‎∴f（x）在（a，）上单调递减．…………………………………………………..8分 综上所述，当0＜a＜时，f(x)的单调递增区间是（0，a），（，+∞），‎ 递减区间是（a，）；‎ 当a=时，f(x)的单调递增区间是（0，+∞），无递减区间；‎ 当a＞时，f(x)的单调递增区间是（0，），（a，+∞），递减区间是（，a）…..9分 ‎（III）由题意可知，对∀a∈（，），x∈[1，3]时，恒有ma﹣f（x）＜1成立 等价于ma﹣1＜f（x）min，………………………………………………………10分 由（II）知，当a∈（，）时，f（x）在[1，3]上单调递增 ‎∴f（x）min=f（1）=﹣2a，‎ ‎∴原题等价于对∀a∈（，）时，ma﹣1＜﹣2a恒成立，……………….12分 即m＜=﹣2，在a∈（，）时，有0＜﹣2＜1．‎ 故当m≤0时，ma﹣1＜﹣2a恒成立，‎ ‎∴m≤0． ……………………………………………………………………………..14分