专题3-2+利用导数研究函数的极值与最值（练）-2018年高考数学一轮复习讲练测（江苏版）
基础巩固题组
一、填空题
1．下列函数：
①y＝x3；②y＝ln(－x)；③y＝xe－x；④y＝x＋.
其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)．
【答案】④
【解析】由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y＝x3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值．
2．(2017·海门中学适应性训练)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.
【答案】5
3．(2016·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．
【答案】2
【解析】当x>0时，f(x)＝－2x<0；
当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1
0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．
【答案】9
【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，
又a>0，b>0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．
5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.
【答案】1
【解析】由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)
7．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是________(填序号)．
【答案】④
【解析】因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；④中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.
8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)
【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
二、解答题
9．已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
10．(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．
(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；
(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．
解 (1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.
又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，
故切线的斜率为g′(1)＝4e.
所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
①当t≥时，在区间 [t，t＋2]上f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(t)＝tln t.
②当00，b<0，c>0，d>0；②a>0，b<0，c<0，d>0；
③a<0，b<0，c>0，d>0；④a>0，b>0，c>0，d<0.
其中，结论成立的是________(填序号)．
【答案】①
【解析】由函数y＝f(x)的图象知，a>0，f(0)＝d>0.
又x1，x2是函数f(x)的极值点，
且f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，
∴x1，x2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由图象知，x1>0，x2>0
∴因此b<0，且c>0.
13．(2017·镇江期末)若函数f(x)＝－2x3＋2tx2＋1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为________．
【答案】
14．(2017·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋(1≤x≤9)，设 PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元．题中所涉及长度单位均为百米．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．
解 (1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝x，所以点P坐标为，
直线OB的方程为x－y＝0，
则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝，又PM的造价为5万元/百米，PN
的造价为40万元/百米．
则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·＝5 (1≤x≤9)．
(2)因为f(x)＝5，
所以f′(x)＝5＝，
令f′(x)＝0，解得x＝4，列表如下：
x
(1,4)
4
(4,9)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
极小值
所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)＝5＝30，即当x＝4时，总造价最低，最低造
